In der geradlinigen Algebra, der Jordan normale Form (häufig genannt Jordannormalform)

eines geradlinigen Maschinenbedieners auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum ist eine obere Dreiecksmatrix einer besonderen Form genannt die Matrix von Jordan, den Maschinenbediener auf einer Basis vertretend. Die Form wird durch die Bedingung charakterisiert, dass irgendwelche nichtdiagonalen Einträge, die Nichtnull sind, 1 gleich sein, sofort über der Hauptdiagonale (auf der Superdiagonale) sein, und identische diagonale Einträge nach links und unter ihnen haben müssen. Wenn der Vektorraum über Feld K ist, dann besteht eine Basis, auf der die Matrix die erforderliche Form hat, wenn, und nur wenn alle eigenvalues der M in K, oder gleichwertig liegen, wenn sich das charakteristische Polynom des Maschinenbedieners in geradlinige Faktoren über K aufspaltet. Diese Bedingung ist immer zufrieden, ob K das Feld von komplexen Zahlen ist. Die diagonalen Einträge der normalen Form sind der eigenvalues des Maschinenbedieners mit der Zahl von Zeiten, die jeder vorkommt, durch seine algebraische Vielfältigkeit gegeben.

Wenn dem Maschinenbediener durch eine QuadratmatrixM ursprünglich gegeben wird, dann wird sein Jordan normale Form auch den Jordan normale Form der M genannt. Jede Quadratmatrix hat den Jordan normale Form, wenn das Feld von Koeffizienten zu einem erweitert wird, den ganzen eigenvalues der Matrix enthaltend. Trotz seines Namens ist die normale Form für eine gegebene M nicht völlig einzigartig, weil es eine Block-Diagonalmatrix ist, die Blöcke von Jordan gebildet ist, von denen die Ordnung nicht befestigt wird; es ist herkömmlich, um Blöcke für denselben eigenvalue zusammen zu gruppieren, aber keine Einrichtung wird unter dem eigenvalues, noch unter den Blöcken für einen gegebenen eigenvalue auferlegt, obwohl den Letzteren zum Beispiel befohlen werden konnte, indem er Größe schwach vermindert hat. Die Zergliederung des Jordans-Chevalley ist auf einer Basis besonders einfach, auf der der Maschinenbediener seinen Jordan normale Form nimmt. Die diagonale Form für diagonalizable matrices, zum Beispiel normaler matrices, ist ein spezieller Fall des Jordans normale Form.

Der Jordan normale Form wird nach Camille Jordan genannt.

Motivation

Ein n × n Matrix ist A diagonalizable, wenn, und nur wenn die Summe der Dimensionen des eigenspaces n ist. Oder, gleichwertig, wenn, und nur wenn A n linear unabhängige Eigenvektoren hat. Nicht alle matrices sind diagonalizable. Denken Sie die folgende Matrix:

\left [\! \! \! \begin {Reihe} {* {20} {r} }\

5 & 4 & 2 & 1 \\[2pt]

0 & 1 &-1 &-1 \\[2pt]

- 1 &-1 & 3 & 0 \\[2pt]

1 & 1 &-1 & 2

\end {ordnen }\\! \! \right] </Mathematik>

Einschließlich der Vielfältigkeit sind die eigenvalues von A λ = 1, 2, 4, 4. Die Dimension des Kerns (&minus; 4I) ist 1 (und nicht 2), so ist A nicht diagonalizable. Jedoch gibt es eine invertible Matrix P solch dass = PJP, wo

:

1 & 0 & 0 & 0 \\[2pt]

0 & 2 & 0 & 0 \\[2pt]

0 & 0 & 4 & 1 \\[2pt]

0 & 0 & 0 & 4 \end {bmatrix}. </Mathematik>

Die Matrix J ist fast diagonal. Das ist der Jordan normale Form von A. Das Abteilungsbeispiel füllt unten die Details der Berechnung aus.

