Der Lehrsatz von Riemann-Roch ist ein wichtiges Werkzeug in der Mathematik, spezifisch in der komplizierten Analyse und algebraischen Geometrie, für die Berechnung der Dimension des Raums von Meromorphic-Funktionen mit vorgeschriebenem zeroes und erlaubten Polen. Es verbindet die komplizierte Analyse einer verbundenen Kompaktoberfläche von Riemann mit der rein topologischen Klasse der Oberfläche g in einem Weg, der in rein algebraische Einstellungen vorgetragen werden kann.

Am Anfang bewiesen als die Ungleichheit von Riemann durch hat der Lehrsatz seine endgültige Form für Oberflächen von Riemann nach der Arbeit des kurzlebigen Studenten von Riemann erreicht. Es wurde später zu algebraischen Kurven zu hoch-dimensionalen Varianten und darüber hinaus verallgemeinert.

Motivation

Wir fangen mit einer verbundenen Kompaktoberfläche von Riemann der Klasse g und einem festen Punkt P darauf an. Wir können auf Funktionen schauen, die einen Pol nur an P haben. Es gibt eine zunehmende Folge von Vektorräumen: Funktionen ohne Pole

(d. h., unveränderliche Funktionen), haben Funktionen höchstens einem einfachen Pol an P, Funktionen erlaubt höchstens ein doppelter Pol an P, ein dreifacher Pol erlaubt... Diese Räume sind alle dimensional begrenzt. Im Falle dass g = 0 wir sehen können, dass die Folge von Dimensionen anfängt

:1, 2, 3...:

das kann von aus der Theorie von teilweisen Bruchteilen gelesen werden. Umgekehrt, wenn diese Folge anfängt

:1, 2...

dann muss g Null (der so genannte Bereich von Riemann) sein.

In der Theorie von elliptischen Funktionen wird es gezeigt, dass für g = 1 diese Folge ist

:1, 1, 2, 3, 4, 5...;

und das charakterisiert den Fall g = 1. Für g> 2 gibt es kein Satz-Initiale-Segment; aber es ist möglich zu sagen, wie der Schwanz der Folge sein muss. Es ist auch möglich zu erklären, warum der Fall g = 2, mittels der Theorie von hyperelliptischen Kurven, nämlich diejenigen mit der Folge etwas speziell ist, die 1, 1, 2 anfängt....

Der Grund, dass die Ergebnisse die Form annehmen, die sie tun, geht zur Formulierung (der Teil von Roch) vom Lehrsatz zurück: als ein Unterschied von zwei solchen Dimensionen. Wenn einer von denjenigen auf die Null gesetzt werden kann, bekommen wir eine genaue Formel, die in der Klasse und dem Grad (d. h. Zahl von Graden der Freiheit) geradlinig ist. Bereits erlauben die angeführten Beispiele eine Rekonstruktion in der Gestalt

:dimension − Korrektur = Grad − g + 1.

Für g = 1 ist die Korrektur 1 für den Grad 0; und sonst 0. Der volle Lehrsatz erklärt die Korrektur als die zu einem weiteren, 'ergänzenden' Raum von Funktionen vereinigte Dimension.

Behauptung des Lehrsatzes

In der jetzt akzeptierten Notation ist die Behauptung von Riemann-Roch für eine Kompaktoberfläche von Riemann der Klasse g mit dem kanonischen Teiler K

:l (D) − l (K − D) = deg (D) − g + 1.

Das gilt für alle Teiler D, Elemente der freien abelian Gruppe auf den Punkten der Oberfläche. Gleichwertig ist ein Teiler eine begrenzte geradlinige Kombination von Punkten der Oberfläche mit Koeffizienten der ganzen Zahl.

Wir definieren den Teiler einer Meromorphic-Funktion f als

:

wo R (f) der Satz des ganzen zeroes und die Pole von f ist, und s durch gegeben wird

:

- a & \text {wenn} z_\nu \text {ein Pol der Ordnung} a ist. \end {Fälle} </Mathematik>

Wir definieren den Teiler einer meromorphic 1 Form ähnlich. Ein Teiler einer globalen Meromorphic-Funktion wird einen Hauptteiler genannt. Zwei Teiler, die sich durch einen Hauptteiler unterscheiden, werden linear gleichwertig genannt. Ein Teiler einer globalen meromorphic 1 Form wird genannt der kanonische Teiler (hat gewöhnlich K angezeigt). Irgendwelche zwei meromorphic 1 Formen werden linear gleichwertige Teiler nachgeben, so wird der kanonische Teiler bis zur geradlinigen Gleichwertigkeit (folglich "der" kanonische Teiler) einzigartig bestimmt.

