In der Mathematik ist eine direkte Grenze (hat auch induktive Grenze genannt), ein colimit einer "geleiteten Familie von Gegenständen". Wir werden zuerst die Definition für algebraische Strukturen wie Gruppen und Module, und dann die allgemeine Definition geben, die in jeder Kategorie verwendet werden kann.

Formelle Definition

Algebraische Gegenstände

In dieser Abteilung, wie man versteht, sind Gegenstände Sätze mit einer gegebenen algebraischen Struktur wie Gruppen, Ringe, Module (über einen festen Ring), Algebra (über ein festes Feld) usw. Damit im Sinn wird Homomorphismus in der entsprechenden Einstellung (Gruppenhomomorphismus, usw.) verstanden.

Fangen Sie mit der Definition eines direkten Systems von Gegenständen und Homomorphismus an. Lassen Sie, ein geleiteter Satz zu sein. Lassen Sie, eine Familie von Gegenständen zu sein, die mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind durch und ein Homomorphismus für alle mit den folgenden Eigenschaften zu sein:

1. ist die Identität, und

1. für alle.

Dann wird das Paar ein direktes System verlesen.

Der zu Grunde liegende Satz der direkten Grenze, des direkten Systems wird als die zusammenhanglose Vereinigung 's modulo eine bestimmte Gleichwertigkeitsbeziehung definiert:

Hier, wenn und, wenn es einige solch dass gibt.

Heuristisch sind zwei Elemente in der zusammenhanglosen Vereinigung gleichwertig, wenn, und nur wenn sie "schließlich gleich" im direkten System werden. Eine gleichwertige Formulierung, die die Dualität zur umgekehrten Grenze hervorhebt, ist, dass ein Element zu allen seinen Images laut der Karten des geleiteten Systems gleichwertig ist, d. h.

Man erhält natürlich aus dieser Definition kanonischen morphisms das Senden jedes Elements zu seiner Gleichwertigkeitsklasse. Die algebraischen Operationen darauf werden über diese Karten auf die offensichtliche Weise definiert.

Ein wichtiges Eigentum besteht darin, dass Einnahme direkter Grenzen in der Kategorie von Modulen ein genauer functor ist.

Direkte Grenze über ein direktes System in einer Kategorie

Die direkte Grenze kann in einer willkürlichen Kategorie mittels eines universalen Eigentums definiert werden. Lassen Sie, ein direktes System von Gegenständen und morphisms in (dieselbe Definition wie oben) zu sein. Die direkte Grenze dieses Systems ist ein Gegenstand in zusammen mit der Morphisms-Zufriedenheit. Das Paar muss im Sinn universal sein, dass für jedes andere solches Paar dort ein einzigartiger morphism das Bilden des Diagramms besteht

tauschen Sie für alles mich, j ein. Die direkte Grenze wird häufig angezeigt

mit dem direkten System, das wird versteht.

Unterschiedlich für algebraische Gegenstände kann die direkte Grenze nicht in einer willkürlichen Kategorie bestehen. Wenn es jedoch tut, ist es eines starken Gefühls einzigartig: vorgeschrieben eine andere direkte Grenze X′ dort besteht ein einzigartiger Isomorphismus X′  das X Austauschen mit dem kanonischen morphisms.

Wir bemerken, dass ein direktes System in einer Kategorie eine alternative Beschreibung in Bezug auf functors zulässt. Irgendwelcher hat angeordnet, dass poset als eine kleine Kategorie betrachtet werden kann, wo die morphisms aus Pfeilen wenn und nur wenn bestehen. Ein direktes System ist dann gerade ein kovarianter functor.

Allgemeine Definition

Lassen Sie und Kategorien. Lassen Sie, ein unveränderlicher functor mit dem festen Gegenstand zu sein. Definieren Sie für jeden functor den functor

der jedem den Satz von natürlichen Transformationen von F bis zuteilt. Wenn wiederpräsentabel ist, wird der Darstellen-Gegenstand darin die direkte Grenze von F genannt und wird auch dadurch angezeigt.

Wenn eine abelian Kategorie ist, wo willkürlich (auch unendlich) direkte Summen von Gegenständen bestehen (das ist das Axiom von Grothedieck AB3). Dann ist für jeden functor und wiederpräsentabel

ist ein richtig-genauer Zusatz functor von abelian Kategorien.

Beispiele

• Eine Sammlung von Teilmengen eines Satzes M kann durch die Einschließung teilweise bestellt werden. Wenn die Sammlung geleitet wird, ist seine direkte Grenze die Vereinigung.
• Lassen Sie mich jeder geleitete Satz mit einem größten Element M sein. Die direkte Grenze jedes entsprechenden direkten Systems ist zu X und der kanonische morphism φ isomorph: X  X sind ein Isomorphismus.
• Lassen Sie p eine Primzahl sein. Betrachten Sie das direkte System als zusammengesetzt aus den Gruppen Z/pZ und der Homomorphismus Z/pZ  Z/pZ, die durch die Multiplikation durch p veranlasst werden. Die direkte Grenze dieses Systems besteht aus allen Wurzeln der Einheit der Ordnung etwas Macht von p, und wird die Gruppe von Prüfer Z (p) genannt.
• Lassen Sie F ein C-valued Bündel auf einem topologischen Raum X sein. Befestigen Sie einen Punkt x in X. Die offene Nachbarschaft von x bildet einen geleiteten durch die Einschließung bestellten poset (U  V, wenn, und nur wenn U V enthält). Das entsprechende direkte System ist (F (U), r), wo r die Beschränkungskarte ist. Die direkte Grenze dieses Systems wird den Stiel von F an x genannt, hat F angezeigt. Für jede Nachbarschaft U x der kanonische morphism F (U)  F Partner zu einem Abschnitt s von F über U hat ein Element s des Stiels F den Keim von s an x genannt.
• Direkte Grenzen in der Kategorie von topologischen Räumen werden durch das Stellen der Endtopologie auf der zu Grunde liegenden mit dem Satz theoretischen direkten Grenze vorgeschrieben.
• Induktive Grenzen werden mit projektiven über verbunden

• Denken Sie eine Folge {A, φ}, wo A C*-algebra und φ ist: Ein  A ist *-homomorphism. C*-analog des direkten Grenze-Aufbaus gibt eine C*-algebra Zufriedenheit des universalen Eigentums oben.

Zusammenhängende Aufbauten und Generalisationen

Die kategorische Doppel-von der direkten Grenze wird die umgekehrte Grenze (oder projektive Grenze) genannt. Mehr Gesamtkonzepte sind die Grenzen und colimits der Kategorie-Theorie. Die Fachsprache ist etwas verwirrend: Direkte Grenzen sind colimits, während umgekehrte Grenzen Grenzen sind.

Siehe auch

• Gegenteil oder projektive Grenze
• .