Komplex matrices

Im Allgemeinen ist eine komplizierte Quadratmatrix A einer Block-Diagonalmatrix ähnlich

:

J_1 & \; & \; \\

\; & \ddots & \; \\

\; & \; & J_p\end {bmatrix} </Mathematik>

wo jeder Block J eine Quadratmatrix der Form ist

:

\begin {bmatrix }\

\lambda_i & 1 & \; & \; \\

\; & \lambda_i & \ddots & \; \\

\; & \; & \ddots & 1 \\

\; & \; & \; & \lambda_i

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Also dort besteht eine invertible Matrix P solch, dass BREI = J solch ist, dass die einzigen Nichtnulleinträge von J auf der Diagonale und der Superdiagonale sind. J wird den Jordan normale Form von A genannt. Jeder J wird einen Block von Jordan von A genannt. In einem gegebenen Block von Jordan ist jeder Zugang auf der Superdiagonale 1.

Dieses Ergebnis annehmend, können wir die folgenden Eigenschaften ableiten:

• Vielfältigkeit aufzählend, sind die eigenvalues von J, deshalb A, die diagonalen Einträge.
• In Anbetracht eines eigenvalue λ ist seine geometrische Vielfältigkeit die Dimension von Ker (&minus; λI), und es ist die Zahl von Blöcken von Jordan entsprechend λ.
• Die Summe der Größen aller Blöcke von Jordan entsprechend einem eigenvalue λ ist seine algebraische Vielfältigkeit.
• A ist diagonalizable, wenn, und nur wenn, für jeden eigenvalue λ A, seine geometrische und algebraische Vielfältigkeit zusammenfällt.
• Der Block von Jordan entsprechend λ ist von der Form λ I + N, wo N eine nilpotent Matrix definiert als N = δ ist (wo δ das Delta von Kronecker ist). Der nilpotency von N kann ausgenutzt werden, wenn man f (A) rechnet, wo f eine komplizierte analytische Funktion ist. Zum Beispiel im Prinzip konnte die Form von Jordan einen Ausdruck der geschlossenen Form für den Exponentialexp (A) geben.

Verallgemeinerte Eigenvektoren

Denken Sie die Matrix vom Beispiel in der vorherigen Abteilung. Der Jordan normale Form wird durch einen Ähnlichkeitstransformations-BREI = J erhalten, d. h.

:

Lassen Sie P Spaltenvektoren p, ich = 1..., 4, dann haben

: \begin {bmatrix }\

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 4 \end {bmatrix} = \begin {bmatrix} p_1 & 2p_2 & 4p_3 & p_3+4p_4 \end {bmatrix} </Mathematik>

Wir sehen das

::::

Weil ich = 1,2,3 wir haben, d. h. p ein Eigenvektor entsprechend dem eigenvalue λ ist. Für i=4, beide Seiten damit multiplizierend, gibt

:

Aber, so

:

So.

Vektoren, die verallgemeinerte Eigenvektoren von A genannt werden.

So, in Anbetracht eines eigenvalue λ, verursacht sein entsprechender Block von Jordan eine Kette von Jordan. Der Generator oder Leitungsvektor, sagen wir p, der Kette ist ein verallgemeinerter solcher Eigenvektor dass (&minus; λ I) p = 0, wo r die Größe des Blocks von Jordan ist. Der Vektor p = (&minus; λ I) p ist ein Eigenvektor entsprechend λ. Im Allgemeinen ist p ein Vorimage von p unter &minus; λ I. So erzeugt der Leitungsvektor die Kette über die Multiplikation dadurch (&minus; λ I).

Deshalb ist die Behauptung, dass jede Quadratmatrix A im Jordan normale Form gestellt werden kann, zum Anspruch gleichwertig, dass dort eine Basis besteht, die nur aus Eigenvektoren und verallgemeinerten Eigenvektoren von A besteht.

Ein Beweis

Wir geben einen Beweis durch die Induktion. 1 &times; 1 Fall ist trivial. Lassen Sie A ein n &times sein; n Matrix. Nehmen Sie jeden eigenvalue λ A. Die Reihe &minus; λ I, angezeigt dadurch ist Gelaufen (&minus; λ I), ist ein invariant Subraum von A. Außerdem, da λ ein eigenvalue von A ist, ist die Dimension Gelaufen (&minus; λ I), r, ist ausschließlich weniger als n. Lassen Sie' zeigen an, dass die Beschränkung dazu Gelaufen ist (&minus; λ I), Durch die induktive Hypothese, dort besteht eine Basis {p..., p} solch, dass', ausgedrückt in Bezug auf diese Basis, im Jordan normale Form ist.

Denken Sie als nächstes Subraumker (&minus; λ I). Wenn

:

das gewünschte Ergebnis folgt sofort vom Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit. Das würde zum Beispiel der Fall sein, wenn A Hermitian wäre.

