Quantifizierung hat mehrere verschiedene Sinne. In der Mathematik und empirischen Wissenschaft ist es die Tat des Zählens und Messens, das menschliche Sinnbeobachtungen und Erfahrungen in Mitglieder von einem Satz von Zahlen kartografisch darstellt. Die Quantifizierung in diesem Sinn ist für die wissenschaftliche Methode grundsätzlich.

In der Logik ist Quantifizierung die Schwergängigkeit einer variablen Anordnung über ein Gebiet des Gesprächs. Die Variable wird dadurch gebunden von einem Maschinenbediener genannt einen quantifier. Die akademische Diskussion der Quantifizierung bezieht sich öfter auf diese Bedeutung des Begriffes als der vorhergehende.

In der Grammatik ist ein quantifier ein Typ des Bestimmungswortes, wie alle oder viele, der Menge anzeigt. Diese Sachen sind diskutiert worden, um logischem quantifiers am semantischen Niveau zu entsprechen.

Natürliche Sprache

Alle bekannten menschlichen Sprachen machen von der Quantifizierung (Wiese 2004) Gebrauch. Zum Beispiel, in Englisch:

• Jedes Glas in meiner neuen Ordnung wurde abgeschnitzelt.
• Etwas vom Menschenstehen über den Fluss hat weiße Armbinden.
• Die meisten Menschen, mit denen ich gesprochen habe, hatten keinen Hinweis, wer die Kandidaten waren.
• Viele Leute sind klug.

Die Wörter in der Kursive sind quantifiers.

Dort besteht keine einfache Weise, irgendwelche dieser Ausdrücke als eine Verbindung oder Trennung von Sätzen, jeder wiederzuformulieren, der ein einfaches Prädikat einer Person wie Dieses Wein-Glas abgeschnitzelt wurde. Diese Beispiele weisen auch darauf hin, dass der Aufbau von gemessenen Ausdrücken auf natürlicher Sprache syntaktisch sehr kompliziert sein kann. Glücklich, für mathematische Behauptungen, ist der Quantifizierungsprozess syntaktisch aufrichtiger.

Die Studie der Quantifizierung auf natürlichen Sprachen ist viel schwieriger als das entsprechende Problem für formelle Sprachen. Das kommt teilweise aus der Tatsache, dass die grammatische Struktur von Sätzen der natürlichen Sprache die logische Struktur verbergen kann. Außerdem gibt mathematische Vereinbarung ausschließlich die Reihe der Gültigkeit für die formelle Sprache quantifiers an; für natürliche Sprache, die Reihe der Gültigkeit angebend, verlangt, sich mit nichttrivialen semantischen Problemen befassend. Zum Beispiel kommt der Satz Someone mugged in New York alle 10 Minuten identifiziert sich  nicht, ob es dieselbe Person ist, die mugged alle 10 Minuten kommt.

Grammatik von Montague gibt eine neuartige formelle Semantik von natürlichen Sprachen. Seine Befürworter behaupten, dass es eine viel natürlichere formelle Übergabe der natürlichen Sprache zur Verfügung stellt als die traditionellen Behandlungen von Frege, Russell und Quine.

Logik

Auf der Sprache und Logik ist Quantifizierung eine Konstruktion, die die Menge von Mustern im Gebiet des Gesprächs angibt, die für gelten (oder befriedigen Sie) eine offene Formel. Zum Beispiel, in der Arithmetik, erlaubt es den Ausdruck der Behauptung, dass jede natürliche Zahl einen Nachfolger hat. Ein Sprachelement, das eine Quantifizierung erzeugt, wird einen quantifier genannt. Der resultierende Ausdruck ist ein gemessener Ausdruck; und, wie man sagt, wird der Ausdruck über das Prädikat oder den Funktionsausdruck gemessen, dessen freie Variable durch den quantifier gebunden wird. Quantifizierung wird in beiden natürlichen Sprachen und formellen Sprachen verwendet. Beispiele von quantifiers in Englisch sind für alle, für einige, viele, wenige, sehr, und nein. Auf formellen Sprachen ist Quantifizierung ein Formel-Konstrukteur, der neue Formeln von alten erzeugt. Die Semantik der Sprache gibt an, wie der Konstrukteur als ein Ausmaß der Gültigkeit interpretiert wird.

