Quadrieren der Kreis ist ein durch alten geometers vorgeschlagenes Problem. Es ist die Herausforderung, ein Quadrat mit dem gemeinsamen Bereich als ein gegebener Kreis durch das Verwenden nur einer begrenzten Zahl von Schritten mit dem Kompass und Haarlineal zu bauen. Abstrakter und genauer kann es genommen werden, um zu fragen, ob angegebene Axiome der Euklidischen Geometrie bezüglich der Existenz von Linien und Kreisen die Existenz solch eines Quadrats zur Folge haben.

1882, wie man bewies, war die Aufgabe demzufolge des Lindemann-Weierstrass Lehrsatzes unmöglich, der beweist, dass Pi ein transzendentaler, aber nicht eine algebraische irrationale Zahl ist; d. h. es ist nicht die Wurzel jedes Polynoms mit vernünftigen Koeffizienten. Es war seit einigen Jahrzehnten vorher dann bekannt gewesen, dass, wenn Pi dann transzendental war, der Aufbau unmöglich sein würde, aber dass Pi transzendental ist, wurde bis 1882 nicht bewiesen. Das ungefähre Quadrieren zu jeder gegebenen nichtvollkommenen Genauigkeit ist im Gegensatz in einer begrenzten Zahl von Schritten möglich, da es rationale Zahlen willkürlich in der Nähe vom Pi gibt.

Der Ausdruck "Quadrieren der Kreis" wird manchmal als eine Metapher verwendet, um zu versuchen, den Unmöglichen zu tun.

Der Begriff Quadratur des Kreises wird manchmal synonymisch gebraucht oder kann sich beziehen, um näher zu kommen, oder numerische Methoden, für das Gebiet eines Kreises zu finden.

Geschichte

Methoden, dem Gebiet eines gegebenen Kreises mit einem Quadrat näher zu kommen, waren bereits babylonischen Mathematikern bekannt. Der ägyptische Rhind Papyrus 1800BC gibt das Gebiet eines Kreises als (64/81), wo das Diameter des Kreises und Pi ist, das zu 256/81, eine Zahl näher gekommen ist, die im älteren Moskau Mathematischer Papyrus, und verwendet für Volumen-Annäherungen (d. h. hekat (Volumen-Einheit)) erscheint. Indianermathematiker haben auch eine ungefähre Methode, obwohl weniger genau, dokumentiert in Sulba Sutras gefunden. Archimedes hat gezeigt, dass der Wert des Pis zwischen 3 + 1/7 (etwa 3.1429) und 3 + 10/71 (etwa 3.1408) liegt. Sieh Numerische Annäherungen von π für mehr auf der Geschichte.

Der erste mit dem Problem zu vereinigende Grieche war Anaxagoras, der daran während im Gefängnis gearbeitet hat. Hippocrates von Chios hat bestimmten lunes in der Hoffnung quadratisch gemacht, dass es zu einer Lösung führen würde — sieh Lune von Hippocrates. Antiphon der Sophist hat geglaubt, dass das Einschreiben regelmäßiger Vielecke innerhalb eines Kreises und die Verdoppelung der Zahl von Seiten schließlich das Gebiet des Kreises, und seit einem Vieleck voll füllen werden, kann quadratisch gemacht werden, es bedeutet, dass der Kreis quadratisch gemacht werden kann. Sogar dann gab es Skeptiker — Eudemus hat behauptet, dass Umfänge ohne Grenze nicht zerteilt werden können, so wird das Gebiet des Kreises nie verbraucht. Das Problem wurde sogar im Spiel von Aristophanes Die Vögel erwähnt.

Es wird geglaubt, dass Oenopides der erste Grieche war, der eine Flugzeug-Lösung (d. h. mit nur einem Kompass und Haarlineal) verlangt hat. James Gregory hat einen Beweis seiner Unmöglichkeit in Vera Circuli und Hyperbeln Quadratura (Das Wahre Quadrieren des Kreises und der Hyperbel) 1667 versucht. Obwohl sein Beweis falsch war, war es das erste Papier, um zu versuchen, das Problem mit algebraischen Eigenschaften des Pis zu beheben. Erst als 1882, dass Ferdinand von Lindemann streng seine Unmöglichkeit bewiesen hat.

Der berühmte Mathematiker des Viktorianischen Alters, Logiker und Autor, Charles Lutwidge Dodgson (besser bekannt unter dem Pseudonym, "Lewis Carroll") haben auch Interesse am Entlarven unlogischer Kreisquadrieren-Theorien ausgedrückt. In einem seiner Tagebuch-Einträge für 1855 hat Dodgson Bücher verzeichnet, die er gehofft hat, einschließlich einen genannt "Einfache Tatsachen nach dem Kreis-Squarers" zu schreiben. In der Einführung in "Eine Neue Theorie von Parallelen" hat Dodgson einen Versuch nachgezählt, logische Fehler zu einigem Kreis-Squarers zu demonstrieren, festsetzend:

"Der erste von diesen zwei unangebrachten Hellsehern hat mich mit einem großen Ehrgeiz gefüllt, eine Leistung zu tun, von der ich, wie vollbracht, durch den Mann nie gehört habe, um nämlich einen seines Fehlers mehr quadratischen Kreis zu überzeugen! Der Wert mein für Pi ausgewählter Freund war 3.2: Der enorme Fehler hat mich mit der Idee verlockt, dass er leicht demonstriert werden konnte, um ein Fehler ZU SEIN. Mehr als eine Kerbe von Briefen wurde ausgewechselt, bevor ich traurig überzeugt geworden bin, dass ich keine Chance hatte."

