In der axiomatischen Mengenlehre und den Zweigen der Logik, Mathematik und Informatik, die es verwenden, ist das Axiom der Paarung eines der Axiome der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre.

Formelle Behauptung

Auf der formellen Sprache der Zermelo-Fraenkel Axiome liest das Axiom:

:oder in Wörtern:

:Given jeder Satz A und jeder Satz B, es gibt einen Satz C solch, dass, in Anbetracht jedes Satzes D, D ein Mitglied von C ist, wenn, und nur wenn D A oder D gleich ist, B gleich ist.

oder in einfacheren Wörtern:

:Given zwei Sätze, es gibt einen Satz, dessen Mitglieder genau die zwei gegebenen Sätze sind.

Interpretation

Was das Axiom wirklich sagt, ist, dass, in Anbetracht zwei Sätze A und B, wir einen Satz C finden können, dessen Mitglieder genau A und B sind.

Wir können das Axiom von extensionality verwenden, um zu zeigen, dass dieser Satz C einzigartig ist.

Wir nennen den Satz C das Paar von A und B, und zeigen es {A, B} an.

So ist die Essenz des Axioms:

:Any zwei Sätze haben ein Paar.

{A,} wird abgekürzt, den Singleton genannt, der A enthält.

Bemerken Sie, dass ein Singleton ein spezieller Fall eines Paares ist.

Das Axiom der Paarung berücksichtigt auch die Definition von befohlenen Paaren. Für irgendwelche Sätze und wird das befohlene Paar durch den folgenden definiert:

:

Bemerken Sie, dass diese Definition die Bedingung befriedigt

:

Bestellte N-Tupel können rekursiv wie folgt definiert werden:

:

Nichtunabhängigkeit

Das Axiom der Paarung wird allgemein unverfänglich betrachtet, und es oder eine Entsprechung erscheint in so etwa jeder Alternative axiomatization von der Mengenlehre. Dennoch, in der Standardformulierung der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, folgt das Axiom der Paarung aus dem Axiom-Diagramm des Ersatzes, der auf jeden gegebenen Satz mit zwei oder mehr Elementen angewandt ist, und so wird es manchmal weggelassen. Die Existenz solch eines Satzes mit zwei Elementen, solcher als {{}, {{}}}, kann entweder aus dem Axiom des leeren Satzes und dem Axiom des Macht-Satzes oder vom Axiom der Unendlichkeit abgeleitet werden.

Verallgemeinerung

Zusammen mit dem Axiom des leeren Satzes kann das Axiom der Paarung zum folgenden Diagramm verallgemeinert werden:

:

das ist:

:Given jede begrenzte Zahl von Sätzen durch A, es gibt einen Satz C, dessen Mitglieder genau durch A sind.

Dieser Satz C ist wieder durch das Axiom der Erweiterung einzigartig, und wird {A...,} angezeigt.

Natürlich können wir uns nicht auf eine begrenzte Zahl von Sätzen streng beziehen, ohne bereits in unseren Händen einen (begrenzten) Satz zu haben, dem die fraglichen Sätze gehören.

So ist das keine einzige Erklärung, aber stattdessen ein Diagramm, mit einer getrennten Behauptung für jede natürliche Zahl n.

• Der Fall n = 1 ist das Axiom der Paarung mit = A und B = A.
• Der Fall n = 2 ist das Axiom der Paarung mit = A und B = A.
• Die Fälle n> 2 können verwendend des Axioms der Paarung und des Axioms der Vereinigung mehrmals bewiesen werden.

Zum Beispiel, um den Fall n = 3 zu beweisen, verwenden Sie das Axiom, sich dreimal zu paaren, das Paar {A,}, der Singleton, und dann das Paar zu erzeugen.

Das Axiom der Vereinigung erzeugt dann das gewünschte Ergebnis, {A, A,}. Wir können dieses Diagramm erweitern, um n=0 einzuschließen, wenn wir diesen Fall als das Axiom des leeren Satzes interpretieren.

So kann man das als ein Axiom-Diagramm im Platz der Axiome des leeren Satzes und der Paarung verwenden. Normalerweise, jedoch, verwendet man die Axiome des leeren Satzes und sich getrennt paarend, und beweist dann das als ein Lehrsatz-Diagramm. Bemerken Sie, dass annehmend das als ein Axiom-Diagramm das Axiom der Vereinigung nicht ersetzen wird, die noch für andere Situationen erforderlich ist.

Eine andere Alternative

Ein anderes Axiom, das das Axiom der Paarung in Gegenwart vom Axiom des leeren Satzes einbezieht, ist

:.

Mit {} für A und x für B kommen wir {x} für C. Dann verwenden Sie {x} für A und y für B, {x, y} für C kommend. Man kann auf diese Mode weitermachen, jeden begrenzten Satz aufzubauen. Und das konnte verwendet werden, um alle hereditarily begrenzten Sätze zu erzeugen, ohne das Axiom der Vereinigung zu verwenden.

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