Die zwei grundsätzlichen Arten der Quantifizierung in der Prädikat-Logik sind universale Quantifizierung und existenzielle Quantifizierung. Das traditionelle Symbol für den universalen quantifier "alles" ist "", ein umgekehrter Brief "A", und für den existenziellen quantifier, "besteht" ist "", ein rotieren gelassener Brief "E". Diese quantifiers sind verallgemeinert worden, mit der Arbeit von Mostowski und Lindström beginnend. Sieh verallgemeinerten quantifier und Lindström quantifier für weitere Details.

Mathematik

Denken Sie die folgende Behauptung:

: 1 · 2 = 1 + 1, und 2 · 2 = 2 + 2, und 3 · 2 = 3 + 3...., und n · 2 = n + n, usw.

Das hat das Äußere einer unendlichen Verbindung von Vorschlägen. Aus dem Gesichtswinkel von formellen Sprachen ist das sofort ein Problem, da, wie man erwartet, Syntax-Regeln begrenzte Gegenstände erzeugen. Das Beispiel ist oben darin glücklich es gibt ein Verfahren, um den ganzen conjuncts zu erzeugen. Jedoch, wenn eine Behauptung über jede irrationale Zahl gemacht werden sollte, würde es keine Weise geben, den ganzen conjuncts aufzuzählen, da Irrationalzahlen nicht aufgezählt werden können. Eine kurz gefasste Formulierung, die diese Probleme vermeidet, verwendet universale Quantifizierung:

: Für jede natürliche Zahl n, n · 2 = n + n.

Eine ähnliche Analyse gilt für die Trennung,

: 1 ist 5 + 5 gleich, oder 2 ist 5 + 5 gleich, oder 3 ist 5 + 5 gleich..., oder n ist 5 + 5, usw. gleich.

der mit der existenziellen Quantifizierung umformuliert werden kann:

: Für eine natürliche Zahl n ist n 5 + 5 gleich.

Es ist möglich, abstrakte Algebra auszudenken, deren Modelle formelle Sprachen mit der Quantifizierung einschließen, aber Fortschritt ist langsam gewesen und das Interesse an solcher Algebra beschränkt worden ist. Drei Annäherungen sind bis heute ausgedacht worden:

• Beziehungsalgebra, die von DeMorgan erfunden ist, und von Charles Sanders Peirce, Ernst Schröder, Tarski und den Studenten von Tarski entwickelt ist. Beziehungsalgebra kann keine Formel mit quantifiers verschachtelt mehr als drei tief vertreten. Überraschend schließen die Modelle der Beziehungsalgebra die axiomatische Mengenlehre ZFC und Arithmetik von Peano ein;
• Algebra von Cylindric, die von Tarski, Henkin und anderen ausgedacht ist;
• Die polyadic Algebra von Paul Halmos.

Notation

Das traditionelle Symbol für den universalen quantifier ist "", ein umgekehrter Brief "A", der für das Wort "alle" eintritt; in anderen Schulen, verwendet stattdessen zu sein. Das entsprechende Symbol für den existenziellen quantifier ist "", ein rotieren gelassener Brief "E", der für das Wort eintritt, "besteht". Andere Schulen verwenden das Symbol stattdessen.

Entsprechend werden gemessene Ausdrücke wie folgt, gebaut

:

für eine Formel P. Verschiedene Notationen, schließen für den Satz X ein und setzen Mitglieder x:

:

Alle diese Schwankungen gelten auch für die universale Quantifizierung.