Sonst, wenn

:

lassen Sie die Dimension von Q s  r sein. Jeder Vektor in Q ist ein Eigenvektor' entsprechend eigenvalue λ. So muss die Form von Jordan' s Ketten von Jordan entsprechend s linear unabhängigen Eigenvektoren enthalten. So muss die Basis {p..., p} s Vektoren enthalten, {p..., p} sagen, die Leitungsvektoren in diesen Ketten von Jordan vom Jordan normale Form sind'. Wir können die Ketten "erweitern", indem wir die Vorimages dieser Leitungsvektoren nehmen. (Das ist der Schlüsselschritt des Arguments; im Allgemeinen brauchen verallgemeinerte Eigenvektoren nicht darin zu liegen ist Gelaufen (&minus; λ I).) Lassen q dass solch

sein:

Klar liegt q in Ker nicht (&minus; λ I) für alles ich. Außerdem kann q nicht darin sein ist Gelaufen (&minus; λ I), weil das der Annahme widersprechen würde, dass jeder p ein Leitungsvektor in einer Kette von Jordan ist. Der Satz {q}, Vorimages des linear unabhängigen Satzes {p} unter &minus seiend; λ I, ist auch linear unabhängig.

Schließlich können wir jeden linear unabhängigen Satz {z..., z} aufpicken, der abmisst

:

Durch den Aufbau ist die Vereinigung die drei Sätze {p..., p}, {q..., q}, und {z..., z} linear unabhängig. Jeder Vektor in der Vereinigung ist entweder ein Eigenvektor oder ein verallgemeinerter Eigenvektor von A. Schließlich, durch den Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit, ist der cardinality der Vereinigung n. Mit anderen Worten haben wir eine Basis gefunden, die aus Eigenvektoren besteht und Eigenvektoren von A verallgemeinert hat, und das zeigt, dass A im Jordan normale Form gestellt werden kann.

Einzigartigkeit

Es kann gezeigt werden, dass der Jordan normale Form einer gegebenen Matrix A bis zur Ordnung der Blöcke von Jordan einzigartig ist.

Das Wissen der algebraischen und geometrischen Vielfältigkeit des eigenvalues ist nicht genügend, um den Jordan normale Form von A zu bestimmen. Das Annehmen der algebraischen Vielfältigkeit M (λ) eines eigenvalue λ, ist die Struktur der Form von Jordan bekannt, kann durch das Analysieren der Reihen der Mächte festgestellt werden (&minus; λ I). Um das zu sehen, nehmen Sie einen n &times an; n Matrix hat A nur einen eigenvalue λ. So M (λ) = n. Die kleinste ganze Zahl k solch dass

:

ist die Größe des größten Blocks von Jordan in der Form von Jordan von A. (Diese Nummer k wird auch den Index von λ genannt. Sieh Diskussion in einer folgenden Abteilung.) Die Reihe von

:

ist die Zahl von Blöcken von Jordan der Größe k. Ähnlich die Reihe von

:

ist zweimal die Zahl von Blöcken von Jordan der Größe k plus die Zahl von Blöcken von Jordan der Größe k &minus; 1. Das Wiederholen gibt auf diese Weise die genaue Struktur von Jordan von A. Der allgemeine Fall ist ähnlich.

Das kann verwendet werden, um die Einzigartigkeit der Form von Jordan zu zeigen. Lassen Sie J und J der zwei Jordan normale Formen von A sein. Dann sind J und J ähnlich und haben dasselbe Spektrum einschließlich der algebraischen Vielfältigkeit des eigenvalues. Das im vorherigen Paragrafen entworfene Verfahren kann verwendet werden, um die Struktur dieser matrices zu bestimmen. Da die Reihe einer Matrix durch die Ähnlichkeitstransformation bewahrt wird, gibt es eine Bijektion zwischen den Blöcken von Jordan von J und J. Das beweist den Einzigartigkeitsteil der Behauptung.

