In der abstrakten Algebra ist eine freie abelian Gruppe eine abelian Gruppe, die eine "Basis" im Sinn hat, dass jedes Element der Gruppe auf eine und nur eine Weise als eine begrenzte geradlinige Kombination von Elementen der Basis mit Koeffizienten der ganzen Zahl geschrieben werden kann. Folglich sind freie abelian Gruppen über eine Basis B auch bekannt als formelle Summen über B. Informell können freie abelian Gruppen oder formelle Summen auch als unterzeichnete Mehrsätze mit Elementen in B gesehen werden.

Freie abelian Gruppen haben sehr nette Eigenschaften, die sie ähnlich Vektorräumen machen und einer allgemeinen abelian Gruppe erlauben, als ein Quotient einer freien abelian Gruppe durch "Beziehungen" verstanden zu werden. Jede freie abelian Gruppe ließ eine Reihe als der cardinality einer Basis definieren. Die Reihe bestimmt die Gruppe bis zum Isomorphismus, und die Elemente solch einer Gruppe können als begrenzte formelle Summen der Basiselemente geschrieben werden. Jede Untergruppe einer freien abelian Gruppe ist selbst freier abelian, der für die Beschreibung einer allgemeinen abelian Gruppe als ein cokernel eines Homomorphismus zwischen freien abelian Gruppen wichtig ist.

Beispiel

Lassen Sie zum Beispiel G die Gruppe sein, die die direkte Summe von zwei Kopien der unendlichen zyklischen Gruppe ist.

Symbolisch,

:.

Eine Basis für diese Gruppe ist {(1,0), (0,1)}.

Wenn wir sagen und, dann können wir das Element (4,3) als schreiben

:. Wo 'Multiplikation' auf die folgende Weise definiert wird:.

In dieser Basis gibt es keine andere Weise (4,3) zu schreiben, aber wenn wir unsere Basis wählen, um {(1,0), (1,1)} zu sein, wo und dann wir (4,3) als schreiben können

:.

Verschieden von Vektorräumen haben nicht alle abelian Gruppen eine Basis, folglich der spezielle Name für diejenigen, die tun.

(Zum Beispiel ist jede Gruppe, die periodische Elemente hat, nicht eine freie abelian Gruppe, weil jedes Element in einer unendlichen Zahl von Wegen einfach durch das Stellen in einer beliebigen Zahl von von einem periodischen Element gebauten Zyklen ausgedrückt werden kann.)

Wie man

auch betrachtet, ist die triviale abelian Gruppe {0} freier abelian, mit der Basis der leere Satz.

Fachsprache

Bemerken Sie, dass eine freie abelian Gruppe nicht eine freie Gruppe außer in zwei Fällen ist: Eine freie abelian Gruppe, die eine leere Basis hat (reihen sich 0 auf, die triviale Gruppe gebend), oder gerade 1 Element in der Basis habend (reihen sich 1 auf, die unendliche zyklische Gruppe gebend). Andere abelian Gruppen sind nicht freie Gruppen, weil in freien Gruppen ab von ba verschieden sein muss, wenn a und b verschiedene Elemente der Basis sind, während in freien abelian Gruppen sie identisch sein müssen.

Eigenschaften

1. Für jeden Satz B, dort besteht eine freie abelian Gruppe mit der Basis B und alle diese freien abelian Gruppen, die B haben, weil Basis isomorph ist. Ein Beispiel kann als die abelian Gruppe von Funktionen auf B gebaut werden, wo jede Funktion Werte der ganzen Zahl nehmen kann, und alle außer begrenzt vielen seiner Werte Null sind. Das ist die direkte Summe von Kopien, einer Kopie für jedes Element von B.
2. Wenn F eine freie abelian Gruppe mit der Basis B ist, dann haben wir das folgende universale Eigentum: Für jede willkürliche Funktion f von B bis eine abelian Gruppe A, dort besteht ein einzigartiger Gruppenhomomorphismus von F bis, der f erweitert. Dieses universale Eigentum kann auch verwendet werden, um freie abelian Gruppen zu definieren.
3. In Anbetracht jeder abelian Gruppe A, dort besteht immer eine freie abelian Gruppe F und ein surjective Gruppenhomomorphismus von F bis A. Das folgt aus dem universalen Eigentum, das oben erwähnt ist.
4. Alle freien abelian Gruppen sind ohne Verdrehungen, und alle begrenzt erzeugten abelian Gruppen ohne Verdrehungen sind freier abelian. (Dasselbe gilt für die Flachheit, da eine abelian Gruppe ohne Verdrehungen ist, wenn, und nur wenn es flach ist.) Ist die zusätzliche Gruppe von rationalen Zahlen Q (nicht begrenzt erzeugt) Gruppe ohne Verdrehungen es ist nicht freier abelian. Der Grund: Q ist teilbar, aber abelian freie Nichtnullgruppen sind nie teilbar.
5. Freie abelian Gruppen sind ein spezieller Fall von freien Modulen, wie abelian Gruppen nichts als Module über den Ring sind.

Wichtig ist jede Untergruppe einer freien abelian Gruppe freier abelian (sieh unten). Demzufolge, zu jeder abelian Gruppe dort besteht eine kurze genaue Folge

:0  G  F  EIN  0

mit F und G freier abelian zu sein (was bedeutet, dass A zur Faktor-Gruppe F/G isomorph ist). Das wird eine freie Entschlossenheit von A genannt. Außerdem sind die freien abelian Gruppen genau die projektiven Gegenstände in der Kategorie von abelian Gruppen.

