In der statistischen Physik ist eine Gleichung von Langevin (Paul Langevin, 1908) eine stochastische Differenzialgleichung, die die Zeitevolution einer Teilmenge der Grade der Freiheit beschreibt. Diese Grade der Freiheit sind normalerweise gesammelte (makroskopische) Variablen, die sich nur langsam im Vergleich mit den anderen (mikroskopischen) Variablen des Systems ändern. Die schnellen (mikroskopischen) Variablen sind für die stochastische Natur der Gleichung von Langevin verantwortlich.

Brownsche Bewegung als ein Prototyp

Die ursprüngliche Gleichung von Langevin beschreibt Brownsche Bewegung, die anscheinend zufällige Bewegung einer Partikel in einer Flüssigkeit wegen Kollisionen mit den Molekülen der Flüssigkeit,

Der Grad der Freiheit von Interesse hier ist die Position der Partikel, zeigt die Masse der Partikel an. Die Kraft, die der Partikel folgt, wird als eine Summe einer klebrigen Kraft geschrieben, die zur Geschwindigkeit der Partikel (das Gesetz von Stokes), und ein Geräuschbegriff η (t) proportional ist (der Name, der in physischen Zusammenhängen Begriffen in stochastischen Differenzialgleichungen gegeben ist, die stochastische Prozesse sind) das Darstellen der Wirkung der Kollisionen mit den Molekülen der Flüssigkeit. Die Kraft η (t) hat einen Wahrscheinlichkeitsvertrieb von Gaussian mit der Korrelationsfunktion

wo k die Konstante von Boltzmann ist und T die Temperatur ist. Der δ-function des Zeitunterschiedes ist eine Annäherung, die wirkliche zufällige Kraft hat eine begrenzte Korrelationszeit entsprechend der Kollisionszeit der Moleküle. Jedoch wird die Gleichung von Langevin verwendet, um die Bewegung einer "makroskopischen" Partikel an einem viel längeren zeitlichen Rahmen zu beschreiben, und in dieser Grenze werden der δ-correlation und die Gleichung von Langevin genau. Eine andere archetypische Eigenschaft der Gleichung von Langevin ist das Ereignis des Dämpfungskoeffizienten λ in der Korrelationsfunktion der zufälligen Kraft.

Allgemeine Langevin Gleichung

Es gibt eine formelle Abstammung einer allgemeinen Gleichung von Langevin von der klassischen Mechanik. Diese allgemeine Gleichung spielt eine Hauptrolle in der Theorie der kritischen Dynamik und den anderen Gebieten des Nichtgleichgewichts statistische Mechanik. Die Gleichung für die Brownsche Bewegung ist oben ein spezieller Fall.

Eine wesentliche Bedingung der Abstammung ist ein Kriterium, das die Grade der Freiheit in die Kategorien langsam und schnell teilt. Zum Beispiel wird das lokale thermodynamische Gleichgewicht in einer Flüssigkeit innerhalb von ein paar Kollisionsmalen erreicht. Aber es nimmt viel länger für Dichten von erhaltenen Mengen wie Masse und Energie, sich zum Gleichgewicht zu entspannen. Dichten von erhaltenen Mengen, und insbesondere ihre langen Wellenlänge-Bestandteile, sind so langsame variable Kandidaten. Technisch wird diese Abteilung mit dem Vorsprung-Maschinenbediener von Zwanzig, dem wesentlichen Werkzeug in der Abstammung begriffen. Die Abstammung ist nicht völlig streng, weil sie sich auf (plausible) Annahmen verlässt, die mit Annahmen verwandt sind, erforderlich anderswohin in der grundlegenden statistischen Mechanik.

Lassen Sie = {Ein} Anzeigen der langsamen Variablen. Die allgemeine Gleichung von Langevin liest dann

Die schwankende Kraft η (t) folgt einem Wahrscheinlichkeitsvertrieb von Gaussian mit der Korrelationsfunktion

Das bezieht die Reziprozitätsbeziehung von Onsager λ =λ für die Dämpfungskoeffizienten λ ein. Die Abhängigkeit dλ/dA λ auf A ist in den meisten Fällen unwesentlich.

Das Symbol =-ln (p) zeigt Hamiltonian des an

System, wo p (A) der equlibribium Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Variablen A ist. Schließlich, [A,] ist die Klammer von Poisson der langsamen Variablen A und A.

