Probetheorie ist ein Zweig der mathematischen Logik, die Beweise als formelle mathematische Gegenstände vertritt, ihre Analyse durch mathematische Techniken erleichternd. Beweise werden normalerweise als induktiv definierte Datenstrukturen wie einfache Listen präsentiert, hat Listen oder Bäume geboxt, die gemäß den Axiomen und Regeln der Schlussfolgerung des logischen Systems gebaut werden. Als solcher ist Probetheorie in der Natur im Gegensatz zur Mustertheorie syntaktisch, die in der Natur semantisch ist. Zusammen mit der Mustertheorie, axiomatischen Mengenlehre und recursion Theorie, ist Probetheorie eine der so genannten vier Säulen der Fundamente der Mathematik.

Probetheorie ist in der philosophischen Logik wichtig, wo das primäre Interesse in der Idee von einer probetheoretischen Semantik, eine Idee ist, die von technischen Ideen in der Strukturprobetheorie abhängt, ausführbar zu sein.

Geschichte

Obwohl die Formalisierung der Logik sehr durch die Arbeit solcher Zahlen wie Gottlob Frege, Giuseppe Peanos, Bertrand Russells, und Richard Dedekinds vorgebracht wurde, wird die Geschichte der modernen Probetheorie häufig als gesehen, von David Hilbert gegründet werden, der begonnen hat, was das Programm von Hilbert in den Fundamenten der Mathematik genannt wird. Die Samenarbeit von Kurt Gödel an der Probetheorie hat zuerst vorgebracht, hat dann dieses Programm widerlegt: Sein Vollständigkeitslehrsatz ist am Anfang geschienen, für das Ziel von Hilbert ein gutes Zeichen zu sein, die ganze Mathematik auf ein finitist formelles System zu reduzieren; dann haben seine Unvollständigkeitslehrsätze gezeigt, dass das unerreichbar ist. Ganze diese Arbeit wurde mit den Proberechnungen genannt die Systeme von Hilbert ausgeführt.

In der Parallele wurden die Fundamente der Strukturprobetheorie gegründet. Jan Łukasiewicz hat 1926 vorgeschlagen, dass man Systeme von Hilbert als eine Basis für die axiomatische Präsentation der Logik übertreffen konnte, wenn man die Zeichnung von Beschlüssen von Annahmen in den Interferenzregeln der Logik erlaubt hat. Als Antwort auf diesen Stanisław Jaśkowski (1929) und Gerhard Gentzen (1934) hat unabhängig solche Systeme, genannt Rechnungen des natürlichen Abzugs mit der Annäherung von Gentzen zur Verfügung gestellt, die die Idee von der Symmetrie zwischen dem Boden einführt, um Vorschläge zu behaupten, die in Einführungsregeln und den Folgen ausgedrückt sind, Vorschläge in den Beseitigungsregeln, eine Idee zu akzeptieren, die sich sehr wichtig in der Probetheorie erwiesen hat. Gentzen (1934) hat weiter die Idee von der folgenden Rechnung, eine Rechnung eingeführt, die in einem ähnlichen Geist vorgebracht ist, der besser die Dualität der logischen Bindewörter ausgedrückt hat und fortgesetzt hat, grundsätzliche Fortschritte in der Formalisierung der intuitionistic Logik zu machen, und den ersten kombinatorischen Beweis der Konsistenz der Arithmetik von Peano zur Verfügung zu stellen. Zusammen hat die Präsentation des natürlichen Abzugs und der folgenden Rechnung die grundsätzliche Idee vom analytischen Beweis eingeführt, Theorie, dichtzumachen

Formeller und informeller Beweis

Die informellen Beweise der täglichen mathematischen Praxis sind verschieden von den formellen Beweisen der Probetheorie. Sie sind Skizzen ziemlich auf höchster Ebene ähnlich, die einem Experten erlauben würden, einen formellen Beweis mindestens im Prinzip, in Anbetracht genug Zeit und Geduld wieder aufzubauen. Für die meisten Mathematiker, einen völlig formellen Beweis schreibend, ist zu pedantisch und langatmig, um in der üblichen Anwendung zu sein.

Formelle Beweise werden mit der Hilfe von Computern im interaktiven Lehrsatz-Beweis gebaut.

Bedeutsam können diese Beweise automatisch auch durch den Computer überprüft werden. (Überprüfung formeller Beweise ist gewöhnlich einfach, wohingegen die Entdeckung von Beweisen (automatisierter Lehrsatz, der sich erweist), allgemein hart ist.) Verlangt ein informeller Beweis in der Mathematik-Literatur im Vergleich, dass Wochen der gleichrangigen Rezension überprüft werden, und kann noch Fehler enthalten.

Arten von Proberechnungen

Die drei wohl bekanntesten Stile von Proberechnungen sind:

• Die Hilbert Rechnungen
• Die natürlichen Abzug-Rechnungen
• Die folgenden Rechnungen

Jeder von diesen kann eine ganze und axiomatische Formalisierung von Satz- oder Prädikat-Logik entweder des klassischen oder intuitionistic Geschmacks, fast jede modale Logik und viele Substrukturlogik, wie Relevanz-Logik oder geben

geradlinige Logik. Tatsächlich ist es ungewöhnlich, eine Logik zu finden, die widersteht in einer dieser Rechnungen vertreten zu werden.

