In der Mathematik ist der Prozess von Wiener ein dauernd-maliger zu Ehren von Norbert Wiener genannter stochastischer Prozess. Es wird häufig normale Brownsche Bewegung nach Robert Brown genannt. Es ist einer der am besten bekannten Prozesse von Lévy (càdlàg stochastische Prozesse mit der stationären unabhängigen Zunahme) und kommt oft in der reinen und angewandten Mathematik, Volkswirtschaft und Physik vor.

Der Wiener-Prozess spielt eine wichtige Rolle sowohl in der reinen als auch angewandten Mathematik. In der reinen Mathematik hat der Prozess von Wiener die Studie von dauernden Zeitmartingalen verursacht. Es ist ein Schlüsselprozess, in Bezug auf den mehr komplizierte stochastische Prozesse beschrieben werden können. Als solcher spielt es eine Lebensrolle in der stochastischen Rechnung, den Diffusionsprozessen und der sogar potenziellen Theorie. Es ist der Fahrprozess der Schramm-Loewner Evolution. In der angewandten Mathematik wird der Prozess von Wiener verwendet, um das Integral von Gaussian weißer Geräuschprozess zu vertreten, und ist so als ein Modell des Geräusches in der Elektronik-Technik, der Instrument-Fehler in der durchscheinenden Theorie und der unbekannten Kräfte in der Steuerungstheorie nützlich.

Der Wiener-Prozess hat Anwendungen überall in den mathematischen Wissenschaften. In der Physik wird es verwendet, um Brownsche Bewegung, die Verbreitung von Minutenpartikeln zu studieren, die in Flüssigkeit und anderen Typen der Verbreitung über die Gleichungen von Fokker-Planck und Langevin aufgehoben sind. Es bildet auch die Basis für den strengen Pfad integrierte Formulierung der Quant-Mechanik (durch die Feynman-Kac Formel, eine Lösung der Gleichung von Schrödinger kann in Bezug auf den Prozess von Wiener vertreten werden), und die Studie der ewigen Inflation in der physischen Kosmologie. Es ist auch in der mathematischen Theorie der Finanz, insbesondere das Schwarze-Scholes Auswahl-Preiskalkulationsmodell prominent.

Charakterisierungen des Prozesses von Wiener

Die Wiener gehen in einer Prozession W wird durch drei Eigenschaften charakterisiert:

1. W = 0
2. Die Funktion t  W ist fast sicher dauernder
3. W hat unabhängige Zunahme damit (für 0  s) zeigt die Normalverteilung mit dem erwarteten Wert μ und Abweichung σ an. Die Bedingung, dass es unabhängige Zunahme hat, bedeutet dass wenn 0  s  s dann W − W und W − W sind unabhängige zufällige Variablen, und die ähnliche Bedingung hält für die N-Zunahme.

Eine alternative Charakterisierung des Prozesses von Wiener ist die so genannte Charakterisierung von Lévy, die sagt, dass der Prozess von Wiener ein fast sicher dauerndes Martingal mit W = 0 und quadratische Schwankung [W, W] = t ist (was das W &minus bedeutet; t ist auch ein Martingal).

Eine dritte Charakterisierung besteht darin, dass der Prozess von Wiener eine geisterhafte Darstellung als eine Sinus-Reihe hat, deren Koeffizienten unabhängiger N (0,1) zufällige Variablen sind. Diese Darstellung kann mit dem Karhunen-Loève Lehrsatz erhalten werden.

Der Wiener-Prozess kann als die kletternde Grenze eines zufälligen Spaziergangs oder andere stochastische Prozesse der diskreten Zeit mit der stationären unabhängigen Zunahme gebaut werden. Das ist als der Lehrsatz von Donsker bekannt. Wie der zufällige Spaziergang ist der Prozess von Wiener in einer oder zwei Dimensionen wiederkehrend (das Meinen, dass es fast sicher zu jeder festen Nachbarschaft des Ursprungs ungeheuer häufig zurückkehrt), wohingegen es in Dimensionen drei und höher nicht wiederkehrend ist. Verschieden vom zufälligen Spaziergang ist es Skala invariant, das bedeutend

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ist ein Prozess von Wiener für jeden unveränderlichen Nichtnull-α. Das Wiener-Maß ist das Wahrscheinlichkeitsgesetz über den Raum von dauernden Funktionen g, mit g (0) = 0, veranlasst durch den Prozess von Wiener. Ein auf dem Maß von Wiener gestütztes Integral kann integrierten Wiener genannt werden.

