In der Geometrie ist der lemniscate von Bernoulli eine Flugzeug-Kurve, die von zwei gegebenen Punkten F und F definiert ist, der als Fokusse, in der Entfernung 2a von einander als der geometrische Ort von Punkten P so dass PF bekannt ist · PF = a. Die Kurve hat eine Gestalt, die der Ziffer 8 und dem  Symbol ähnlich ist. Sein Name ist von lemniscus, der für das "Hängezierband" lateinisch ist. Es ist ein spezieller Fall von Cassini oval und ist eine vernünftige algebraische Kurve des Grads 4.

Der lemniscate wurde zuerst 1694 von Jakob Bernoulli als eine Modifizierung einer Ellipse beschrieben, die der geometrische Ort von Punkten ist, für die die Summe der Entfernungen zu jedem von zwei festen Brennpunkten eine Konstante ist. Ein Cassini Oval ist im Vergleich der geometrische Ort von Punkten, für die das Produkt dieser Entfernungen unveränderlich ist. Im Fall, wo die Kurve den Punkt auf halbem Wege zwischen den Fokussen durchführt, ist das Oval ein lemniscate von Bernoulli.

Diese Kurve kann erhalten werden, weil sich das Gegenteil von einer Hyperbel mit dem Inversionskreis verwandelt, der am Zentrum der Hyperbel (Halbierungslinie seiner zwei Fokusse) in den Mittelpunkt gestellt ist. Es kann auch durch eine mechanische Verbindung in der Form der Verbindung von Watt, mit den Längen der drei Bars der Verbindung und der Entfernung zwischen seinen Endpunkten gezogen werden, die gewählt sind, um ein durchquertes Quadrat zu bilden.

Gleichungen

• Seine Kartesianische Gleichung ist (bis zur Übersetzung und Folge):

:

• In Polarkoordinaten:

:

• Als parametrische Gleichung:

:

In Zwei-Zentren-Bipolar-Koordinaten:

:

Ableitungen

Jede erste Ableitung wurde unten mit der impliziten Unterscheidung berechnet.

Mit y als eine Funktion von x

:

\mbox {unbegrenzt} & \mbox {wenn} y = 0 \mbox {und} x \ne 0 \\

\pm1 & \mbox {wenn} y = 0 \mbox {und} x = 0 \\

\frac {x (a^2 - x^2 - y^2)} {y (a^2 + x^2 + y^2)} & \mbox {wenn} y \ne 0

\end {Fälle} </Mathematik>

:\mbox {unbegrenzt} & \mbox {wenn} y = 0 \mbox {und} x \ne 0 \\

0 & \mbox {wenn} y = 0 \mbox {und} x = 0 \\

\frac {3a^6 (y^2 - x^2)} {y^3 (a^2 + 2x^2 + 2y^2) ^3} & \mbox {wenn} y \ne 0

\end {Fälle} </Mathematik>

Mit x als eine Funktion von y

:

\mbox {unbegrenzt} & \mbox {wenn} 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\

\pm1 & \mbox {wenn} x = 0 \mbox {und} y = 0 \\

\frac {y (a^2 + 2x^2 + 2y^2)} {x (a^2 - 2x^2 - 2y^2)} & \mbox {sonst}

\end {Fälle} </Mathematik>:\mbox {unbegrenzt} & \mbox {wenn} 2x^2 + 2y^2 = a^2 \\

0 & \mbox {wenn} x = 0 \mbox {und} y = 0 \\

\frac {3a^6 (x^2 - y^2)} {x^3 (a^2 - 2x^2 - 2y^2) ^3} & \mbox {sonst}

\end {Fälle} </Mathematik>

Krümmung

Sobald die ersten zwei Ableitungen bekannt sind, wird Krümmung leicht berechnet:

:

das Zeichen, das gemäß der Richtung der Bewegung entlang der Kurve wird wählt. Der lemniscate hat das Eigentum, dass der Umfang der Krümmung an jedem Punkt zur Entfernung dieses Punkts vom Ursprung proportional ist.

Kreisbogen-Länge und elliptische Funktionen

Der Entschluss von der Kreisbogen-Länge von Kreisbogen des lemniscate führt zu elliptischen Integralen, wie im achtzehnten Jahrhundert entdeckt wurde. 1800 wurden die elliptischen Funktionen, die jene Integrale umkehren, von C. F. Gauss (größtenteils unveröffentlicht zurzeit, aber Anspielungen in den Zeichen zu seinem Disquisitiones Arithmeticae) studiert. Die Periode-Gitter sind einer ganz besonderen Form, zu den ganzen Zahlen von Gaussian proportional seiend. Aus diesem Grund der Fall von elliptischen Funktionen mit der komplizierten Multiplikation durch die Quadratwurzel minus wird einer den lemniscatic Fall in einigen Quellen genannt.

Siehe auch

• Lemniscate der Kabine
• Lemniscate von Gerono
• Der unveränderliche von Gauss
• Lemniscatic elliptische Funktion

Referenzen

Außenverbindungen

• "Lemniscate von Bernoulli" an Der Geschichte von MacTutor der Mathematik archivieren
• "Lemniscate de Bernoulli" an Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (in Französisch)