Echter matrices

Wenn A eine echte Matrix ist, kann seine Form von Jordan noch nichtecht sein, jedoch dort besteht eine echte invertible Matrix P solch, dass BREI = J eine echte Block-Diagonalmatrix mit jedem Block ist, der ein echter Block von Jordan ist. Ein echter Block von Jordan ist irgendein zu einem komplizierten Block von Jordan identisch (wenn der entsprechende eigenvalue echt ist), oder eine Block-Matrix selbst ist, aus 2&times;2 Blöcke wie folgt (für nichtechten eigenvalue) bestehend. Die diagonalen Blöcke, sind der Form identisch

:\begin {bmatrix }\

a_i & b_i \\

- b_i & a_i \\

\end {bmatrix} </Mathematik>

und beschreiben Sie Multiplikation durch im komplizierten Flugzeug. Die superdiagonalen Blöcke sind 2&times;2 Identität matrices. Der volle echte Block von Jordan wird durch gegeben

:\begin {bmatrix }\

C_i & ich & \; & \; \\

\; & C_i & \ddots & \; \\

\; & \; & \ddots & ich \\

\; & \; & \; & C_i \\

\end {bmatrix} </Mathematik>

Diese echte Form von Jordan ist eine Folge der komplizierten Form von Jordan. Für eine echte Matrix können die nicht echten Eigenvektoren und verallgemeinerten Eigenvektoren immer gewählt werden, um sich zu formen, Komplex konjugieren Paare. Wenn sie den echten und imaginären Teil (geradlinige Kombination des Vektoren und seines verbundenen) nimmt, hat die Matrix diese Form in der neuen Basis.

Folgen

Man kann sehen, dass der Jordan normale Form ist im Wesentlichen ein Klassifikationsergebnis für das Quadrat matrices, und als solche mehrere wichtigen Ergebnisse von geradliniger Algebra, als seine Folgen angesehen werden kann.

Geisterhafter kartografisch darstellender Lehrsatz

Mit dem Jordan normale Form gibt direkte Berechnung einen geisterhaften kartografisch darstellenden Lehrsatz für die polynomische funktionelle Rechnung: Lassen Sie A ein n &times sein; n Matrix mit eigenvalues λ..., λ, dann für jedes Polynom p, p hat (A) eigenvalues p (λ)..., p (λ).

Lehrsatz von Cayley-Hamilton

Der Lehrsatz von Cayley-Hamilton behauptet, dass jede Matrix A seine charakteristische Gleichung befriedigt: Wenn das charakteristische Polynom, dann ist. Das kann über die direkte Berechnung in der Form von Jordan gezeigt werden, da jeder Block von Jordan dafür dadurch vernichtet wird, wo die Vielfältigkeit der Wurzel, die Summe der Größen der Blöcke von Jordan für, und deshalb nicht weniger ist als die Größe des fraglichen Blocks. Wie man annehmen kann, besteht die Form von Jordan über ein Feld, das das Grundfeld der Matrix, zum Beispiel über das zerreißende Feld dessen erweitert; diese Felderweiterung ändert die Matrix in jedem Fall nicht.

Minimales Polynom

Das minimale Polynom P einer Quadratmatrix A ist das einzigartige monic Polynom von kleinstem Grad, M, solch dass P (A) = 0. Wechselweise, der Satz von Polynomen, die einen gegebenen Eine Form ein Ideal I in C [x], dem idealen Hauptgebiet von Polynomen mit komplizierten Koeffizienten vernichten. Das monic Element, das erzeugt, bin ich genau M

Lassen Sie λ..., λ der verschiedene eigenvalues von A und s sein, die Größe des größten Blocks von Jordan entsprechend λ sein. Es ist vom Jordan normale Form klar, dass das minimale Polynom von A Grad s hat.

Während der Jordan normale Form bestimmt das minimale Polynom, das gegenteilige, nicht wahr ist. Das führt zum Begriff von elementaren Teilern. Die elementaren Teiler einer Quadratmatrix A sind die charakteristischen Polynome seiner Blöcke von Jordan. Die Faktoren der minimalen polynomischen M sind die elementaren Teiler des größten Grads entsprechend verschiedenem eigenvalues.

Der Grad eines elementaren Teilers ist die Größe des entsprechenden Blocks von Jordan, deshalb die Dimension des entsprechenden invariant Subraums. Wenn alle elementaren Teiler geradlinig sind, ist A diagonalizable.

Subraumzergliederungen von Invariant

Die Form von Jordan eines n &times; n Matrix ist A Block-Diagonale, und gibt deshalb eine Zergliederung des n dimensionalen Euklidischen Raums in invariant Subräume von A. Jeder Block J von Jordan entspricht einem invariant Subraum X. Symbolisch stellen wir

:

wo jeder X die Spanne der entsprechenden Kette von Jordan ist, und k die Zahl von Ketten von Jordan ist.