Andere Schwankungen für den universalen quantifier sind

:

Einige Versionen der Notation erwähnen ausführlich die Reihe der Quantifizierung. Die Reihe der Quantifizierung muss immer angegeben werden; für eine gegebene mathematische Theorie kann das auf mehrere Weisen getan werden:

• Nehmen Sie ein festes Gebiet des Gesprächs für jede Quantifizierung an, wie in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, getan wird
• Befestigen Sie mehrere Gebiete des Gesprächs im Voraus und verlangen Sie, dass jede Variable ein offen erklärtes Gebiet hat, das der Typ dieser Variable ist. Das ist der Situation auf statisch getippten Computerprogrammiersprachen analog, wo Variablen Typen erklärt haben.
• Erwähnen Sie ausführlich die Reihe der Quantifizierung, vielleicht mit einem Symbol für den Satz aller Gegenstände in diesem Gebiet oder dem Typ der Gegenstände in diesem Gebiet.

Man kann jede Variable als eine gemessene Variable im Platz von irgendwelchem anderer unter bestimmten Beschränkungen verwenden, in denen variable Festnahme nicht vorkommt. Selbst wenn der Notationsgebrauch Variablen getippt hat, können Variablen dieses Typs verwendet werden.

Informell oder auf natürlicher Sprache könnten der "x" oder "x" danach oder in der Mitte P (x) erscheinen. Formell, jedoch, wird der Ausdruck, der die Platzhaltervariable einführt, in die Vorderseite gelegt.

Mathematische Formeln mischen symbolische Ausdrücke für quantifiers, mit natürlicher Sprache quantifiers wie

: Für jede natürliche Zahl x....

: Dort besteht ein solcher x dass....

: Für mindestens einen x.

Schlüsselwörter für die Einzigartigkeitsquantifizierung schließen ein:

: Für genau eine natürliche Zahl x....

: Es gibt einen und nur einen solchen x dass....

Weiter kann x durch ein Pronomen ersetzt werden. Zum Beispiel,

:For jede natürliche Zahl, sein Produkt mit 2 kommt zu seiner Summe mit sich gleich

Natürliche

:Some-Zahl ist erst.

Gleichwertige Ausdrücke

Wenn X ein Gebiet von x ist und P (x) ein Prädikat-Abhängiger auf x ist, dann wird der universale Vorschlag in Algebra-Begriffen von Boolean als ausgedrückt

:

der gleichwertig liest, "wenn x in X ist, dann ist P (x) wahr." Wenn x nicht in X ist, dann ist P (x) unbestimmt. Bemerken Sie, dass die Wahrheit des Ausdrucks nur verlangt, dass x in X sind, so kann es jeder x in X, unabhängig von P (x), wohingegen die Unehrlichkeit des Ausdrucks oder die Wahrheit von sein

:

zusätzlich verlangt, dass x solch sind, dass P (x) zum falschen bewertet; das ist der Grund hinter dem Benennen x eine "bestimmte Variable." Dieser letzte Ausdruck kann so gelesen werden, weil "für einen x in X, P (x) falsch ist," oder "dort besteht ein x in X solch, dass P (x) falsch ist." Also, Haben wir jetzt den gleichwertigen Ausdruck von Boolean für den existenziellen Vorschlag:

:

So, zusammen mit der Ablehnung, ist nur ein entweder des universalen oder existenziellen quantifier erforderlich, um beide Aufgaben durchzuführen:

:

der zeigt, dass, um "für den ganzen x" Vorschlag zu widerlegen, man nicht mehr als einen x finden muss, für den das Prädikat falsch ist. Ähnlich

:

zu widerlegen, "dort besteht ein x" Vorschlag, man muss zeigen, dass das Prädikat für den ganzen x falsch ist.

Nisten

Denken Sie die folgende Behauptung:

:For jede natürliche Zahl, es gibt eine solche natürliche Zahl dass.

Das ist klar wahr; es behauptet gerade, dass jede natürliche Zahl ein Quadrat hat. Die Bedeutung der Behauptung, in der die quantifiers umgedreht werden, ist verschieden:

: Es gibt eine natürliche Zahl solch das für jede natürliche Zahl.

Das ist klar falsch; es behauptet, dass es eine einzelne natürliche Zahl s gibt, der sofort das Quadrat jeder natürlichen Zahl ist. Das ist, weil die Syntax anordnet, dass jede kürzlich eingeführte Variable keine Funktion nachher eingeführter Variablen sein kann.

Das illustriert, dass die Ordnung von quantifiers zur Bedeutung kritisch ist.