Eigenschaften eines eindimensionalen Prozesses von Wiener

Grundlegende Eigenschaften

Die vorbehaltlose Wahrscheinlichkeitsdichte fungiert in einer festen Zeit t:

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Die Erwartung ist Null:

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Die Abweichung ist t:

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Die Kovarianz und Korrelation:

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Die Ergebnisse für die Erwartung und Abweichung folgen sofort aus der Definition, die Zunahme eine Normalverteilung hat, die an der Null in den Mittelpunkt gestellt ist. So

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Die Ergebnisse für die Kovarianz und Korrelation folgen aus der Definition, dass nichtüberlappende Zunahme unabhängig ist, von denen nur das Eigentum dass sie unkorreliert sind, wird verwendet. Nehmen Sie das t an.

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Setzen Sie die einfache Identität ein:

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Seitdem W (t) = W (t) − W (t) und W (t) − W (t), sind unabhängig

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So

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Das Laufen des Maximums

Der gemeinsame Vertrieb des laufenden Maximums und ist

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Um den vorbehaltlosen Vertrieb dessen zu bekommen, integrieren Sie

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Und die Erwartung:

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Selbstähnlichkeit

Schuppen von Brownian

Für jeden c> 0 ist der Prozess ein anderer Prozess von Wiener.

Zeitumkehrung

Der Prozess für 0  t  1 wird wie für 0  t  1 verteilt.

Zeitinversion

Der Prozess ist ein anderer Prozess von Wiener.

Eine Klasse von Martingalen von Brownian

Wenn ein Polynom p (x, t) den PDE befriedigt

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dann der stochastische Prozess

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ist ein Martingal.

Beispiel: Ist ein Martingal, das zeigt, dass die quadratische Schwankung darauf dem gleich ist, Hieraus folgt dass die erwartete Zeit des ersten Ausgangs davon bis gleich

ist

Mehr allgemein, für jedes Polynom p (x, t) ist der folgende stochastische Prozess ein Martingal:

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wo des Polynoms zu sein

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Beispiel: Der Prozess ist ein Martingal, das zeigt, dass die quadratische Schwankung des Martingals darauf gleich

ist

Über Funktionen p (xa, t) allgemeiner als Polynome, sieh lokale Martingale.

Einige Eigenschaften von Beispielpfaden

Der Satz aller Funktionen w mit diesen Eigenschaften ist vom vollen Maß von Wiener. D. h. ein Pfad (Beispielfunktion) des Prozesses von Wiener hat alle diese Eigenschaften fast sicher.

Qualitative Eigenschaften

• Für jeden ε> 0 nimmt die Funktion w sowohl (ausschließlich) positive als auch (ausschließlich) negative Werte auf (0, ε).
• Die Funktion w ist überall, aber differentiable nirgends (wie die Funktion von Weierstrass) dauernd.
• Punkte des lokalen Maximums der Funktion w sind ein dichter zählbarer Satz; die maximalen Werte sind verschieden pairwise; jedes lokale Maximum ist im folgenden Sinn scharf: Wenn w ein lokales Maximum an t dann hat, weil s zu t neigt. Dasselbe hält für lokale Minima.
• Die Funktion w hat keine Punkte der lokalen Zunahme, d. h. kein t> 0 befriedigt den folgenden für einen ε in (0, t): erstens, w (s)  w (t) für den ganzen s in (t − ε, t), und zweitens, w (s)  w (t) für den ganzen s in (t, t + ε). (Lokale Zunahme ist eine schwächere Bedingung, als die w darauf zunimmt (t − ε, t + ε).) Dasselbe hält für die lokale Abnahme.
• Die Funktion w ist von der unbegrenzten Schwankung auf jedem Zwischenraum.
• Nullen der Funktion w sind ein nirgends dichter vollkommener Satz vom Maß von Lebesgue 0 und Dimension von Hausdorff 1/2 (deshalb, unzählbar).

Quantitative Eigenschaften

Gesetz des wiederholten Logarithmus

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Modul der Kontinuität

Lokales Modul der Kontinuität:

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Globales Modul der Kontinuität (Lévy):

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Ortszeit

Das Image des Maßes von Lebesgue auf [0, t] laut der Karte w (das Pushforward-Maß) hat eine Dichte L (·). So,

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für eine breite Klasse von Funktions-ƒ (nämlich: alle dauernden Funktionen; alle lokal integrable Funktionen; alle nichtnegativen messbaren Funktionen). Die Dichte L ist (mehr genau, kann und gewählt werden, um zu sein), dauernd. Die Nummer L (x) wird die Ortszeit an x von w auf [0, t] genannt. Es ist für den ganzen x des Zwischenraums ausschließlich positiv (a, b), wo a und b meist und der größte Wert von w auf [0, t] beziehungsweise sind. (Für x außerhalb dieses Zwischenraums verschwindet die Ortszeit zweifellos.) Hat als eine Funktion von zwei Variablen x und t behandelt, die Ortszeit ist noch dauernd. Behandelt als eine Funktion von t (während x befestigt wird) ist die Ortszeit eine einzigartige Funktion entsprechend einem Nichtatommaß auf dem Satz von Nullen von w.

