In der Rechnung stellt der Lehrsatz von Rolle im Wesentlichen fest, dass eine Differentiable-Funktion, die gleiche Werte an zwei verschiedenen Punkten erreicht, einen Punkt irgendwo zwischen ihnen haben muss, wo die erste Ableitung (der Hang der Tangente-Linie zum Graphen der Funktion) Null ist.

Standardversion des Lehrsatzes

Wenn ein reellwertiger Funktions-ƒ auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b], differentiable auf dem offenen Zwischenraum (a, b), und ƒ (a) = ƒ (b) dauernd ist, dann dort besteht ein c im offenen Zwischenraum (a, b) solch dass

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Diese Version des Lehrsatzes von Rolle wird verwendet, um den Mittelwertlehrsatz zu beweisen, dessen der Lehrsatz von Rolle tatsächlich ein spezieller Fall ist. Es ist auch die Basis für den Beweis des Lehrsatzes von Taylor.

Geschichte

Der erste bekannte formelle Beweis wurde von Michel Rolle 1691 angeboten, der die Methoden der Differenzialrechnung verwendet hat.

Der Name "der Lehrsatz von Rolle" wurde zuerst von Moritz Wilhelm Drobisch aus Deutschland 1834 und von Giusto Bellavitis aus Italien 1846 verwendet.

Beispiele

Das erste Beispiel

Für einen Radius r> 0 denken die Funktion

Sein Graph ist der obere am Ursprung in den Mittelpunkt gestellte Halbkreis. Diese Funktion ist auf dem geschlossenen Zwischenraum [−r,r] und differentiable im offenen Zwischenraum (−r,r), aber nicht differentiable an den Endpunkten −r und r dauernd. Seitdem f (−r) = f (r) gilt der Lehrsatz von Rolle, und tatsächlich, es gibt einen Punkt, wo die Ableitung von f Null ist. Bemerken Sie, dass der Lehrsatz gilt, selbst wenn die Funktion an den Endpunkten nicht unterschieden werden kann, weil es nur der Funktion verlangt, differentiable im offenen Zwischenraum zu sein.

Das zweite Beispiel

Wenn differentiability an einem Innenpunkt des Zwischenraums scheitert, kann der Beschluss des Lehrsatzes von Rolle nicht halten. Denken Sie die absolute Wertfunktion

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Dann f (−1) = f (1), aber gibt es keinen c zwischen −1 und 1, für den die Ableitung Null ist. Das ist, weil diese Funktion, obwohl dauernd, nicht differentiable an x = 0 ist. Bemerken Sie, dass die Ableitung von f sein Zeichen an x = 0 ändert, aber ohne den Wert 0 zu erreichen. Der Lehrsatz kann auf diese Funktion klar nicht angewandt werden, weil es die Bedingung nicht befriedigt, dass die Funktion differentiable für jeden x im offenen Zwischenraum sein muss.

Generalisation

Das zweite Beispiel illustriert die folgende Generalisation des Lehrsatzes von Rolle:

Denken Sie eine reellwertige, dauernde Funktion f auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] mit f (a) = f (b). Wenn für jeden x im offenen Zwischenraum (a, b) die rechte Grenze

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und die linke Grenze

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bestehen Sie in der verlängerten echten Linie [−,], dann gibt es eine Nummer c im offenen Zwischenraum (a, b) solch dass eine der zwei Grenzen

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ist  0, und der andere ist  0 (in der verlängerten echten Linie). Wenn das Recht - und linke Grenze für jeden x zustimmt, dann stimmen sie insbesondere für c zu, folglich besteht die Ableitung von f an c und ist der Null gleich.

Bemerkungen

1. Wenn f konvex oder konkav ist, dann besteht das Recht - und linke Ableitungen an jedem inneren Punkt, folglich bestehen die obengenannten Grenzen und sind reelle Zahlen.
2. Diese verallgemeinerte Version des Lehrsatzes ist genügend, um Konvexität zu beweisen, wenn die einseitigen Ableitungen Monotonically-Erhöhung sind:

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Beweis der verallgemeinerten Version

Da der Beweis für die Standardversion des Lehrsatzes von Rolle und der Generalisation sehr ähnlich ist, beweisen wir die Generalisation.

Die Idee vom Beweis ist zu behaupten, dass wenn f (a) = f (b), dann muss f entweder ein Maximum oder ein Minimum irgendwo zwischen a und b erreichen, an c sagen, und sich die Funktion davon ändern muss, bis das Verringern (oder der andere Weg ringsherum) an c zuzunehmen. Insbesondere wenn die Ableitung besteht, muss es Null an c sein.