Das Symbol deg (D) zeigt den Grad des Teilers D, d. h. die Summe der Koeffizienten an, die in D vorkommen. Es kann gezeigt werden, dass der Teiler einer globalen Meromorphic-Funktion immer Grad 0 hat, so hängt der Grad des Teilers nur von der geradlinigen Gleichwertigkeitsklasse ab.

Die Nummer l (D) ist die Menge, die von primärem Interesse ist: Die Dimension (über C) des Vektorraums von meromorphic fungiert h auf der Oberfläche, solch, dass alle Koeffizienten von (h) + D nichtnegativ sind. Intuitiv können wir daran als seiend alle Meromorphic-Funktionen denken, deren Pole an jedem Punkt nicht schlechter sind als der entsprechende Koeffizient in D; wenn der Koeffizient in D an z negativ ist, dann verlangen wir, dass h eine Null mindestens hat, dass die Vielfältigkeit an z - wenn der Koeffizient in D, h positiv ist, einen Pol höchstens dieser Ordnung haben kann. Die Vektorräume für linear gleichwertige Teiler sind durch die Multiplikation mit der globalen Meromorphic-Funktion natürlich isomorph (der bis zu einem Skalar bestimmt ist).

Selbst wenn wir nichts über K wissen, wissen wir mindestens, dass der Index der Spezialität (die "Korrektur", die auf den obengenannten verwiesen ist), so dass nichtnegativ

ist

:l (K &minus; D) &ge; 0,

und deshalb

:l (D) &ge; deg (D) &minus; g + 1

der die Ungleichheit von Riemann erwähnt früher ist.

Der Lehrsatz ist oben für alle verbundenen Kompaktoberflächen von Riemann richtig. Die Formel hält auch für alle nichtsingulären projektiven algebraischen Kurven über ein algebraisch geschlossenes Feld k. Hier l zeigt (D) die Dimension (über k) des Raums von vernünftigen Funktionen auf der Kurve an, deren Pole an jedem Punkt nicht schlechter sind als der entsprechende Koeffizient in D.

Um das mit unserem Beispiel oben zu verbinden, brauchen wir etwas Information über K: Für g = 1 können wir K = 0 nehmen, während für g = 0 wir K = &minus;2P (jeder P) nehmen können. In General K hat Grad 2g &minus; 2. So lange D Grad mindestens 2g &minus hat; 1 können wir überzeugt sein, dass der Korrektur-Begriff 0 ist.

Wenn wir

deshalb zum Fall g = 2 zurückgehen, sehen wir, dass die Folge, die oben erwähnt ist, ist

:1, 1? 2, 3....

Es wird davon dass gezeigt? der Begriff des Grads 2 ist entweder 1 oder 2, natürlich abhängig vom Punkt. Es kann bewiesen werden, dass in jeder Klasse 2 Kurve dort genau sechs Punkte ist, deren Folgen 1, 1, 2, 2 sind... und der Rest der Punkte haben die allgemeine Folge 1, 1, 1, 2... Insbesondere eine Klasse 2 Kurve ist eine hyperelliptische Kurve. Für g> 2 ist es immer wahr, dass an den meisten Punkten die Folge mit g+1 anfängt und es begrenzt viele Punkte mit anderen Folgen gibt (sieh Punkte von Weierstrass).

Riemann-Roch für Linienbündel

Lassen Sie L ein holomorphic Linienbündel auf einer Kompaktoberfläche von Riemann sein X der Klasse g und zu lassen zeigen den Raum von holomorphic Abteilungen von L an. Dieser Raum wird endlich-dimensional sein; seine Dimension wird angezeigt. Lassen Sie K das kanonische Bündel auf X anzeigen. Dann setzt der Lehrsatz von Riemann-Roch das fest

:

Der Lehrsatz der vorherigen Abteilung ist der spezielle Fall dessen, wenn L ein Punkt-Bündel ist. Der Lehrsatz kann angewandt werden, um zu zeigen, dass es g holomorphic Abteilungen von K oder eine Formen, auf X gibt. Wenn sie L nehmen, um das triviale Bündel, da zu sein, sind die einzigen Holomorphic-Funktionen auf X Konstanten. Der Grad von L ist Null, und L^ {-1} ist das triviale Bündel. So,

:

Deshalb, Beweis, dass es g holomorphic eine Formen gibt.

