In der Mathematik sagt der uniformization Lehrsatz, dass jede einfach verbundene Oberfläche von Riemann conformally Entsprechung zu einem der drei Gebiete ist: die offene Einheitsplatte, das komplizierte Flugzeug oder der Bereich von Riemann. Insbesondere lässt es der unveränderlichen Krümmung metrischen Riemannian ein. Das klassifiziert Oberflächen von Riemannian als elliptisch (positiv gebogen - eher, zugebend, dass sich eine Konstante positiv metrisch gebogen hat), parabolisch (Wohnung), und hyperbolisch (negativ gebogen) gemäß ihrem universalen Deckel.

Der uniformization Lehrsatz ist eine Generalisation des Riemanns, der Lehrsatz von richtigen einfach verbundenen offenen Teilmengen des Flugzeugs zu willkürlichen einfach verbundenen Oberflächen von Riemann kartografisch darstellt.

Der uniformization Lehrsatz bezieht ein ähnliches Ergebnis für die willkürlichen verbundenen zweiten zählbaren Oberflächen ein: Ihnen kann Metrik von Riemannian der unveränderlichen Krümmung gegeben werden.

Geschichte

Felix und hat den uniformization Lehrsatz für (die Oberflächen von Riemann) algebraische Kurven vermutet. erweitert das zu willkürlichen mehrgeschätzten analytischen Funktionen und hat informellen aguments in seiner Bevorzugung gegeben. Durch die ersten strengen Beweise des allgemeinen uniformization Lehrsatzes wurde gegeben und. Paul Koebe hat später noch mehrere Beweise und Generalisationen gegeben. Die Geschichte wird darin beschrieben.

Komplizierte Klassifikation

Jede Oberfläche von Riemann ist der Quotient einer freien, richtigen und holomorphic Handlung einer getrennten Gruppe auf seiner universalen Bedeckung, und diese universale Bedeckung ist isomorph holomorphically (man sagt auch: "conformally gleichwertig") zu einem des folgenden:

1. der Bereich von Riemann
2. das komplizierte Flugzeug
3. die Einheitsplatte im komplizierten Flugzeug.

Geometrische Klassifikation von Oberflächen

Auf einer orientierten Oberfläche veranlasst Riemannian metrisch natürlich

eine fast komplizierte Struktur wie folgt: Für einen Tangente-Vektoren v definieren wir J (v) als der Vektor derselben Länge, die zu v orthogonal und solch ist, der (v, J (v)) positiv orientiert wird. Auf Oberflächen ist jede fast komplizierte Struktur integrable, so verwandelt das die gegebene Oberfläche in eine Oberfläche von Riemann.

Davon folgt eine Klassifikation von Metrizable-Oberflächen. Eine verbundene Metrizable-Oberfläche ist ein Quotient von einem des folgenden durch eine freie Handlung einer getrennten Untergruppe einer Isometrie-Gruppe:

1. der Bereich (Krümmung +1)
2. das Euklidische Flugzeug (Krümmung 0)
3. das Hyperbelflugzeug (Krümmung −1).

Der erste Fall schließt alle Oberflächen mit der positiven Eigenschaft von Euler ein: der Bereich und das echte projektive Flugzeug. Das zweite schließt alle Oberflächen mit der verschwindenden Eigenschaft von Euler ein: das Euklidische Flugzeug, der Zylinder, der Streifen von Möbius, der Ring und die Flasche von Klein.

Der dritte Fall bedeckt alle Oberflächen mit der negativen Eigenschaft von Euler: Fast alle Oberflächen sind hyperbolisch. Für geschlossene Oberflächen ist diese Klassifikation mit dem Gauss-Häubchen-Lehrsatz im Einklang stehend, der andeutet, dass für eine geschlossene Oberfläche mit der unveränderlichen Krümmung das Zeichen dieser Krümmung das Zeichen der Eigenschaft von Euler vergleichen muss.

Die positive/flache/negative Klassifikation entspricht in der algebraischen Geometrie zur Dimension von Kodaira-1,0,1 der entsprechenden komplizierten algebraischen Kurve.

Für Oberflächen von Riemann deutet der Lehrsatz von Rado an, dass die Oberfläche zählbar automatisch zweit ist. Für allgemeine Oberflächen ist das nicht mehr wahr, so für die Klassifikation oben muss man annehmen, dass die Oberfläche zählbar (oder metrizable) zweit ist.

Die Prüfer-Oberfläche ist ein Beispiel einer Oberfläche ohne (Riemannian) metrisch.

Verbindung zum Fluss von Ricci

Im Einführen des Flusses von Ricci hat Richard Hamilton gezeigt, dass der Fluss von Ricci auf einer geschlossenen Oberfläche uniformizes das metrische (d. h., der Fluss zu einer unveränderlichen Krümmung metrisch zusammenläuft). Jedoch hat sich sein Beweis auf den uniformization Lehrsatz verlassen. hat gezeigt

dass es dennoch möglich ist, den uniformization Lehrsatz über den Fluss von Ricci zu beweisen.

Zusammenhängende Lehrsätze

Koebe hat den allgemeinen uniformization Lehrsatz bewiesen, dass, wenn eine Oberfläche von Riemann homeomorphic zu einer offenen Teilmenge des komplizierten Bereichs ist (oder gleichwertig wenn jede Kurve von Jordan es trennt) dann es conformally Entsprechung zu einer offenen Teilmenge des komplizierten Bereichs ist.

In 3 Dimensionen gibt es 8 Geometrie, genannt die acht Geometrie von Thurston. Nicht jeder 3-Sammelleitungen-lässt eine Geometrie zu, aber die von Grigori Perelman bewiesene Geometrization-Vermutung von Thurston stellt fest, dass jeder 3-Sammelleitungen-entzweigeschnitten werden kann, die geometrizable sind.

Der gleichzeitige uniformization Lehrsatz von Bers zeigt, dass es gleichzeitig uniformize zwei Kompaktoberflächen von Riemann derselben Klasse> 1 mit derselben quasi-Fuchsian Gruppe möglich ist.

Der messbare Riemann, der Lehrsatz kartografisch darstellt, zeigt mehr allgemein, dass die Karte zu einer offenen Teilmenge des komplizierten Bereichs im uniformization Lehrsatz gewählt werden kann, um eine Quasiconformal-Karte mit jedem gegebenen begrenzten messbaren Koeffizienten von Beltrami zu sein.