In der Mathematik ist Zeitskala-Rechnung eine Vereinigung der Theorie von Unterschied-Gleichungen mit dieser von Differenzialgleichungen, integrierte und unterschiedliche Rechnung mit der Rechnung von begrenzten Unterschieden vereinigend, einen Formalismus anbietend, um hybride getrennt-dauernde dynamische Systeme zu studieren. Es hat Anwendungen in jedem Feld, das das gleichzeitige Modellieren von getrennten und dauernden Daten verlangt. Es gibt eine neue Definition einer solcher Ableitung, dass, wenn man eine Funktion unterscheidet, die den reellen Zahlen dann folgt, die Definition zur Standardunterscheidung gleichwertig ist, aber wenn man eine Funktion verwendet, die den ganzen Zahlen dann folgt, ist es dem Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener gleichwertig.

Geschichte

Zeitskala-Rechnung wurde 1988 vom deutschen Mathematiker Stefan Hilger eingeführt. Jedoch sind ähnliche Ideen vorher verwendet worden und gehen mindestens zur Einführung des integrierten Riemann-Stieltjes zurück, der Summen und Integrale vereinigt.

Dynamische Gleichungen

Viele Ergebnisse bezüglich Differenzialgleichungen tragen ganz leicht zu entsprechenden Ergebnissen für Unterschied-Gleichungen vor, während andere Ergebnisse scheinen, von ihren dauernden Kollegen völlig verschieden zu sein. Die Studie von dynamischen Gleichungen auf zeitlichen Rahmen offenbart solche Diskrepanzen und hilft zu vermeiden, Ergebnisse zweimal — einmal für Differenzialgleichungen und wieder für Unterschied-Gleichungen zu beweisen. Die allgemeine Idee ist, ein Ergebnis für eine dynamische Gleichung zu beweisen, wo das Gebiet der unbekannten Funktion ein so genannter zeitlicher Rahmen ist (auch bekannt als ein Zeitsatz), der eine willkürliche geschlossene Teilmenge des reals sein kann. Auf diese Weise gelten Ergebnisse nicht nur für den Satz von reellen Zahlen, oder der Satz von ganzen Zahlen, aber zu allgemeineren zeitlichen Rahmen wie ein Kantor ist untergegangen.

Die drei populärsten Beispiele der Rechnung auf zeitlichen Rahmen sind Differenzialrechnung, Unterschied-Rechnung und Quant-Rechnung. Dynamische Gleichungen auf einem zeitlichen Rahmen haben ein Potenzial für Anwendungen, solcher als in der Bevölkerungsdynamik. Zum Beispiel können sie Kerbtier-Bevölkerungen modellieren, die sich unaufhörlich entwickeln, während in der Jahreszeit, im Winter aussterben Sie, während ihre Eier brüten oder schlafend, und dann in einer neuen Jahreszeit Junge ausbrüten, eine nichtüberlappende Bevölkerung verursachend.

Formelle Definitionen

Ein zeitlicher Rahmen (oder Maß-Kette) ist eine geschlossene Teilmenge der echten Linie. Die allgemeine Notation für einen allgemeinen zeitlichen Rahmen ist.

Die zwei meistens gestoßenen Beispiele von zeitlichen Rahmen sind die reellen Zahlen und die Skala der diskreten Zeit.

Ein einzelner Punkt in einem zeitlichen Rahmen wird als definiert:

:

Operationen auf zeitlichen Rahmen

Der Vorwärtssprung und springt rückwärts Maschinenbediener vertreten den nächsten Punkt im zeitlichen Rahmen rechts und verlassen eines gegebenen Punkts beziehungsweise. Formell:

: (schicken Sie Verschiebungsmaschinenbediener / Vorwärtssprung-Maschinenbediener nach)

:

Die Körnigkeit ist die Entfernung von einem Punkt bis den nächsten Punkt rechts und wird gegeben durch:

:

Für einen richtig-dichten, und.

Für einen nach links dichten,

Klassifikation von Punkten

Für irgendwelchen, ist:

• verlassen dicht wenn
• dichtes Recht wenn
• verlassen gestreut wenn

• Recht hat sich wenn zerstreut
• dicht, wenn sowohl dichten als auch richtigen dichten verlassen

hat

• isoliert, wenn sowohl verlassen gestreut als auch Recht gestreut

hat

Wie illustriert, durch die Zahl am Recht:

• Punkt ist dichter
• Punkt wird dicht verlassen, und Recht hat gestreut
• Punkt wird isoliert
• Punkt wird gestreuter und richtiger dichter verlassen

Kontinuität

Die Kontinuität auf einem zeitlichen Rahmen wird als gleichwertig zur Dichte wiederdefiniert. Wie man sagt, ist ein zeitlicher Rahmen am Punkt richtig-dauernd, wenn es dicht am Punkt richtig ist. Ähnlich, wie man sagt, ist ein zeitlicher Rahmen am Punkt nach links dauernd, wenn es dicht am Punkt verlassen wird.