Generalisationen des Lehrsatzes von Riemann-Roch

Der Lehrsatz von Riemann-Roch für Kurven wurde für Oberflächen von Riemann von Riemann und Roch in den 1850er Jahren und für algebraische Kurven von F. K. Schmidt 1929 (vgl der hingebungsvolle Artikel Lehrsatz von Riemann-Roch für algebraische Kurven) bewiesen. Es ist foundational im Sinn, dass die nachfolgende Theorie für Kurven versucht, die Information zu raffinieren, die es (zum Beispiel in der Theorie des Meerbutts-Noether) nachgibt.

Es gibt Versionen in höheren Dimensionen (für den passenden Begriff des Teilers oder Linienbündel). Ihre allgemeine Formulierung hängt davon ab, den Lehrsatz in zwei Teile zu spalten. Ein der jetzt Dualität von Serre genannt würde, interpretiert den l (K &minus; nennen Sie D) als eine Dimension eines ersten Bündels cohomology Gruppe; mit l (D) die Dimension eines zeroth cohomology Gruppe oder Raum von Abteilungen wird die linke Seite des Lehrsatzes eine Eigenschaft von Euler und die Rechte eine Berechnung davon als ein gemäß der Topologie der Oberfläche von Riemann korrigierter Grad.

In der algebraischen Geometrie der Dimension wurde zwei solch eine Formel durch den geometers der italienischen Schule gefunden; ein Lehrsatz von Riemann-Roch für algebraische Oberflächen wurde bewiesen (es gibt mehrere Versionen mit dem ersten vielleicht wegen Max Noethers zu sein). So haben sich Sachen ungefähr vor 1950 ausgeruht.

Eine n-dimensional Verallgemeinerung, der Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatz, wurde gefunden und von Friedrich Hirzebruch als eine Anwendung charakteristischer Klassen in der algebraischen Topologie bewiesen; er war viel unter Einfluss der Arbeit von Kunihiko Kodaira. In ungefähr derselben Zeit gab Jean-Pierre Serre die allgemeine Form der Dualität von Serre, wie wir es jetzt wissen.

Alexander Grothendieck hat eine weit reichende Generalisation 1957, jetzt bekannt als der Grothendieck-Riemann-Roch Lehrsatz bewiesen. Seine Arbeit interpretiert Riemann-Roch nicht als ein Lehrsatz über eine Vielfalt, aber über einen morphism zwischen zwei Varianten wieder. Die Details der Beweise wurden von Borel-Serre 1958 veröffentlicht.

Schließlich wurde eine allgemeine Version in der algebraischen Topologie auch gefunden. Diese Entwicklungen wurden im Wesentlichen alle zwischen 1950 und 1960 ausgeführt. Danach hat der Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatz einen anderen Weg zur Generalisation geöffnet.

Was Ergebnisse ist, dass die Eigenschaft von Euler (eines zusammenhängenden Bündels) etwas vernünftig Berechenbares ist. Wenn man sich interessiert, wie gewöhnlich der Fall in gerade einem summand innerhalb der Wechselsumme ist, müssen weitere Argumente wie verschwindende Lehrsätze zum Bären gebracht werden.

Zeichen

• Borel, Armand & Serre, Jean-Pierre (1958), Le théorème de Riemann-Roch, d'après Grothendieck, Stier. S.M.F. 86 (1958), 97-136.
• Grothendieck, Alexander, u. a. (1966/67), Kreuzungen von Théorie des und Théorème de Riemann-Roch (SGA 6), LNM 225, Springer-Verlag, 1971.

• verfügbar online an

http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf

• sieh Seiten 208-219 für den Beweis in der komplizierten Situation. Bemerken Sie, dass Jost ein bisschen verschiedene Notation verwendet.

• enthält die Behauptung für Kurven über ein algebraisch geschlossenes Feld. Sieh Abschnitt IV.1.
• . Eine gute allgemeine moderne Verweisung.
• Misha Kapovich, Der Lehrsatz von Riemann-Roch] (halten Zeichen Vorlesungen), eine elementare Einführung
• J. Grau, Der Lehrsatz von Riemann-Roch und die Geometrie, 1854-1914.