Unmöglichkeit

Die Lösung des Problems des Quadrierens der Kreis durch den Kompass und das Haarlineal fordert Aufbau der Zahl und die Unmöglichkeit dieses Unternehmens, folgt aus der Tatsache, dass Pi ein transzendentaler ist

(nichtalgebraisch und deshalb non-constructible) Zahl. Wenn das Problem der Quadratur des Kreises mit nur den Kompass und das Haarlineal behoben wird, dann würde ein algebraischer Wert des Pis gefunden, der unmöglich ist. Johann Heinrich Lambert hat vermutet, dass Pi 1768 in derselben Zeitung transzendental war, hat er seine Unvernunft sogar bewiesen, bevor die Existenz von transzendenten Zahlen bewiesen wurde. Erst als 1882, dass Ferdinand von Lindemann seine Überlegenheit bewiesen hat.

Die Überlegenheit des Pis bezieht die Unmöglichkeit ein, genau das Quadrat, sowie vom Quadrieren der Kreis "zu umkreisen".

Es ist möglich, ein Quadrat mit einem Gebiet willkürlich in der Nähe von diesem eines gegebenen Kreises zu bauen. Wenn eine rationale Zahl als eine Annäherung des Pis verwendet wird, dann wird Quadrieren der Kreis möglich abhängig von den gewählten Werten. Jedoch ist das nur eine Annäherung und entspricht die Einschränkungen der alten Regeln nicht, für das Problem zu beheben. Mehrere Mathematiker haben bearbeitungsfähige auf einer Vielfalt von Annäherungen gestützte Verfahren demonstriert.

Das Verbiegen der Regeln durch das Erlauben einer unendlichen Zahl von Operationen des Kompasses-Und-Haarlineals oder durch das Durchführen der Operationen auf bestimmten nicht-euklidischen Räumen macht auch Quadrieren den möglichen Kreis. Zum Beispiel, obwohl der Kreis im Euklidischen Raum nicht quadratisch gemacht werden kann, kann es im Raum von Gauss-Bolyai-Lobachevsky sein. Tatsächlich ist sogar der vorhergehende Ausdruck überoptimistisch. Es gibt keine Quadrate als solcher im Hyperbelflugzeug, obwohl es regelmäßige Vierseite gibt, Vierseite mit allen Seiten kongruent und allen Winkeln kongruent bedeutend (aber diese Winkel sind ausschließlich kleiner als richtige Winkel).

Dort, bestehen Sie im Hyperbelflugzeug, (zählbar) ungeheuer vielen Paaren von constructible Kreisen und constructible regelmäßigen Vierseiten des gleichen Gebiets.

Jedoch gibt es keine Methode, um mit einem regelmäßigen Vierseit anzufangen und den Kreis des gleichen Gebiets zu bauen, und es gibt keine Methode, um mit einem Kreis anzufangen und ein regelmäßiges Vierseit des gleichen Gebiets zu bauen (selbst wenn der Kreis kleinen genug solchen Radius hat, dass ein regelmäßiges Vierseit des gleichen Gebiets besteht).

Moderne annähernde Aufbauten

Obwohl Quadrieren der Kreis ist ein unmögliches Problem mit nur den Kompass und das Haarlineal, die Annäherungen an das Quadrieren der Kreis, durch das Konstruieren von Längen in der Nähe vom Pi gegeben werden kann.

Es nimmt nur minimale Kenntnisse der elementaren Geometrie, um jede gegebene vernünftige Annäherung des Pis in einen entsprechenden Aufbau des Kompasses-Und-Haarlineals umzuwandeln, aber Aufbauten gemacht neigen auf diese Weise dazu, im Vergleich mit der Genauigkeit sehr langatmig zu sein, die sie erreichen. Nachdem das genaue Problem unlösbar bewiesen wurde, haben einige Mathematiker ihren Einfallsreichtum auf die Entdeckung eleganter Annäherungen an das Quadrieren der Kreis, definiert grob und informell als Aufbauten angewandt, die unter anderen vorstellbaren Aufbauten besonders einfach sind, die ähnliche Präzision geben.

Unter den modernen ungefähren Aufbauten war ein durch E. W. Hobson 1913. Das war ein ziemlich genauer Aufbau, der auf dem Konstruieren des ungefähren Werts von 3.14164079 basiert hat..., der zu 4 Dezimalzahlen genau ist (d. h. es sich vom Pi durch unterscheidet ungefähr).

Indianermathematiker Srinivasa Ramanujan 1913, C. D. Olds 1963, Martin Gardner 1966 und Benjamin Bold 1982 haben alle geometrische Aufbauten für gegeben

der zu sechs dezimalen Plätzen des Pis genau ist.

Srinivasa Ramanujan 1914 hat einen Aufbau des Lineals-Und-Kompasses gegeben, der zur Einnahme des ungefähren Werts für das Pi gleichwertig war, um zu sein

das Geben bemerkenswerter acht dezimale Plätze des Pis.

1991 hat Robert Dixon Aufbauten für gegeben