Man kann auch eine ein bisschen verschiedene Zergliederung über die Form von Jordan erhalten. In Anbetracht eines eigenvalue λ wird die Größe seines größten entsprechenden Blocks s von Jordan den Index von λ genannt und durch ν (λ angezeigt). (Deshalb ist der Grad des minimalen Polynoms die Summe aller Indizes.) Definieren einen Subraum Y durch

:

Das gibt die Zergliederung

:

wo l die Zahl von verschiedenem eigenvalues von A ist. Intuitiv, wir Klacks zusammen der Block von Jordan invariant Subräume entsprechend demselben eigenvalue. Im äußersten Fall, wo A ein Vielfache der Identitätsmatrix ist, haben wir k = n und l = 1.

Der Vorsprung auf Y und entlang allen anderen Y (j  i) wird den geisterhaften Vorsprung an λ genannt und wird gewöhnlich durch P angezeigt (λ; A)'. Geisterhafte Vorsprünge sind im Sinn das P gegenseitig orthogonal (λ; A) P (λ; A) = 0 wenn ich  j. Auch sie pendeln mit A, und ihre Summe ist die Identitätsmatrix. Das Ersetzen jedes λ in der Matrix von Jordan J durch eine und zeroising alle anderen Einträge gibt P (λ; J) außerdem, wenn U J U die solche Ähnlichkeitstransformation dass = U J U dann P ist (λ; A) = U P (λ; J) U. Sie werden auf begrenzte Dimensionen nicht beschränkt. Sieh unten für ihre Anwendung auf Kompaktmaschinenbediener, und in der holomorphic funktionellen Rechnung für eine allgemeinere Diskussion.

Die zwei Zergliederungen vergleichend, bemerken Sie dass, im Allgemeinen, l  k. Wenn A, die Subräume normal ist, ist X in der ersten Zergliederung eindimensional und gegenseitig orthogonal. Das ist der geisterhafte Lehrsatz für normale Maschinenbediener. Die zweite Zergliederung verallgemeinert leichter für allgemeine Kompaktmaschinenbediener auf Banachräumen.

Es könnte von Interesse hier sein, um einige Eigenschaften des Index, ν (λ zu bemerken). Mehr allgemein, für eine komplexe Zahl λ, kann sein Index als kleinste natürliche Zahl ν (λ definiert werden) solch dass

:

So ν (λ) &gt; 0 wenn, und nur wenn λ ein eigenvalue von A ist. Im begrenzten dimensionalen Fall, ν (λ)  die algebraische Vielfältigkeit von λ.

Generalisationen

Matrices mit Einträgen in einem Feld

Die Verminderung von Jordan kann zu jeder QuadratmatrixM erweitert werden, deren Einträge in Feld K liegen. Das Ergebnis stellt fest, dass jede M als eine Summe D + N geschrieben werden kann, wo D halbeinfach ist, ist N nilpotent und DN = ND. Das wird die Zergliederung des Jordans-Chevalley genannt. Wann auch immer K den eigenvalues der M insbesondere enthält, wenn K algebraisch geschlossen wird, kann die normale Form ausführlich als die direkte Summe von Blöcken von Jordan ausgedrückt werden.

Ähnlich dem Fall, wenn K die komplexen Zahlen ist, die Dimensionen der Kerne dessen wissend (M &minus; λI) für 1  k  M, wo M die algebraische Vielfältigkeit des eigenvalue λ ist, erlaubt, die Form von Jordan der M zu bestimmen. Wir können den zu Grunde liegenden Vektorraum V als ein K [x] - Modul durch die Bewertung der Handlung von x auf V als Anwendung der M und des Verlängerns durch die K-Linearität ansehen. Dann die Polynome (x &minus; λ) sind die elementaren Teiler der M und der Jordan normale Form ist mit dem Darstellen M in Bezug auf zu den elementaren Teilern vereinigte Blöcke beschäftigt.

Der Beweis des Jordans normale Form wird gewöhnlich als eine Anwendung auf den Ring K [x] vom Struktur-Lehrsatz für begrenzt erzeugte Module über ein ideales Hauptgebiet ausgeführt, dessen es eine Folgeerscheinung ist.

