In der Kategorie-Theorie ist eine Kategorie geschlossen kartesianisch, wenn grob das Sprechen, ein auf einem Produkt von zwei Gegenständen definierter morphism mit einem auf einem der Faktoren definierten morphism natürlich identifiziert werden kann. Diese Kategorien sind in der mathematischen Logik und der Theorie der Programmierung besonders wichtig, darin stellen sie eine natürliche Einstellung für die Lambda-Rechnung zur Verfügung. Für Generalisationen dieses Begriffs zu monoidal Kategorien, sieh geschlossene monoidal Kategorie.

Definition

Die Kategorie C wird Kartesianisch geschlossen genannt, wenn, und nur wenn sie die folgenden drei Eigenschaften befriedigt:

• Es hat einen Endgegenstand.
• Irgendwelche zwei Gegenstände X und Y von C haben ein Produkt X×Y in C.
• Irgendwelche zwei Gegenstände Y und Z von C haben einen ExponentialZ in C.

Die ersten zwei Bedingungen können zur einzelnen Voraussetzung verbunden werden, dass irgendwelcher begrenzt (vielleicht leer) die Familie von Gegenständen von C ein Produkt in C wegen des natürlichen associativity des kategorischen Produktes zulässt, und weil das leere Produkt in einer Kategorie der Endgegenstand dieser Kategorie ist.

Die dritte Bedingung ist zur Voraussetzung gleichwertig, dass der functor-×y (d. h. der functor von C bis C, der Gegenstände X zu X×Y und morphisms φ zu φ×id kartografisch darstellt) ein Recht adjoint, gewöhnlich angezeigt - für alle Gegenstände Y in C. haben

Für lokal kleine Kategorien kann das durch die Existenz einer Bijektion zwischen den Hom-Sätzen ausgedrückt werden

der sowohl in X als auch in Z natürlich ist.

Wenn eine Kategorie solch ist, dass alle seine Scheibe-Kategorien geschlossen kartesianisch sind, dann wird es lokal kartesianisch geschlossen genannt.

Beispiele

Beispiele von kartesianischen geschlossenen Kategorien schließen ein:

• Der Kategorie-Satz aller Sätze, mit Funktionen als morphisms, ist geschlossen kartesianisch. Das Produkt X×Y ist das kartesianische Produkt X und Y und Z, ist der Satz aller Funktionen von Y bis Z. Der adjointness wird durch die folgende Tatsache ausgedrückt: die Funktion f: X×Y  Z wird mit der mit Currysoße zubereiteten Funktion g natürlich identifiziert: X  Z definiert durch g (x) (y) = f (x, y) für den ganzen x in X und y in Y.
• Die Kategorie von begrenzten Sätzen, mit Funktionen als morphisms, ist geschlossen aus demselben Grund kartesianisch.
• Wenn G eine Gruppe ist, dann ist die Kategorie aller G-Sätze geschlossen kartesianisch. Wenn Y und Z zwei G-Sätze sind, dann ist Z der Satz aller Funktionen von Y bis Z mit der G Handlung, die dadurch definiert ist (g. F) (y) = g. (F (g.y)) für den ganzen g in G, F:Y  Z und y in Y.
• Die Kategorie von begrenzten G-Sätzen ist geschlossen auch kartesianisch.
• Die Kategorie Cat aller kleinen Kategorien (mit functors als morphisms) ist geschlossen kartesianisch; der ExponentialC wird durch die functor Kategorie gegeben, die aus dem ganzen functors von D bis C, mit natürlichen Transformationen als morphisms besteht.
• Wenn C eine kleine Kategorie ist, dann ist der functor Kategorie-Satz, der aus dem ganzen kovarianten functors von C in die Kategorie von Sätzen, mit natürlichen Transformationen als morphisms besteht, geschlossen kartesianisch. Wenn F und G zwei functors von C sind, um Unterzugehen, dann ist der ExponentialF der functor, dessen Wert auf dem Gegenstand X von C durch den Satz aller natürlichen Transformationen von (X, ) × G zu F gegeben werden.
• Das frühere Beispiel von G-Sätzen kann als ein spezieller Fall von functor Kategorien gesehen werden: Jede Gruppe kann als eine Ein-Gegenstand-Kategorie betrachtet werden, und G-Sätze sind nichts als functors von dieser Kategorie, um Zu setzen
• Die Kategorie aller geleiteten Graphen ist geschlossen kartesianisch; das ist eine functor Kategorie, wie erklärt, unter der functor Kategorie.
• In der algebraischen Topologie sind kartesianische geschlossene Kategorien besonders leicht, damit zu arbeiten. Weder die Kategorie von topologischen Räumen mit dauernden Karten noch die Kategorie von glatten Sammelleitungen mit glatten Karten sind geschlossen kartesianisch. Ersatz-Kategorien sind deshalb betrachtet worden: Die Kategorie kompakt erzeugter Räume von Hausdorff ist geschlossen kartesianisch, wie die Kategorie von Räumen von Frölicher ist.
• In der Ordnungstheorie, vollenden Sie teilweise Ordnungen (cpos) haben eine natürliche Topologie, die Topologie von Scott, deren dauernde Karten wirklich eine kartesianische geschlossene Kategorie bilden (d. h. sind die Gegenstände der cpos, und die morphisms sind der Scott dauernde Karten). Sowohl mit Currysoße zuzubereiten, als auch gilt sind dauernde Funktionen in der Topologie von Scott, und, zusammen damit mit Currysoße zuzubereiten, wenden an, stellen den adjoint zur Verfügung.
• Eine Heyting Algebra ist ein Kartesianisches geschlossenes (begrenztes) Gitter. Ein wichtiges Beispiel entsteht aus topologischen Räumen. Wenn X ein topologischer Raum ist, dann bilden die offenen Sätze in X die Gegenstände einer Kategorie O (X), für den es einen einzigartigen morphism von U bis V gibt, wenn U eine Teilmenge V und kein morphism sonst ist. Dieser poset ist eine kartesianische geschlossene Kategorie: Das "Produkt" von U und V ist die Kreuzung von U und V, und der ExponentialU ist das Interieur von U  (X\V).