Im Fall der Brownschen Bewegung würde man = 'p / (2mkT), haben

A = {'p} oder = {x, p} und [x, p] = δ. Die Gleichung der Bewegung d'x/dt=p/m für x ist genau, es gibt keine schwankende Kraft η und keinen Dämpfungskoeffizienten λ.

Andere Beispiele und zusätzliche Zeichen

Eine Lösung einer Gleichung von Langevin für eine besondere Verwirklichung der schwankenden Kraft ist von keinem Interesse allein, was von Interesse ist, sind Korrelationsfunktionen der langsamen Variablen nach der Mittelwertbildung über die schwankende Kraft.

Eine Methode der Lösung macht von der Gleichung von Fokker-Planck Gebrauch, die eine deterministische als abhängige Wahrscheinlichkeitsdichte zufriedene Gleichung zur Verfügung stellt. Wechselweise numerische Lösungen können durch die Simulation von Monte Carlo erhalten werden. Andere Techniken, wie Pfad-Integrale sind auch verwendet worden, sich auf die Analogie zwischen statistischer Physik und Quant-Mechanik stützend (ist die Gleichung von Fokker-Planck zur Gleichung von Schrödinger formell gleichwertig).

Harmonischer Oszillator in einer Flüssigkeit

Das Diagramm am Recht zeigt ein Phase-Bildnis der Zeitevolution des Schwungs, p=mv, gegen die Position, r von einem harmonischen Oszillator. Deterministische Bewegung würde entlang den ellipsenförmigen Schussbahnen folgen, die einander nicht durchqueren können, ohne Energie zu ändern. Die Anwesenheit einer molekularen flüssigen Umgebung (vertreten durch die Verbreitung und befeuchtenden Begriffe) fügt ständig hinzu und entfernt kinetische Energie vom System, ein anfängliches Ensemble von stochastischen Oszillatoren (punktierte Kreise) veranlassend, sich auszubreiten, schließlich Thermalgleichgewicht erreichend.

Thermalgeräusch in einem elektrischen Widerstand

Eine andere Anwendung ist Geräusch von Johnson, die elektrische Stromspannung, die durch Thermalschwankungen in jedem Widerstand erzeugt ist. Das Diagramm am Recht zeigt einen elektrischen Stromkreis, der aus einem Widerstand R und einer Kapazität C besteht. Die langsame Variable ist die Stromspannung U zwischen den Enden des Widerstands. Der Hamiltonian liest = E/kT=CU / (2kT), und die Gleichung von Langevin wird

\left\langle \eta \left (t\right) \eta \left (t^ {\\erster }\\Recht) \right\rangle = \frac {2k_ {B} T} {RC^ {2} }\\Delta \left (t-t^ {\\erster }\\Recht). </Mathematik>

Diese Gleichung kann verwendet werden, um die Korrelationsfunktion zu bestimmen

\left (k_ {B} T/C\right) \exp \left (\left\vert t-t^ {\\erster }\\right\vert

/RC\right) \approx 2Rk_ {B} T\delta \left (t-t^ {\\erster }\\Recht), </Mathematik>

der ein weißes Geräusch wird (Geräusch von Johnson), wenn die Kapazität C wird

unwesentlich klein.

Siehe auch

• Dynamik von Langevin

Weiterführende Literatur

• W. T. Coffey (Dreieinigkeitsuniversität, Dublin, Irland), Yu P. Kalmykov (Université de Perpignan, Frankreich) & J. T. Waldron (Dreieinigkeitsuniversität, Dublin, Irland), Die Langevin Gleichung, Mit Anwendungen auf Stochastische Probleme in der Physik, Chemie und Elektrotechnik (die Zweite Ausgabe), Wissenschaftliche Weltreihe in der Zeitgenössischen Chemischen Physik - Vol 14. (Die Erstausgabe ist Vol 10)
• Reif, F. Grundlagen der Statistischen und Thermischen Physik, McGraw der Hügel New York, 1965. Sieh Abschnitt 15.5 Langevin Gleichung
• R. Friedrich, J. Peinke und Ch. Renner. Wie man Deterministische und Zufällige Einflüsse auf die Statistik des Devisenmarkts, Phys Misst. Hochwürdiger. Lette. 84, 5224 - 5227 (2000)
• L.C.G. Rogers und D. Williams. Verbreitungen, Prozesse von Markov und Martingale, Cambridge Mathematische Bibliothek, Universität von Cambridge Presse, Cambridge, Nachdruck von 2. (1994) Ausgabe, 2000.