Kompaktmaschinenbediener

In einer verschiedenen Richtung, für Kompaktmaschinenbediener auf einem Banachraum, ein in den Jordan analoges Ergebnis hält normale Form. Man schränkt auf Kompaktmaschinenbediener ein, weil jeder Punkt x im Spektrum eines kompakten Maschinenbedieners T, die einzige Ausnahme, die ist, wenn x der Grenze-Punkt des Spektrums ist, ein eigenvalue ist. Das ist für begrenzte Maschinenbediener im Allgemeinen nicht wahr. Um eine Idee von dieser Generalisation zu geben, formulieren wir zuerst die Zergliederung von Jordan auf der Sprache der Funktionsanalyse wieder.

Holomorphic funktionelle Rechnung

Lassen Sie X ein Banachraum, L (X) sein, die begrenzten Maschinenbediener auf X sein, und σ (T) zeigen das Spektrum von T  L (X) an. Die holomorphic funktionelle Rechnung wird wie folgt definiert:

Bestechen Sie einen begrenzten Maschinenbediener T. Consider die Familie Hol (T) von komplizierten Funktionen, der holomorphic auf einem offenen Satz G ist, σ (T) enthaltend. Lassen Sie Γ = {γ} eine begrenzte Sammlung von solchen Kurven von Jordan sein, dass σ (T) im Inneren von Γ liegt, definieren wir f (T) durch

:

Der offene Satz G konnte sich mit f ändern und braucht nicht verbunden zu werden. Das Integral wird als die Grenze der Summen von Riemann, als im Skalarfall definiert. Obwohl das Integral Sinn für dauernden f hat, schränken wir auf Holomorphic-Funktionen ein, die Maschinerie aus der klassischen Funktionstheorie (z.B Cauchy integrierte Formel) anzuwenden. Die Annahme, dass σ (T) im Inneren von Γ liegen, stellt sicher, dass f (T) gut definiert wird; es hängt von der Wahl von Γ nicht ab. Die funktionelle Rechnung ist Φ von Hol (T) zu L (X) gegeben durch kartografisch darzustellen

:

Wir werden die folgenden Eigenschaften dieser funktionellen Rechnung verlangen:

1. Φ erweitert die polynomische funktionelle Rechnung.
2. Der geisterhafte kartografisch darstellende Lehrsatz hält: σ (f (T)) = f (σ (T)).
3. Φ ist ein Algebra-Homomorphismus.

Der begrenzte dimensionale Fall

Im begrenzten dimensionalen Fall σ (T) = ist {λ} ein begrenzter getrennter Satz im komplizierten Flugzeug. Lassen Sie e die Funktion sein, die 1 in einer offenen Nachbarschaft von λ und 0 anderswohin ist. Durch das Eigentum 3 der funktionellen Rechnung, der Maschinenbediener

:

ist ein Vorsprung. Moreoever, lassen Sie ν der Index von λ und sein

:

Der geisterhafte kartografisch darstellende Lehrsatz erzählt uns

:

hat Spektrum {0}. Durch das Eigentum 1 f kann (T) in der Form von Jordan, und durch die Inspektion direkt geschätzt werden, wir sehen, dass der Maschinenbediener f (T) e (T) die Nullmatrix ist.

Durch das Eigentum 3, f (T) e (T) = e (T) f (T). So e ist (T) genau der Vorsprung auf

der Subraum

:

Die Beziehung

:

bezieht ein

:

wo der Index i den verschiedenen eigenvalues von T durchbohrt. Das ist genau die invariant Subraumzergliederung

:

gegeben in einer vorherigen Abteilung. Jeder e (T) ist der Vorsprung auf den Subraum, der durch die Ketten von Jordan entsprechend λ und entlang den Subräumen abgemessen ist, die durch die Ketten von Jordan entsprechend λ für j  i abgemessen sind. Mit anderen Worten e (T) = P (λ; T). Diese ausführliche Identifizierung der Maschinenbediener e (T) gibt der Reihe nach eine ausführliche Form der holomorphic funktionellen Rechnung für matrices:

:For der ganze f  Hol (T),

:

Bemerken Sie, dass der Ausdruck von f (T) eine begrenzte Summe ist, weil, auf jeder Nachbarschaft von λ, wir die Reihenentwicklung von Taylor von an λ in den Mittelpunkt gestelltem f gewählt haben.