Ableitung

Nehmen Sie eine Funktion:

:

(wo R jeder Banachraum sein, aber ihn veranlassen konnte, die echte Linie für die Einfachheit zu sein).

Definition: Die Delta-Ableitung (auch Ableitung von Hilger) besteht wenn und nur wenn:

Für jeden dort besteht eine Nachbarschaft von solchen dass:

:

für alle darin.

Nehmen Sie Dann; ist die in der Standardrechnung verwendete Ableitung. Wenn (die ganzen Zahlen), der in Unterschied-Gleichungen verwendete Vorwärtsunterschied-Maschinenbediener ist.

Integration

Das integrierte Delta wird als die Antiableitung in Bezug auf die Delta-Ableitung definiert. Wenn eine dauernde Ableitung hat, setzt man

:

Laplace verwandeln sich und z-transform

Ein Laplace verwandelt sich kann für Funktionen auf zeitlichen Rahmen definiert werden, der denselben Tisch dessen verwendet, verwandelt sich für jeden willkürlichen zeitlichen Rahmen. Das verwandelt sich kann verwendet werden, um dynamische Gleichungen auf zeitlichen Rahmen zu lösen. Wenn der zeitliche Rahmen die natürlichen Zahlen dann ist, ist das Umgestalten einem modifizierten Z-transform gleich:

Teilweise Unterscheidung

Teilweise Differenzialgleichungen und teilweise Unterschied-Gleichungen werden als teilweise dynamische Gleichungen auf zeitlichen Rahmen vereinigt.

Vielfache Integration

Die vielfache Integration auf zeitlichen Rahmen wird in Bohner (2005) behandelt.

Stochastische dynamische Gleichungen auf zeitlichen Rahmen

Stochastische Differenzialgleichungen und stochastische Unterschied-Gleichungen können zu stochastischen dynamischen Gleichungen auf zeitlichen Rahmen verallgemeinert werden.

Maß-Theorie über zeitliche Rahmen

Vereinigt mit jedem zeitlichen Rahmen ist ein natürliches über definiertes Maß

:

wo anzeigt, dass Lebesgue messen und der rückwärts gerichtete Verschiebungsmaschinenbediener ist, der darauf definiert ist. Das Delta integrierter

erweist sich, das übliche Lebesgue-Stieltjes Integral in Bezug auf dieses Maß zu sein

:

und die Delta-Ableitung erweist sich, die Radon-Nikodym Ableitung in Bezug auf dieses Maß zu sein

:

Vertrieb auf zeitlichen Rahmen

Das Dirac Delta und Delta von Kronecker werden auf zeitlichen Rahmen als das Delta von Hilger vereinigt:

:

Integralgleichungen auf zeitlichen Rahmen

Integralgleichungen und Summierungsgleichungen werden als Integralgleichungen auf zeitlichen Rahmen vereinigt.

Bruchrechnung auf zeitlichen Rahmen

Die Bruchrechnung auf zeitlichen Rahmen wird in Bastos, Mozyrska und Torres behandelt.

Siehe auch

• Die Analyse auf fractals für dynamische Gleichungen auf einem Kantoren ist untergegangen.

Referenzen

• Dynamische Gleichungen auf zeitlichen Rahmen: ein Überblick, Ravi Agarwal, Martin Bohner, Donal O'Regan, Allan Peterson, Zeitschrift der Rechenbetonten und Angewandten Mathematik 141 (2002) 1-26

Weiterführende Literatur

• Baylor University Time Scales Group
• Dynamische Gleichungen auf der Sonderausgabe der Zeitlichen Rahmen der Zeitschrift der Rechenbetonten und Angewandten Mathematik (2002)
• Dynamische Gleichungs- und Anwendungssonderausgabe von Fortschritten in Unterschied-Gleichungen (2006)
• Dynamische Gleichungen auf Zeitlichen Rahmen: Qualitative Analyse und Anwendungssonderausgabe der Nichtlinearen Dynamik Und Systemtheorie (2009)