In der Mathematik, mehr spezifisch im Feld der Gruppentheorie, ist eine nilpotent Gruppe eine Gruppe, die "fast abelian" ist. Diese Idee wird durch die Tatsache motiviert, dass nilpotent Gruppen, und für begrenzte nilpotent Gruppen lösbar sind, müssen zwei Elemente, die relativ erste Ordnungen haben, pendeln. Es ist auch wahr, dass begrenzte nilpotent Gruppen superlösbar sind.

Gruppen von Nilpotent entstehen in der Theorie von Galois, sowie in der Klassifikation von Gruppen. Sie erscheinen auch prominent in der Klassifikation von Lüge-Gruppen.

Analoge Begriffe werden für Lüge-Algebra gebraucht (die Lüge-Klammer verwendend), einschließlich nilpotent, senken Hauptreihe und obere Hauptreihe.

Definition

Die Definition verwendet die Idee, die auf seiner eigenen Seite von einer Hauptreihe für eine Gruppe erklärt ist.

Der folgende ist gleichwertige Formulierungen:

• Eine nilpotent Gruppe ist diejenige, die eine Hauptreihe der begrenzten Länge hat.
• Eine nilpotent Gruppe ist diejenige, deren niedrigere Hauptreihe in der trivialen Untergruppe danach begrenzt viele Schritte endet.
• Eine nilpotent Gruppe ist diejenige, deren obere Hauptreihe in der ganzen Gruppe danach begrenzt viele Schritte endet.

Für eine nilpotent Gruppe der kleinste solcher n, dass G eine Hauptreihe der Länge hat, wird n die nilpotency Klasse von G genannt; und, wie man sagt, ist G nilpotent der Klasse n. (Definitionsgemäß ist die Länge n, wenn es n + 1 verschiedene Untergruppen in der Reihe, einschließlich der trivialen Untergruppe und der ganzen Gruppe gibt.)

Gleichwertig kommt die nilpotency Klasse von G der Länge der niedrigeren Hauptreihe oder oberen Hauptreihe gleich.

Wenn eine Gruppe nilpotency Klasse am grössten Teil der M hat, dann wird es manchmal eine Null-M Gruppe genannt.

Es folgt sofort von einigen der obengenannten Formen der Definition von nilpotency, dass die triviale Gruppe die einzigartige Gruppe der nilpotency Klasse 0 ist, und Gruppen der nilpotency Klasse 1 genau die nichttrivialen abelian Gruppen sind.

Beispiele

• Wie bemerkt, oben ist jede abelian Gruppe nilpotent.
• Für ein kleines non-abelian Beispiel, denken Sie die quaternion Gruppe Q, der eine kleinste non-abelian P-Gruppe ist. Es hat Zentrum {1, −1} des Auftrags 2, und seine obere Hauptreihe ist {1}, {1, −1}, Q; so ist es nilpotent der Klasse 2.
• Alle begrenzten P-Gruppen sind tatsächlich nilpotent (Beweis). Die maximale Klasse einer Gruppe des Auftrags p ist n - 1. Die 2 Gruppen der maximalen Klasse sind die verallgemeinerten quaternion Gruppen, die zweiflächigen Gruppen und die halbzweiflächigen Gruppen.
• Das direkte Produkt von zwei nilpotent Gruppen ist nilpotent.
• Umgekehrt ist jede begrenzte nilpotent Gruppe das direkte Produkt von P-Gruppen.
• Die Heisenberg Gruppe ist ein Beispiel von non-abelian, unendlicher nilpotent Gruppe.
• Die multiplicative Gruppe von oberem unitriangular n x n matrices über jedes Feld F ist eine nilpotent Gruppe der nilpotent Länge n - 1.
• Die multiplicative Gruppe von invertible oberem dreieckigem n x n matrices über Feld F ist nicht in allgemeinem nilpotent, aber ist lösbar.

Erklärung des Begriffes

Gruppen von Nilpotent sind so genannt, weil "adjoint Handlung" jedes Elements nilpotent ist, bedeutend, dass für eine nilpotent Gruppe G des nilpotence Grads n und eines Elements g die Funktion, die durch definiert ist (wo der Umschalter von g und x ist), nilpotent im Sinn ist, dass die n-te Wiederholung der Funktion trivial ist: für alle darin.

Das ist nicht eine Definieren-Eigenschaft von nilpotent Gruppen: Gruppen, für die nilpotent des Grads n ist (im Sinn oben) werden n-Engel Gruppen genannt, und brauchen nicht nilpotent im Allgemeinen zu sein. Wie man beweist, sind sie nilpotent, wenn sie begrenzte Ordnung haben und vermutet werden, um nilpotent zu sein, so lange sie begrenzt erzeugt werden.

Eine abelian Gruppe ist genau ein, für den die adjoint Handlung nicht nur nilpotent, aber trivial (eine 1-Engel Gruppe) ist.

Eigenschaften

Da jede aufeinander folgende Faktor-Gruppe Z/Z in der oberen Hauptreihe ist abelian und die Reihe, begrenzt ist, ist jede nilpotent Gruppe eine lösbare Gruppe mit einer relativ einfachen Struktur.

Jede Untergruppe einer nilpotent Gruppe der Klasse n ist nilpotent der Klasse am grössten Teil von n; außerdem, wenn f ein Homomorphismus einer nilpotent Gruppe der Klasse n ist, dann ist das Image von f nilpotent der Klasse am grössten Teil von n.

Die folgenden Behauptungen sind für begrenzte Gruppen gleichwertig, einige nützliche Eigenschaften von nilpotency offenbarend:

• G ist eine nilpotent Gruppe.
• Wenn H eine richtige Untergruppe von G ist, dann ist H eine richtige normale Untergruppe von N (H) (der normalizer von H in G). Das wird das normalizer Eigentum genannt und kann einfach ausgedrückt werden, als "normalizers wachsen".
• Jede maximale richtige Untergruppe von G ist normal.
• G ist das direkte Produkt seiner Untergruppen von Sylow.

Die letzte Behauptung kann zu unendlichen Gruppen erweitert werden: Wenn G eine nilpotent Gruppe ist, dann ist jede Untergruppe von Sylow G G normal, und das direkte Produkt dieser Untergruppen von Sylow ist die Untergruppe aller Elemente der begrenzten Ordnung in G (sieh Verdrehungsuntergruppe).

Viele Eigenschaften von nilpotent Gruppen werden von Hyperhauptgruppen geteilt.

• Die Homologie in der Gruppentheorie, durch Urs Stammbach, Vortrag-Zeichen in Mathematik, Band 359, Springer-Verlag, New York, 1973, vii+183 Seiten prüft nach