Durch die Annahme ist f auf [a dauernd, b], und durch den äußersten Wertlehrsatz erreicht sowohl sein Maximum als auch sein Minimum in [a, b]. Wenn diese beide an den Endpunkten [a, b] erreicht werden, dann ist f auf [a, b] unveränderlich, und so ist die Ableitung von f Null an jedem Punkt in (a, b).

Nehmen Sie dann an, dass das Maximum an einem Innenpunkt c davon erhalten wird (a, b) (ist das Argument für das Minimum sehr ähnlich, ziehen Sie gerade −f in Betracht). Wir werden das obengenannte Recht - und linke Grenzen getrennt untersuchen.

Für einen echten solchen h, dass c + h in [a, b] ist, ist der Wert f (c + h) kleiner oder f (c) gleich, weil f sein Maximum an c erreicht. Deshalb, für jeden h> 0,

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folglich

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wo die Grenze durch die Annahme besteht, kann es minus die Unendlichkeit sein.

Ähnlich für jeden h

folglich:

wo die Grenze plus die Unendlichkeit sein könnte.

Schließlich, wenn das obengenannte Recht - und linke Grenzen zustimmt (insbesondere, wenn f differentiable ist), dann muss die Ableitung von f an c Null sein.

Generalisation zu höheren Ableitungen

Wir können auch den Lehrsatz von Rolle verallgemeinern, indem wir verlangen, dass f mehr Punkte mit gleichen Werten und größerer Regelmäßigkeit hat. Nehmen Sie spezifisch das an

• die Funktion f ist n − 1mal unaufhörlich differentiable auf dem geschlossenen Zwischenraum [a, b] und die n Ableitung besteht auf dem offenen Zwischenraum (a, b), und
• es gibt n Zwischenräume, die durch einen  ein  gegeben sind...  in [a, b] solch dass f (a) = f (b) für jeden k von 1 bis n.

Dann gibt es eine Nummer c in (a, b) solch, dass die n Ableitung von f an c Null ist.

Natürlich können die Voraussetzungen bezüglich der n Ableitung von f als in der Generalisation oben geschwächt werden, das Entsprechen (vielleicht schwächer) Behauptungen für das Recht - und linke Grenzen gebend, die oben mit f im Platz von f definiert sind.

Beweis

Der Beweis verwendet mathematische Induktion. Für n = 1 ist einfach die Standardversion des Lehrsatzes von Rolle. Als Induktionsvoraussetzung, nehmen Sie an, dass die Generalisation für n &minus wahr ist; 1. Wir wollen es für n> 1 beweisen. Durch die Standardversion des Lehrsatzes von Rolle, für jede ganze Zahl k von 1 bis n, dort besteht ein c im offenen Zwischenraum (a, b) solch dass f (c) = 0. Folglich befriedigt die erste Ableitung die Annahmen mit dem n − 1 geschlossene Zwischenräume [c, c]... [c, c]. Durch die Induktionsvoraussetzung gibt es einen solchen c dass (n − 1) ist die Ableitung von f an c Null.

Generalisationen zu anderen Feldern

Der Lehrsatz von Rolle ist ein Eigentum von Differentiable-Funktionen über die reellen Zahlen, die ein bestelltes Feld sind. Als solcher verallgemeinert es zu anderen Feldern nicht, aber die folgende Folgeerscheinung tut: Wenn sich ein echtes Polynom aufspaltet (hat alle seine Wurzeln) über die reellen Zahlen, dann tut seine Ableitung ebenso - man kann dieses Eigentum eines Eigentums von Feldrolle nennen. Allgemeinere Felder haben keinen Begriff der Differentiable-Funktion immer, aber sie haben wirklich einen Begriff von Polynomen, die symbolisch unterschieden werden können. Ähnlich können allgemeinere Felder keine Ordnung haben, aber man hat einen Begriff einer Wurzel eines Polynoms, das in einem Feld liegt.

So zeigt der Lehrsatz von Rolle, dass die reellen Zahlen das Eigentum von Rolle haben, und jedes algebraisch geschlossene Feld wie die komplexen Zahlen das Eigentum von Rolle hat, aber umgekehrt tun die rationalen Zahlen nicht - zum Beispiel, Spalte über den rationals, aber tut seine Ableitung nicht. Dessen Frage Felder das Eigentum von Rolle befriedigen, wurde darin erhoben. Für begrenzte Felder ist die Antwort, dass nur und das Eigentum von Rolle haben; das wurde zuerst über technische Mittel in bewiesen, und ein einfacher Beweis wird eingereicht.

Für eine komplizierte Version, sieh Index von Voorhoeve.

Siehe auch

• Mittelwertlehrsatz
• Zwischenwertlehrsatz
• Geradlinige Interpolation
• Lehrsatz von Gauss-Lucas

Referenzen

Links

• Die und Bösartigen Wertlehrsätze von Rolle an der Knoten-Kürzung