Diese Kontinuitätseigenschaften sind ziemlich nichttrivial. Denken Sie, dass die Ortszeit auch (als die Dichte des Pushforward-Maßes) für eine glatte Funktion definiert werden kann. Dann, jedoch, ist die Dichte diskontinuierlich, wenn die gegebene Funktion Eintönigkeit nicht ist. Mit anderen Worten gibt es einen Konflikt zwischen gutem Verhalten einer Funktion und gutem Verhalten seiner Ortszeit. In diesem Sinn ist die Kontinuität der Ortszeit des Prozesses von Wiener eine andere Manifestation der Nichtglätte der Schussbahn.

Zusammenhängende Prozesse

Der stochastische Prozess durch definiert

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wird einen Prozess von Wiener mit dem Antrieb μ und unendlich kleine Abweichung σ genannt. Diese Prozesse erschöpfen dauernde Prozesse von Lévy.

Zwei Zufallsprozesse auf dem Zeitabstand [0, 1], erscheinen grob das Sprechen, wenn sie den Prozess von Wiener bedingen, um auf beiden Enden [0,1] zu verschwinden. Ohne weiteres Bedingen nimmt der Prozess sowohl positive als auch negative Werte [0, 1] an und wird die Brownian Bridge genannt. Bedingt, um auch positiv auf (0, 1) zu bleiben, wird der Prozess Ausflug von Brownian genannt.

In beiden Fällen ist eine strenge Behandlung mit einem Begrenzungsverfahren verbunden, da die Formel wenn nicht gilt

Eine geometrische Brownsche Bewegung kann geschrieben werden

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Es ist ein stochastischer Prozess, der an Musterprozesse gewöhnt ist, die negative Werte wie der Wert von Lagern nie übernehmen können.

Der stochastische Prozess

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wird wie der Prozess von Ornstein-Uhlenbeck verteilt.

Die Zeit, einen einzelnen Punkt x> 0 durch den Prozess von Wiener zu schlagen, ist eine zufällige Variable mit dem Vertrieb von Lévy. Die Familie dieser zufälligen Variablen (mit einem Inhaltsverzeichnis versehen durch alle positiven Zahlen x) ist eine nach links dauernde Modifizierung eines Prozesses von Lévy. Die richtig-dauernde Modifizierung dieses Prozesses wird durch Zeiten des ersten Ausgangs von geschlossenen Zwischenräumen [0, x] gegeben.

Die Ortszeit L (0) hat als eine zufällige Funktion von t behandelt ist ein Zufallsprozess, der wie der Prozess verteilt ist

Die Ortszeit L (x) hat als eine zufällige Funktion von x behandelt (während t unveränderlich ist), ist ein Zufallsprozess, der durch Lehrsätze des Strahl-Ritters in Bezug auf Prozesse von Bessel beschrieben ist.

Martingale von Brownian

Lassen Sie A ein mit dem Prozess von Wiener verbundenes Ereignis sein (mehr formell: Ein Satz, der in Bezug auf das Maß von Wiener, im Raum von Funktionen messbar ist), und X die bedingte Wahrscheinlichkeit Eines gegebenen gehen Wiener auf dem Zeitabstand [0, t] in einer Prozession (mehr formell: Das Maß von Wiener des Satzes von Schussbahnen, deren Verkettung mit der gegebenen teilweisen Schussbahn auf [0, t] A) gehört. Dann ist der Prozess X ein dauerndes Martingal. Sein Martingal-Eigentum folgt sofort aus den Definitionen, aber seine Kontinuität ist eine ganz besondere Tatsache - ein spezieller Fall eines allgemeinen Lehrsatzes feststellend, dass alle Martingale von Brownian dauernd sind. Ein Brownian Martingal, ist definitionsgemäß, ein an das Filtrieren von Brownian angepasstes Martingal; und das Filtrieren von Brownian, ist definitionsgemäß, das durch den Prozess von Wiener erzeugte Filtrieren.