Konsistenz-Beweise

Wie vorher erwähnt, war der Sporn für die mathematische Untersuchung von Beweisen in formellen Theorien das Programm von Hilbert. Die Hauptidee von diesem Programm bestand darin, dass, wenn wir finitary Beweise der Konsistenz für alle hoch entwickelten formellen Theorien geben konnten, die von Mathematikern dann erforderlich sind, wir diese Theorien mittels eines metamathematical Arguments niederlegen konnten, das zeigt, dass alle ihre rein universalen Behauptungen (mehr technisch ihre nachweisbaren Sätze) wahr finitarily sind; sobald so niedergelegt, sorgen wir uns über den non-finitary Bedeutung ihrer existenziellen Lehrsätze, bezüglich dieser als pseudobedeutungsvolle Bedingungen der Existenz von idealen Entitäten nicht.

Der Misserfolg des Programms wurde durch die Unvollständigkeitslehrsätze von Kurt Gödel veranlasst, die gezeigt haben, dass jede ω-consistent Theorie, die genug stark ist, um bestimmte einfache arithmetische Wahrheiten auszudrücken, seine eigene Konsistenz nicht beweisen kann, die auf der Formulierung von Gödel ein Satz ist.

Viel Untersuchung ist zu diesem Thema seitdem ausgeführt worden, das insbesondere geführt hat:

• Verbesserung des Ergebnisses von Gödel, besonders die Verbesserung von J. Barkley Rosser, die obengenannte Voraussetzung von ω-consistency zur einfachen Konsistenz schwächend;
• Axiomatisation des Kerns des Ergebnisses von Gödel in Bezug auf eine modale Sprache, provability Logik;
• Transfinite Wiederholung von Theorien, wegen Alan Turings und Solomon Fefermans;
• Die neue Entdeckung, Theorien, Systeme selbstnachzuprüfen, die stark genug sind, um über sich zu sprechen, aber zu schwach sind, um das diagonale Argument auszuführen, das der Schlüssel zum unprovability Argument von Gödel ist.

Siehe auch Mathematische Logik

Strukturprobetheorie

Strukturprobetheorie ist die Subdisziplin der Probetheorie, dass Studienproberechnungen, die einen Begriff des analytischen Beweises unterstützen. Der Begriff des analytischen Beweises wurde von Gentzen für die folgende Rechnung eingeführt; dort sind die analytischen Beweise diejenigen, die ohne Kürzung sind. Sein natürlicher Logikkalkül unterstützt auch einen Begriff des analytischen Beweises, wie gezeigt, durch Dag Prawitz. Die Definition ist ein bisschen komplizierter: Wir sagen, dass die analytischen Beweise die normalen Formen sind, die mit dem Begriff der normalen Form im Begriff-Neuschreiben verbunden sind. Exotischere Proberechnungen wie die Probenetze von Jean-Yves Girard unterstützen auch einen Begriff des analytischen Beweises.

Strukturprobetheorie wird mit der Typ-Theorie mittels der Ähnlichkeit des Currys-Howard verbunden, die eine Strukturanalogie zwischen dem Prozess der Normalisierung im natürlichen Logikkalkül und der Beta-Verminderung der getippten Lambda-Rechnung beobachtet. Das stellt das Fundament für die intuitionistic Typ-Theorie zur Verfügung, die durch Pro Martin-Löf entwickelt ist, und wird häufig zu einem drei Weg Ähnlichkeit erweitert, deren drittes Bein die kartesianischen geschlossenen Kategorien sind.

Probetheoretische Semantik

In der Linguistik wendet mit dem Typ logische Grammatik, categorial Grammatik und Grammatik von Montague auf der Strukturprobetheorie gestützte Formalismen an, eine formelle Semantik der natürlichen Sprache zu geben.

Gemälde-Systeme

Analytische Gemälde wenden die Hauptidee vom analytischen Beweis aus der Strukturprobetheorie an, Entscheidungsverfahren und Halbentscheidungsverfahren für eine breite Reihe der Logik zur Verfügung zu stellen.

Ordnungsanalyse

Ordnungsanalyse ist eine starke Technik, um kombinatorische Konsistenz-Beweise für Theorien zur Verfügung zu stellen, die Arithmetik und Analyse formalisieren.

Logik von der Probeanalyse

Mehrere wichtige Logik ist aus Einblicken in die logische Struktur gekommen, die in der Strukturprobetheorie entsteht.

Siehe auch

• Probetechniken
• Zwischenlogik
• Beweis (Wahrheit)
• Mustertheorie

Referenzen

• J. Avigad, E.H. Reck (2001). "Die Natur des Unendliches klärend": die Entwicklung von metamathematics und Probetheorie. Carnegie-Mellon Technischer Bericht CMU-PHIL-120.
• J. Barwise (Hrsg., 1978). Handbuch der Mathematischen Logik. Nordholland.
• 2ix.com: Logikteil einer Reihe von Artikeln, die Mathematik und Logik bedecken.
• A. S. Troelstra, H. Schwichtenberg (1996). Grundlegende Probetheorie. In der Reihe Flächen von Cambridge in der Theoretischen Informatik, Universität von Cambridge Presse, internationale Standardbuchnummer 0-521-77911-1.
• G. Gentzen (1935/1969). Untersuchungen des logischen Abzugs. In M. E. Szabo, Redakteur, Gesammelten Papieren von Gerhard Gentzen. Nordholland. Übersetzt von Szabo aus "Untersuchungen über das logische Schliessen", Mathematisches Zeitschrift 39: 176-210, 405-431.
• Luis Moreno & Bharath Sriraman (2005).Structural Stabilität und Dynamische Geometrie: Einige Ideen auf dem Gelegenen Beweis. Internationale Rezensionen auf der Mathematischen Ausbildung. Vol. 37, Nr. 3, Seiten 130-139

• J. von Plato (2008). Die Entwicklung der Probetheorie. Enzyklopädie von Stanford der Philosophie.