Es kann überraschend schwierig sein zu bestimmen, ob eine konkret gegebene Gruppe freier abelian ist. Denken Sie zum Beispiel die Baer-Specker Gruppe, das direkte Produkt (um mit der direkten Summe nicht verwirrt zu sein, die sich vom direkten Produkt auf einer unendlichen Zahl von summands unterscheidet) zählbar vieler Kopien dessen. Reinhold Baer hat 1937 bewiesen, dass diese Gruppe nicht freier abelian ist; Specker hat 1950 bewiesen, dass jede zählbare Untergruppe dessen freier abelian ist.

Reihe

Jede begrenzt erzeugte freie abelian Gruppe ist zu für eine natürliche Zahl n isomorph hat die Reihe der freien abelian Gruppe genannt. Im Allgemeinen hat eine freie abelian Gruppe F viele verschiedene Basen, aber alle Basen haben denselben cardinality, und dieser cardinality wird die Reihe von F genannt. Diese Reihe von freien abelian Gruppen kann verwendet werden, um die Reihe aller anderen abelian Gruppen zu definieren: Sieh Reihe einer abelian Gruppe. Die Beziehungen zwischen verschiedenen Basen können interessant sein; zum Beispiel werden die verschiedenen Möglichkeiten, für eine Basis für die freie abelian Gruppe der Reihe zwei zu wählen, im Artikel über das grundsätzliche Paar von Perioden nachgeprüft.

Formelle Summe

Eine formelle Summe von Elementen eines gegebenen ist untergegangen B ist ein Element der freien abelian Gruppe mit der Basis B.

Mit anderen Worten, in Anbetracht eines Satzes B, lassen Sie G das einzigartige (bis zum Isomorphismus) freie abelian Gruppe mit der Basis B sein.

Für Elemente und (wo es einen solchen dass iff geben kann),

:

Untergruppe-Verschluss

Jede Untergruppe einer freien abelian Gruppe ist selbst eine freie abelian Gruppe. Das ist dem Lehrsatz von Nielsen-Schreier ähnlich, dass eine Untergruppe einer freien Gruppe frei ist.

Lehrsatz: Lassen Sie, eine freie abelian Gruppe zu sein, die durch den Satz erzeugt ist

und lassen Sie, eine Untergruppe zu sein. Dann ist eine freie abelian Gruppe.

Beweis: Wenn die Behauptung hält, so können wir annehmen, dass das nichttrivial ist. Zuerst werden wir das für den begrenzten durch die Induktion beweisen. Wenn, zu isomorph ist (nichttrivial zu sein), und klar frei. Nehmen Sie dass an, wenn eine Gruppe durch eine Reihe der Größe erzeugt wird, dann ist jede Untergruppe davon

frei., Lassen Sie die freie Gruppe, die durch und eine Untergruppe erzeugt ist. Lassen Sie, der Vorsprung Wenn zu sein, dann eine Teilmenge und frei durch die Induktionsvoraussetzung zu sein. So können wir annehmen, dass die Reihe nichttrivial ist. Lassen Sie, kleinste solch zu sein, dass und einige solch dass wählen. Es

ist

normal, um dass und wenn, dann, wo nachzuprüfen, und. Folglich. Durch die Induktionsvoraussetzung und sind frei: Zuerst ist zu einer Untergruppe dessen isomorph und dazu zweit.

Nehmen Sie an, jetzt wo willkürlich ist. Für jede Teilmenge von gelassenen, die freie Gruppe sein, die dadurch erzeugt ist, ist so eine freie Untergruppe, und anzeigen.

Jetzt Satz

:

S = \{(G_J, w) \mid G_J {\\rm \; ist \; \; nichttrivial \; frei \; Gruppe \; und \;} w {\\rm \; ist \; \; Basis \; \;} G_J\}.

</Mathematik>

Formell ist ein injective (isomorphe) Karte

:

solch, der erzeugt.

Klar ist nichtleer: Lassen Sie uns ein Element darin haben. Dann und so enthält die freie Gruppe, die dadurch erzeugt ist, und die Kreuzung ist eine nichttriviale Untergruppe einer begrenzt erzeugten freien abelian Gruppe und so frei durch die Induktion oben.

Wenn, Ordnung definieren Sie, wenn, und nur wenn und die Basis eine Erweiterung dessen ist; formell, wenn und, dann und.

Wenn - Kette ist (ist eine geradlinige Ordnung) Elemente, dann offensichtlich

:

so können wir das Lemma von Zorn anwenden und beschließen, dass dort ein maximaler besteht

. Seitdem ist es genug, sich jetzt wo zu erweisen. Nehmen Sie auf dem Gegenteil an, dass es gibt.

Stellen. Wenn dann es bedeutet, dass, aber sie sind so nicht gleich, größer ist, der maximality dessen widerspricht. Sonst gibt es ein solches Element dass und.

Der Satz dessen, für den dort solch besteht, der eine Untergruppe dessen bildet. Lassen Sie, ein Generator dieser Gruppe zu sein und damit zu lassen. Jetzt, wenn, dann für einige, wo.

Andererseits klar, ist auch eine Basis, so dem maximality wieder widersprechend.

Siehe auch

• Begrenzt erzeugte abelian Gruppe

Referenzen