Pole eines Maschinenbedieners

Lassen Sie T ein begrenzter Maschinenbediener λ sein, ein isolierter Punkt von σ (T) sein. (Wie oben angegeben, wenn T kompakt ist, ist jeder Punkt in seinem Spektrum ein isolierter Punkt, außer vielleicht dem Grenze-Punkt 0.)

Der Punkt λ wird einen Polen des Maschinenbedieners T mit der Ordnung ν wenn die wiederlösende Funktion R definiert durch genannt

:

hat einen Pol der Ordnung ν an λ.

Wir werden zeigen, dass, im begrenzten dimensionalen Fall, die Ordnung eines eigenvalue mit seinem Index zusammenfällt. Das Ergebnis hält auch für Kompaktmaschinenbediener.

Betrachten Sie das Ringgebiet Als einen in den Mittelpunkt gestellten am eigenvalue λ mit dem genug kleinen Radius ε solch, dass die Kreuzung der offenen Scheibe B (λ) und σ (T) {λ} ist. Die wiederlösende Funktion R ist holomorphic auf A.

Ein Ergebnis von klassischer Funktionstheorie erweiternd, hat R eine Reihe-Darstellung von Laurent auf A:

:wo

: und C ist ein kleiner an λ in den Mittelpunkt gestellter Kreis.

Durch die vorherige Diskussion über die funktionelle Rechnung,

: wo 1 auf und 0 anderswohin ist.

Aber wir haben dass die kleinste positive ganze Zahl solche M dass gezeigt

: und

ist genau der Index von λ, ν (λ). Mit anderen Worten hat die Funktion R einen Pol der Ordnung ν (λ) an λ.

Beispiel

Dieses Beispiel zeigt, wie man den Jordan normale Form einer gegebenen Matrix berechnet. Wie die folgende Abteilung erklärt, ist es wichtig, die Berechnung genau zu tun, anstatt die Ergebnisse rund zu machen.

Denken Sie die Matrix

:\begin {bmatrix }\

5 & 4 & 2 & 1 \\

0 & 1 &-1 &-1 \\

- 1 &-1 & 3 & 0 \\

1 & 1 &-1 & 2

\end {bmatrix} </Mathematik>

der am Anfang des Artikels erwähnt wird.

Das charakteristische Polynom von A ist

:

Das zeigt, dass die eigenvalues 1, 2, 4 und 4, gemäß der algebraischen Vielfältigkeit sind. Der eigenspace entsprechend dem eigenvalue 1 kann durch das Lösen der Gleichung Av = λ v gefunden werden. Es wird durch den Spaltenvektor v = (&minus;1, 1, 0, 0) abgemessen. Ähnlich wird der eigenspace entsprechend dem eigenvalue 2 durch w = (1, &minus;1, 0, 1) abgemessen. Schließlich ist der eigenspace entsprechend dem eigenvalue 4 auch eindimensional (wenn auch das ein doppelter eigenvalue ist) und durch x = (1, 0, &minus;1, 1) abgemessen wird. Also, die geometrische Vielfältigkeit (d. h. Dimension des eigenspace des gegebenen eigenvalue) jedes der drei eigenvalues ist diejenige. Deshalb entsprechen die zwei eigenvalues gleich 4 einem einzelnen Block von Jordan und dem Jordan die normale Form der Matrix A ist die direkte Summe

:

\begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 0 & 4 \end {bmatrix}. </Mathematik>

Es gibt drei Ketten. Zwei haben Länge ein: {v} und {w}, entsprechend dem eigenvalues 1 und 2, beziehungsweise. Es gibt eine Kette der Länge zwei entsprechend dem eigenvalue 4. Um diese Kette zu finden, berechnen Sie

:

Picken Sie einen Vektoren in der obengenannten Spanne auf, die nicht im Kern &minus ist; 4I, z.B, y = (1,0,0,0). Jetzt, (&minus; 4I) y = x und (&minus; 4I) x = 0, so {y, x} ist eine Kette der Länge zwei entsprechend dem eigenvalue 4.

Die Übergang-Matrix P solch, dass BREI = J durch das Stellen dieser Vektoren neben einander wie folgt gebildet wird

:\begin {bmatrix }\

- 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 &-1 & 0 & 0 \\

0 & 0 &-1 & 0 \\

0 & 1 & 1 & 0

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Eine Berechnung zeigt, dass der Gleichungs-BREI = J tatsächlich hält.

