In der Logik sind eine Regel der Schlussfolgerung, Interferenzregel oder Transformationsregel die Tat, einen Schluss zu ziehen, der auf der Form von Propositionen gestützt ist, die als eine Funktion interpretiert sind, die Propositionen nimmt, ihre Syntax analysiert, und einen Beschluss (oder Beschlüsse) zurückgibt. Zum Beispiel nimmt die Regel des Interferenzmodus ponens zwei Propositionen, ein in der Form, "Wenn p dann q" und ein anderer in der Form von "p" und den Beschluss "q" zurückgeben. Die Regel ist in Bezug auf die Semantik der klassischen Logik (sowie die Semantik von vieler anderer nichtklassischer Logik) im Sinn gültig, der, wenn die Propositionen (unter einer Interpretation) dann so wahr sind, der Beschluss ist.

Gewöhnlich bewahrt eine Regel der Schlussfolgerung Wahrheit, ein semantisches Eigentum. In der vielgeschätzten Logik bewahrt es eine allgemeine Benennung. Aber eine Regel der Handlung der Schlussfolgerung ist rein syntaktisch, und braucht kein semantisches Eigentum zu bewahren: Jede Funktion von Sätzen von Formeln zu Formeln zählt in der Regel der Schlussfolgerung. Gewöhnlich sind nur Regeln, die rekursiv sind, wichtig; d. h. herrscht solch, dass es ein wirksames Verfahren gibt, um zu bestimmen, ob eine gegebene Formel der Beschluss eines gegebenen Satzes von Formeln gemäß der Regel ist. Ein Beispiel einer Regel, die in diesem Sinn nicht wirksam ist, ist der infinitary ω-rule.

Populäre Regeln der Schlussfolgerung schließen Modus ponens, Modus tollens von der Satzlogik und philosophischen Gegenüberstellung ein. Prädikat-Logik der ersten Ordnung verwendet Regeln der Schlussfolgerung, sich mit logischem quantifiers zu befassen. Sieh Liste von Regeln der Schlussfolgerung für Beispiele.

Übersicht

In der formalen Logik (und viele zusammenhängende Gebiete) werden Regeln der Schlussfolgerung gewöhnlich in der folgenden Standardform gegeben:

Premise#1 Premise#2

...

Beschluss

Diese Ausdruck-Staaten, dass, wann auch immer im Laufe einer logischen Abstammung die gegebenen Propositionen erhalten worden sind, der angegebene Beschluss ebenso als selbstverständlich betrachtet werden kann. Die genaue formelle Sprache, die verwendet wird, um sowohl Propositionen als auch Beschlüsse zu beschreiben, hängt vom wirklichen Zusammenhang der Abstammungen ab. In einem einfachen Fall kann man logische Formeln, solcher als verwenden in:

AB

B

Das ist gerade der Modus ponens Regel der Satzlogik. Regeln der Schlussfolgerung werden gewöhnlich als Regel-Diagramme durch den Gebrauch von universalen Variablen formuliert. In der Regel (Diagramm) oben kann A und B zu jedem Element des Weltalls (oder manchmal, durch die Tagung, eine eingeschränkte Teilmenge wie Vorschläge) realisiert werden, um einen unendlichen Satz von Interferenzregeln zu bilden.

Ein Probesystem wird aus einer Reihe von Regeln gekettet zusammen gebildet, um Beweise oder Abstammungen zu bilden. Jede Abstammung hat nur einen Endbeschluss, der die Erklärung ist, hat sich erwiesen oder hat abgestammt. Wenn Propositionen unbefriedigt in der Abstammung verlassen werden, dann ist die Abstammung ein Beweis einer hypothetischen Behauptung: "Wenn die Propositionen halten, dann hält der Beschluss."

Annehmbarkeit und derivability

In einer Reihe von Regeln konnte eine Interferenzregel im Sinn überflüssig sein, dass es zulässig oder ableitbar ist. Eine ableitbare Regel ist diejenige, deren Beschluss aus seinen Propositionen mit den anderen Regeln abgeleitet werden kann. Eine zulässige Regel ist diejenige, deren Beschluss hält, wann auch immer die Propositionen halten. Alle ableitbaren Regeln sind zulässig. Um den Unterschied zu schätzen, denken Sie das folgende Regelwerk, für die natürlichen Zahlen zu definieren (das Urteil behauptet die Tatsache, die eine natürliche Zahl ist):

:

\begin {Matrix-}\

\frac {} {\\mathbf {0} \, \, \mathsf {nat}}

&

\frac {n \, \, \mathsf {nat}} {\\mathbf {s (} n\mathbf {)} \, \, \mathsf {nat}} \\

\end {Matrix-}\

</Mathematik>

Die erste Regel stellt fest, dass 0 eine natürliche Zahl und die zweiten Staaten ist, dass s (n) eine natürliche Zahl ist, wenn n ist. In diesem Probesystem ist die folgende Regel, die demonstriert, dass der zweite Nachfolger einer natürlichen Zahl auch eine natürliche Zahl ist, ableitbar:

:

\frac {n \, \, \mathsf {nat}} {\\mathbf {s (s (} n\mathbf {))} \, \, \mathsf {nat} }\

</Mathematik>

Seine Abstammung ist gerade die Zusammensetzung von zwei Gebrauch der Nachfolger-Regierung oben. Die folgende Regel, für die Existenz eines Vorgängers für jede Nichtnullzahl zu behaupten, ist bloß zulässig:

:

\frac {\\mathbf {s (} n\mathbf {)} \, \, \mathsf {nat}} {n \, \, \mathsf {nat} }\

</Mathematik>

Das ist eine wahre Tatsache von natürlichen Zahlen, wie durch die Induktion bewiesen werden kann. (Um zu beweisen, dass diese Regel zulässig ist, nehmen Sie eine Abstammung der Proposition an und weihen Sie darauf ein, um eine Abstammung dessen zu erzeugen.) Jedoch ist es nicht ableitbar, weil es von der Struktur der Abstammung der Proposition abhängt. Wegen dessen ist derivability unter Hinzufügungen zum Probesystem stabil, wohingegen Annehmbarkeit nicht ist. Um den Unterschied zu sehen, nehmen Sie an, dass die folgende Quatsch-Regel zum Probesystem hinzugefügt wurde:

:

\frac {} {\\mathbf {s (-3)} \, \, \mathsf {nat} }\

</Mathematik>

In diesem neuen System ist die Regierung des doppelten Nachfolgers noch ableitbar. Jedoch ist die Regel, für den Vorgänger zu finden, nicht mehr zulässig, weil es keine Weise gibt abzustammen. Die Brüchigkeit der Annehmbarkeit kommt aus der Weise, wie es bewiesen wird: Da der Beweis auf der Struktur der Abstammungen der Propositionen einweihen kann, fügen Erweiterungen auf das System neue Fälle zu diesem Beweis hinzu, der nicht mehr halten kann.

Von zulässigen Regeln kann als Lehrsätze eines Probesystems gedacht werden. Zum Beispiel in einer folgenden Rechnung, wo geschnittene Beseitigung hält, ist die Kürzungsregel zulässig.

Andere Rücksichten

Interferenzregeln können auch in dieser Form festgesetzt werden: (1) einige (vielleicht Null) Propositionen (2) "leitet" ein Drehkreuz-Symbol, was bedeutet, "ab", "erweist sich" oder, "hört" (3) ein Beschluss "auf". Das nimmt gewöhnlich den Verwandtschafts-(im Vergleich mit dem funktionellen) Ansicht von einer Regel der Schlussfolgerung auf, wo das Drehkreuz für eine deducibility Beziehung eintritt, die zwischen Propositionen und Beschluss hält.

Regeln der Schlussfolgerung müssen von Axiomen einer Theorie bemerkenswert sein. In Bezug auf die Semantik sind Axiome gültige Behauptungen. Axiome werden gewöhnlich als Startpunkte betrachtet, um Regeln der Schlussfolgerung anzuwenden und eine Reihe von Beschlüssen zu erzeugen. Oder, in weniger Fachbegriffen:

Regeln sind Erklärungen ÜBER das System, Axiome sind Behauptungen IM System. Zum Beispiel:

• Die REGEL, die von Ihnen ableiten kann, ist eine Erklärung, die sagt, ob Sie p bewiesen haben, dann ist es nachweisbar, dass p nachweisbar ist. Das hält in der Arithmetik von Peano zum Beispiel.
• Das Axiom würde bedeuten, dass jede wahre Behauptung nachweisbar ist. Das hält in der Arithmetik von Peano nicht.

Regeln der Schlussfolgerung spielen eine Lebensrolle in der Spezifizierung von logischen Rechnungen, weil sie in der Probetheorie, wie die folgende Rechnung und der natürliche Abzug betrachtet werden.

Siehe auch

• Interferenzeinwand
• Unmittelbare Schlussfolgerung
• Gesetz des Gedankens
• Logische Wahrheit