Einheitliche Brownsche Bewegung

Das Zeitintegral des Prozesses von Wiener wird einheitliche Brownsche Bewegung genannt oder hat Prozess von Wiener integriert. Es entsteht in vielen Anwendungen und kann gezeigt werden, normalerweise mit der Null bösartig und Abweichung verteilt zu werden.

Zeitänderung

Jedes dauernde Martingal (am Ursprung anfangend), ist geänderter Prozess von Wiener einer Zeit.

Beispiel. 2W = V (4t), wo V ein anderer Prozess von Wiener (verschieden von W, aber verteilt wie W) ist.

Beispiel. wo und ein anderer Prozess von Wiener ist.

Im Allgemeinen, wenn M ein dauerndes Martingal dann ist, wo die quadratische Schwankung der M auf [0, t] ist, und ein Prozess von Wiener ist.

Folgeerscheinung. (Siehe auch die Martingal-Konvergenz-Lehrsätze von Doob) Lassen Sie, ein dauerndes Martingal und zu sein

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Dann sind nur die folgenden zwei Fälle möglich:

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andere Fälle (solcher als

Besonders hat ein nichtnegatives dauerndes Martingal eine begrenzte Grenze (als) fast sicher.

Alle haben (in diesem Paragraph) für Martingale festgesetzt hält auch für lokale Martingale.

Änderung des Maßes

Eine breite Klasse von dauernden Halbmartingalen (besonders, Diffusionsprozesse) ist mit dem Prozess von Wiener über eine Kombination der Zeitänderung und Änderung des Maßes verbunden.

Mit dieser Tatsache können die qualitativen für den Prozess von Wiener angegebenen Eigenschaften zu einer breiten Klasse von dauernden Halbmartingalen verallgemeinert werden.

Komplex-geschätzter Wiener-Prozess

Der Komplex-geschätzte Prozess von Wiener kann als ein Komplex-geschätzter Zufallsprozess der Form definiert werden, wo unabhängige (reellwertige) Prozesse von Wiener sind.

Selbstähnlichkeit

Schuppen von Brownian, Zeitumkehrung, Zeitinversion: dasselbe als im reellwertigen Fall.

Folge invariance: Für jede komplexe Zahl c solch, dass |c=1 der Prozess ein anderer Komplex-geschätzter Prozess von Wiener ist.

Zeitänderung

Wenn f eine komplette Funktion dann ist, ist der Prozess ein zeitgeänderter Komplex-geschätzter Prozess von Wiener.

Beispiel. wo und ein anderer Komplex-geschätzter Prozess von Wiener ist.

Im Gegensatz zum reellwertigen Fall ist ein Komplex-geschätztes Martingal allgemein nicht ein zeitgeänderter Komplex-geschätzter Prozess von Wiener. Zum Beispiel ist das Martingal nicht (hier sind unabhängige Prozesse von Wiener, wie zuvor).

Siehe auch

• Wiener abstrakter Raum
• Klassischer Wiener Raum
• Der Vertrieb von Chernoff

Referenzen

• Kleinert, Hagen, Pfad-Integrale in Quant-Mechanik, Statistik, Polymer-Physik, und Finanzmärkten, 4. Ausgabe, Welt Wissenschaftlich (Singapur, 2004); internationale Paperback-Standardbuchnummer 981-238-107-4 (auch verfügbar online: PDF-Dateien)
• Völlig, Henry, John W. Woods, Wahrscheinlichkeit und Zufallsprozesse mit Anwendungen, um Verarbeitung, 3. Ausgabe, Prentice Hall (New Jersey, 2002) Zeichen zu geben; internationale Lehrbuch-Standardbuchnummer 0-13-020071-9
• Durrett, R. (2000) Wahrscheinlichkeit: Theorie und Beispiele, 4. Ausgabe. Universität von Cambridge Presse, internationale Standardbuchnummer 0-521-76539-0
• Daniel Revuz und Marc Yor, Dauernde Martingale und Brownsche Bewegung, die zweite Ausgabe, Springer-Verlag 1994.

Links

• Brownsche Bewegung javanische Simulation
• Artikel für das schulgehende Kind
• Einstein auf der Brownschen Bewegung
• Brownsche Bewegung, "Verschieden und wellenförmig"
• Kurzer Film auf der Brownschen Bewegung
• Bespricht Geschichte, Botanik und Physik der ursprünglichen Beobachtungen von Brown, mit Videos
• "Die Vorhersage von Einstein hat schließlich ein Jahrhundert später gezeugt": Ein Test, um die Geschwindigkeit der Brownschen Bewegung zu beobachten