In der Mathematik ist die Gehirnwindung von Dirichlet eine binäre für arithmetische Funktionen definierte Operation; es ist in der Zahlentheorie wichtig. Es wurde von Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, einem deutschen Mathematiker entwickelt.

Definition

Wenn ƒ und g sind zwei arithmetische Funktionen (d. h. Funktionen von den positiven ganzen Zahlen bis die komplexen Zahlen), man definiert einen neuen ƒ der arithmetischen Funktion * g, die Gehirnwindung von Dirichlet von ƒ und g durch

:

\begin {richten }\aus

(f*g) (n)

&= \sum_ {d \,\mid \, n} f (d) g\left (\frac {n} {d }\\Recht) \\

&= \sum_ {ab \, = \, n} f (a) g (b)

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo sich die Summe über alle positiven Teiler d von n, oder gleichwertig über alle Paare (a, b) von positiven ganzen Zahlen ausstreckt, deren Produkt n ist.

Eigenschaften

Der Satz von arithmetischen Funktionen bildet einen Ersatzring, unter der pointwise Hinzufügung (d. h. f + wird g durch (f + g) (n) = f (n) + g (n)) definiert, und Gehirnwindung von Dirichlet. Die multiplicative Identität ist die Funktion, die durch (n) = 1 wenn n = 1 und (n) = 0 wenn n> 1 definiert ist. Die Einheiten (d. h. invertible Elemente) dieses Rings sind die arithmetischen Funktionen f mit f (1)  0.

Spezifisch ist Gehirnwindung von Dirichlet, assoziativ

: (f * g) * h = f * (g * h),

verteilt über die Hinzufügung

: f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f,

ist

auswechselbar

: f * g = g * f,

und hat ein Identitätselement,

: f * = * f = f.

Außerdem, für jeden f, für den f (1)  0 dort ein solcher g dass f * g =, genannt von f besteht.

Die Dirichlet Gehirnwindung von zwei Multiplicative-Funktionen ist wieder multiplicative, und jede Multiplicative-Funktion hat ein Gegenteil von Dirichlet, das auch multiplicative ist. Der Artikel über Multiplicative-Funktionen verzeichnet mehrere Gehirnwindungsbeziehungen unter wichtigen Multiplicative-Funktionen.

Gegeben völlig fungieren multiplicative f dann f (g*h) = (f g) * (f h), wo Nebeneinanderstellung pointwise Multiplikation vertritt. Die Gehirnwindung zwei völlig multiplicative Funktionen ist ein fortiori multiplicative, aber nicht notwendigerweise völlig multiplicative.

Beispiele

In diesen Formeln

: ist die multiplicative Identität. (D. h. (1) = 1, alle anderen Werte 0.)

: 1 ist die unveränderliche Funktion, deren Wert 1 für den ganzen n ist. (D. h. 1 (n) = 1.) Beachten, dass 1 nicht die Identität ist.

: 1 wo ein Satz ist, ist die Anzeigefunktion. (D. h. 1 (n) = 1 wenn n &isin; C, 0 sonst.)

: Id ist die Identitätsfunktion, deren Wert n ist. (D. h. Id (n) = n.)

: Id ist die kth Potenzfunktion. (D. h. Id (n) = n.)

: Die anderen Funktionen werden im Artikel arithmetische Funktion definiert.

• 1 * μ = (ist das Gegenteil von Dirichlet der unveränderlichen Funktion 1 die Funktion von Möbius.) Das bezieht ein
• g = f * 1 wenn und nur wenn f = g * μ (die Inversionsformel von Möbius).
• λ * μ =, wo λ die Funktion von Liouville ist.
• λ * 1 = 1 wo Sq = {1, 4, 9...} ist der Satz von Quadraten

• = Id * 1 Definition der Funktion σ\

• = Id * 1 Definition der Funktion σ = σ\
• d = 1 * 1 Definition der Funktion d (n) = σ\
• Id = * Inversion von Möbius der Formeln für σ, σ, und d.
• Id = *
• 1 = d * μ\
• d * 1 = (d * 1)

• * 1 = Id wird Diese Formel in der Artikel-Totient-Funktion von Euler bewiesen.
• J * 1 = Id
• (IdJ) * J = J

• = * d Beweis: convolve 1 zu beiden Seiten von Id = * 1.
• Λ * 1 = loggen, wo Λ die Funktion von von Mangoldts ist

Gegenteil von Dirichlet

In Anbetracht einer arithmetischen Funktion &fnof; sein Gegenteil von Dirichlet g = &fnof; kann rekursiv berechnet werden (d. h. der Wert von g ist (n) in Bezug auf g (m) für die M (1) = 1, so

: g (1) = 1/&fnof; (1). Das bezieht das &fnof ein; hat kein Gegenteil von Dirichlet wenn &fnof; (1) = 0.

Für n = 2

: (&fnof; * g) (2) = &fnof; (1) g (2) + &fnof; (2) g (1) = (2) = 0,

: g (2) = &minus;1/&fnof; (1) (&fnof; (2) g (1)),

Für n = 3

: (&fnof; * g) (3) = &fnof; (1) g (3) + &fnof; (3) g (1) = (3) = 0,

: g (3) = &minus;1/&fnof; (1) (&fnof; (3) g (1)),

Für n = 4

: (&fnof; * g) (4) = &fnof; (1) g (4) + &fnof; (2) g (2) + &fnof; (4) g (1) = (4) = 0,

: g (4) = &minus;1/&fnof; (1) (&fnof; (4) g (1) + &fnof; (2) g (2)),

und im Allgemeinen für n> 1,

:

g (n) =

\frac {-1} {f (1)} \sum_\stackrel {d \,\mid \, n} {d

Da die einzige Abteilung durch &fnof ist; (1) zeigt das das &fnof; hat ein Gegenteil von Dirichlet wenn und nur wenn &fnof; (1)  0.

Reihe von Dirichlet

Wenn f eine arithmetische Funktion ist, definiert man seine Reihe-Erzeugen-Funktion von Dirichlet durch

:

DG (f; s) = \sum_ {n=1} ^\\infty \frac {f (n)} {n^s }\

</Mathematik>

für jene komplizierten Argumente s, für den die Reihe zusammenläuft (wenn es irgendwelchen gibt). Die Multiplikation der Reihe von Dirichlet ist mit der Gehirnwindung von Dirichlet im folgenden Sinn vereinbar:

:

DG (f; s) DG (g; s) = DG (f*g; s) \,

</Mathematik>

für den ganzen s, für den beide Reihen der linken Seite, einer von ihnen zusammenlaufen, mindestens zusammenlaufend

absolut (bemerken, dass die einfache Konvergenz von beiden Reihen der linken Seite Konvergenz der rechten Seite NICHT einbezieht!). Das ist mit dem Gehirnwindungslehrsatz verwandt, wenn man an die Reihe von Dirichlet denkt, weil sich ein Fourier verwandelt.

Zusammenhängende Konzepte

Die Beschränkung der Teiler in der Gehirnwindung zum einheitlichen, bi-unitary oder infinitary Teiler definiert ähnlichen auswechselbaren

Operationen, die viele Eigenschaften mit der Gehirnwindung von Dirichlet teilen (Existenz

einer Inversion von Möbius, Fortsetzung von multiplicativity, Definitionen

totients, Euler-Typ-Produktformeln über die verbundene Blüte...).