:1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 0 & 4 \end {bmatrix}. </Mathematik>

Wenn wir die Ordnung ausgewechselt hatten, deren die Kettenvektoren d. h. erschienen sind, die Ordnung von v, w und {x, y} zusammen ändernd, würden die Blöcke von Jordan ausgewechselt. Jedoch sind die Formen von Jordan gleichwertige Formen von Jordan.

Numerische Analyse

Wenn die Matrix A vielfachen eigenvalues hat, oder einer Matrix mit vielfachem eigenvalues nah ist, dann ist sein Jordan normale Form zu Unruhen sehr empfindlich. Denken Sie zum Beispiel die Matrix

:

Wenn ε = 0, dann ist der Jordan normale Form einfach

:

Jedoch, für ε  0, der Jordan ist normale Form

:

Dieses kranke Bedingen macht es sehr hart, um einen robusten numerischen Algorithmus für den Jordan normale Form zu entwickeln, weil das Ergebnis kritisch davon abhängt, ob, wie man hält, zwei eigenvalues gleich sind. Deshalb wird der Jordan normale Form gewöhnlich in der numerischen Analyse vermieden; die stabile Zergliederung von Schur ist häufig eine bessere Alternative.

Mächte

Wenn n eine natürliche Zahl, die n Macht einer Matrix im Jordan ist, wird normale Form eine direkte Summe von oberem dreieckigem matrices infolge der Block-Multiplikation sein. Mehr spezifisch, danach exponentiation jeder Block von Jordan wird ein oberer Dreiecksblock sein.

Zum Beispiel,

:\begin {bmatrix }\

2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 5 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 5

\end {bmatrix} ^4

\begin {bmatrix }\

16 & 32 & 24 & 0 & 0 \\

0 & 16 & 32 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 16 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 625 & 500 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 625

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Weiter wird jeder Dreiecksblock aus λ auf der Hauptdiagonale, Zeiten λ auf der oberen Diagonale und so weiter bestehen. Dieser Ausdruck ist für negative Mächte der ganzen Zahl ebenso gültig, wenn man den Begriff der binomischen Koeffizienten erweitert.

Zum Beispiel,

:\begin {bmatrix }\

\lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & \lambda_1 & 1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & \lambda_1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & \lambda_2 & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2

\end {bmatrix} ^n

\begin {bmatrix }\

\lambda_1^n & \tbinom {n} {1 }\\Lambda_1^ {n-1} & \tbinom {n} {2 }\\Lambda_1^ {n-2} & 0 & 0 \\

0 & \lambda_1^n & \tbinom {n} {1 }\\Lambda_1^ {n-1} & 0 & 0 \\

0 & 0 & \lambda_1^n & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & \lambda_2^n & \tbinom {n} {1 }\\Lambda_2^ {n-1} \\

0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_2^n

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Siehe auch

• Frobenius normale Form
• Matrixzergliederung
• Kanonische Form
• Matrix von Jordan

Zeichen

• N. Dunford und J.T. Schwartz, Geradlinige Maschinenbediener, erster Teil: Allgemeine Theorie, Zwischenwissenschaft, 1958.
• Daniel T. Finkbeiner II, Einführung in Matrices und Linear Transformations, die Dritte Ausgabe, den Ehrenbürger, 1978.
• Gene H. Golub und Charles F. Van Loan, Matrixberechnung (3. Hrsg.), Universität von Johns Hopkins Presse, Baltimore, 1996.
• Gene H. Golub und J. H. Wilkinson, schlecht-bedingter eigensystems und die Berechnung des Jordans normale Form, SIAM Rezension, vol. 18, nr. 4, Seiten 578-619, 1976.

.

• Glenn James und Robert C. James, Mathematik-Wörterbuch, die Vierte Ausgabe, Van Nostrand Reinhold, 1976.
• Saunders MacLane und Garrett Birkhoff, Algebra, MacMillan, 1967.
• Anthony N. Michel und Charles J. Herget, Angewandte Algebra und Funktionsanalyse, Dover, 1993.
• Georgi E. Shilov, Geradlinige Algebra, Dover, 1977.
• Artikel Jordan Canonical Form an mathworld.wolfram.com