Die folgenden Kategorien sind geschlossen nicht kartesianisch:

• Die Kategorie aller Vektorräume über ein festes Feld ist geschlossen nicht kartesianisch; keiner ist die Kategorie aller endlich-dimensionalen Vektorräume. Während sie Produkte (genannt direkte Summen) haben, das Produkt haben functors Recht adjoints nicht. (Sie sind jedoch, symmetrischer monoidal hat Kategorien geschlossen: Der Satz von geradlinigen Transformationen zwischen zwei Vektorräumen bildet einen anderen Vektorraum, so werden sie geschlossen, und wenn man das Produkt durch das Tensor-Produkt ersetzt, besteht ein ähnlicher Isomorphismus zwischen den Räumen von Hom.)
• Die Kategorie von abelian Gruppen ist geschlossen aus demselben Grund nicht kartesianisch.

Anwendungen

In kartesianischen geschlossenen Kategorien kann eine "Funktion von zwei Variablen" (ein morphism f:X×Y  Z) immer als eine "Funktion einer Variable" (der morphism λf:X  Z) vertreten werden. In Informatik-Anwendungen ist das bekannt als, mit Currysoße zuzubereiten; es hat zur Verwirklichung geführt, dass einfach getippte Lambda-Rechnung in jeder kartesianischen geschlossenen Kategorie interpretiert werden kann.

Die Curry-Howard-Lambek Ähnlichkeit stellt einen tiefen Isomorphismus zwischen der intuitionistic Logik, der einfach getippten Lambda-Rechnung und den kartesianischen geschlossenen Kategorien zur Verfügung.

Bestimmte kartesianische geschlossene Kategorien, der topoi, sind als eine allgemeine Einstellung für die Mathematik statt der traditionellen Mengenlehre vorgeschlagen worden.

Der berühmte Computerwissenschaftler John Backus hat eine Notation ohne Variablen oder Funktionsniveau-Programmierung verteidigt, die im Rückblick etwas Ähnlichkeit in die innere Sprache von kartesianischen geschlossenen Kategorien trägt. CAML wird auf kartesianischen geschlossenen Kategorien bewusster modelliert.

Theorie von Equational

In jeder kartesianischen geschlossenen Kategorie (Exponentialnotation verwendend), (X) und (X) sind für alle Gegenstände X, Y und Z isomorph. Wir schreiben das als die "Gleichung"

: (x) = (x).

Man kann fragen, was andere solche Gleichungen in allen kartesianischen geschlossenen Kategorien gültig sind. Es stellt sich heraus, dass sie alle logisch von den folgenden Axiomen folgen:

• x× (y×z) = (x×y) ×z
• x×y = y×x
• x×1 = x (hier 1 zeigt den Endgegenstand von C an)
• 1 = 1
• x = x
• (x×y) = x×y
• (x) = x

Bicartesian hat geschlossen Kategorien erweitern kartesianische geschlossene Kategorien mit binärem coproducts und einem anfänglichen Gegenstand mit dem Produktverteilen über coproducts. Ihre equational Theorie wird mit den folgenden Axiomen erweitert:

• x + y = y + x
• (x + y) + z = x + (y + z)
• x (y + z) = xy + xz
• x = xx
• 0 + x = x
• x×0 = 0
• x = 1