Im mathematischen Feld der Darstellungstheorie, einer Lüge-Algebra-Darstellung oder Darstellung einer Lüge-Algebra ist eine Weise, eine Lüge-Algebra als eine Reihe von matrices (oder Endomorphismen eines Vektorraums) auf solche Art und Weise zu schreiben, der die Lüge-Klammer durch den Umschalter gegeben wird.

Der Begriff ist nah mit dieser einer Darstellung einer Lüge-Gruppe verbunden. Grob sprechend, sind die Darstellungen von Lüge-Algebra die unterschiedene Form von Darstellungen von Lüge-Gruppen, während die Darstellungen des universalen Deckels einer Lüge-Gruppe die einheitliche Form der Darstellungen seiner Lüge-Algebra sind.

Formelle Definition

Eine Darstellung einer Lüge-Algebra ist ein Lüge-Algebra-Homomorphismus

von zur Lüge-Algebra von Endomorphismen auf einem Vektorraum V (mit dem Umschalter als die Lüge-Klammer), ein Element x zu einem Element ρ dessen sendend.

Ausführlich bedeutet das das

für den ganzen x, y darin. Der Vektorraum V, zusammen mit der Darstellung ρ, wird - Modul genannt. (Viele Autoren missbrauchen Fachsprache und beziehen sich auf V selbst als die Darstellung).

Man kann - Modul als ein Vektorraum V zusammen mit einer bilinearen solcher Karte dass gleichwertig definieren

für den ganzen x, y in und v in V. Das ist mit der vorherigen Definition durch das Setzen x  v = ρ (v) verbunden.

Unendlich kleine Lüge-Gruppendarstellungen

Wenn φ: G  ist H ein Homomorphismus von Lüge-Gruppen, und und ist die Lüge-Algebra von G und H beziehungsweise, dann ist die veranlasste Karte auf Tangente-Räumen ein Lüge-Algebra-Homomorphismus. Insbesondere eine Darstellung von Lüge-Gruppen

bestimmt einen Lüge-Algebra-Homomorphismus

von zur Lüge-Algebra der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (V), d. h. die Endomorphismus-Algebra V.

Ein teilweiser gegenteiliger zu dieser Behauptung sagt, dass jede Darstellung eines endlich-dimensionalen (echt oder kompliziert) Liegt, Liegt das Algebra-Heben zu einer einzigartigen Darstellung des nur verbundenen verbundenen Gruppe, so dass Darstellungen von einfach verbundenen Lüge-Gruppen in der isomorphen Ähnlichkeit mit Darstellungen ihrer Lüge-Algebra sind.

Eigenschaften

Darstellungen einer Lüge-Algebra sind in der isomorphen Ähnlichkeit mit Algebra-Darstellungen der verbundenen universalen Einschlagen-Algebra. Das folgt aus dem universalen Eigentum dieses Aufbaus.

Wenn die Lüge-Algebra halbeinfach ist, dann sind alle reduzierbaren Darstellungen zerlegbar. Sonst ist es im Allgemeinen nicht wahr.

Wenn wir zwei Darstellungen, mit V und V als ihre zu Grunde liegenden Vektorräume haben und · [·] und · [·] als die Darstellungen dann würde das Produkt von beiden Darstellungen V  V als der zu Grunde liegende Vektorraum und haben

Wenn L eine echte Lüge-Algebra und ρ ist: L × V  V ist eine komplizierte Darstellung davon, wir können eine andere Darstellung von L genannt seine Doppeldarstellung wie folgt bauen.

Lassen Sie V der Doppelvektorraum V sein. Mit anderen Worten, V ist der Satz aller geradlinigen Karten von V bis C mit der Hinzufügung, die darüber auf die übliche geradlinige Weise, aber Skalarmultiplikation definiert ist, die darüber definiert ist, solch das für jeden z in C, ω in V und X in V. Das wird gewöhnlich als eine Zusammenziehung mit einer Sesquilinear-Form ⟨·,·&rang umgeschrieben;. d. h. ⟨,X⟩ wird definiert, um ω [X] zu sein.

Wir definieren wie folgt:

:⟨ (A) [ω] ,X⟩ + ⟨, ρA [X] ⟩ = 0,

für irgendwelchen in L, ω in V und X in V. Das definiert einzigartig.

Klassifikation

Endlich-dimensionale Darstellungen von halbeinfachen Lüge-Algebra

Ähnlich dazu, wie halbeinfache Lüge-Algebra klassifiziert werden können, können die endlich-dimensionalen Darstellungen von halbeinfachen Lüge-Algebra klassifiziert werden. Das ist eine klassische Theorie, weit betrachtet als schön, und ein normativer Verweis ist.

Kurz sind endlich-dimensionale Darstellungen einer halbeinfachen Lüge-Algebra völlig reduzierbar, so genügt sie, um nicht zu vereinfachende (einfache) Darstellungen zu klassifizieren. Halbeinfache Lüge-Algebra werden in Bezug auf die Gewichte der adjoint Darstellung, des so genannten Wurzelsystems klassifiziert; auf eine ähnliche Weise können alle endlich-dimensionalen nicht zu vereinfachenden Darstellungen in Bezug auf Gewichte verstanden werden; sieh Gewicht (Darstellungstheorie) für Details.

Darstellung auf einer Algebra

Wenn wir eine Lüge-Superalgebra L haben, dann ist eine Darstellung von L auf einer Algebra (nicht notwendigerweise assoziativ) Z sortierte Algebra, der eine Darstellung von L ist, weil ein Z Vektorraum und außerdem, die Elemente von L-Taten als Abstammungen/Antiabstammungen sortiert hat.

Mehr spezifisch, wenn H ein reines Element von L und x ist und y reine Elemente von A, sind

:H [xy] = (H [x]) y + (−1) x (H [y])

Außerdem, wenn A unital, dann ist

:H [1] = 0

Jetzt, für den Fall einer Darstellung einer Lüge-Algebra, lassen wir einfach den ganzen gradings und (−1) zu den einem Macht-Faktoren fallen.

Eine Lüge (super)-Algebra ist eine Algebra und hat sie eine adjoint Darstellung von sich. Das ist eine Darstellung auf einer Algebra: Das (anti) Abstammungseigentum ist die superJacobi Identität.

Wenn ein Vektorraum sowohl eine assoziative Algebra als auch eine Lüge-Algebra ist und die adjoint Darstellung der Lüge-Algebra auf sich eine Darstellung auf einer Algebra ist (d. h., Taten durch Abstammungen auf der assoziativen Algebra-Struktur), dann ist es eine Algebra von Poisson. Die analoge Beobachtung für Lüge-Superalgebra gibt den Begriff einer Superalgebra von Poisson.

Siehe auch

• Darstellung einer Lüge-Superalgebra
• J.Humphreys, Einführung, um Algebra und Darstellungstheorie, Birkhäuser, 2000 Zu liegen