Ein weniger triviales Beispiel ist das wichtige Konzept der gleichförmigen Kontinuität von der Analyse, die sich vom vertrauteren Konzept der pointwise Kontinuität nur durch einen Austausch in den Positionen von zwei quantifiers unterscheidet.

Um das zu illustrieren, lassen Sie f eine reellwertige Funktion auf R. sein

• A: Pointwise Kontinuität auf R:

::

den universalen quantifiers über die geschweiften Klammern auswechselnd, ist das dasselbe als

• ': Kontinuität von Pointwise von f auf R:

::

So wird es angedeutet, dass der besondere für δ gewählte Wert nur eine Funktion von ε und x, die Variablen sein kann, die ihm vorangehen; wohingegen in

• B: Gleichförmige Kontinuität von f auf R:

::

durch das Austauschen des existenziellen und universalen quantifiers über die geschweiften Klammern in', wie man behauptet, ist δ von x unabhängig.

Zweideutigkeit wird mit dem quantifiers in der Vorderseite vermieden:

• A: B: C - eindeutiger
• es gibt Einen solchen dass B: C - eindeutiger
• es gibt Einen solchen, dass für den ganzen B, C - eindeutig, vorausgesetzt, dass die Trennung zwischen B und C klarer ist
• es gibt Einen solchen, dass C für den ganzen B - es häufig klar ist, dass, was gemeint wird, ist

:: es gibt Einen solchen dass (C für den ganzen B)

:but konnte es als interpretiert werden

:: (es gibt Einen solchen dass C) für den ganzen B

• es gibt Einen solchen, dass C B - stärker darauf hinweist, dass das erste gemeint wird; das kann durch das Lay-Out, zum Beispiel durch das Stellen "C B" auf einer neuen Linie verstärkt werden.

Reihe der Quantifizierung

Jede Quantifizierung schließt eine spezifische Variable und ein Gebiet des Gesprächs oder Reihe der Quantifizierung dieser Variable ein. Die Reihe der Quantifizierung gibt den Satz von Werten an, die die Variable nimmt. In den Beispielen oben ist die Reihe der Quantifizierung der Satz von natürlichen Zahlen. Die Spezifizierung der Reihe der Quantifizierung erlaubt uns, den Unterschied auszudrücken zwischen, behauptend, dass ein Prädikat für eine natürliche Zahl oder für eine reelle Zahl hält. Erklärende Vereinbarung bestellt häufig einige Variablennamen wie "n" für natürliche Zahlen und "x" für reelle Zahlen vor, obwohl das Verlassen exklusiv auf das Namengeben der Vereinbarung im Allgemeinen nicht arbeiten kann, da sich Reihen von Variablen im Laufe eines mathematischen Arguments ändern können.

Eine natürlichere Weise, das Gebiet des Gesprächs einzuschränken, verwendet vorsichtige Quantifizierung. Zum Beispiel, die vorsichtige Quantifizierung

:For ist eine natürliche Zahl n, n sogar, und n ist erster

Mittel

:For eine gerade Zahl n, n ist erst.

In einigen mathematischen Theorien ein einzelnes Gebiet von

Gespräch befestigt wird im Voraus angenommen. Zum Beispiel, in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre, erstrecken sich Variablen über alle Sätze. In diesem Fall kann geschützter quantifiers verwendet werden, um eine kleinere Reihe der Quantifizierung nachzuahmen. So im Beispiel

oben, um auszudrücken

:For jede natürliche Zahl n, n · 2 = n + n

in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre kann es gesagt werden

:For jeder n, wenn n N, dann n gehört · 2 = n + n,

wo N der Satz aller natürlichen Zahlen ist.

Formelle Semantik

Mathematische Semantik ist die Anwendung der Mathematik, um die Bedeutung von Ausdrücken auf einer formellen Sprache zu studieren. Es hat drei Elemente: Eine mathematische Spezifizierung einer Klasse von Gegenständen über die Syntax, eine mathematische Spezifizierung von verschiedenen semantischen Gebieten und der Beziehung zwischen den zwei, die gewöhnlich als eine Funktion von syntaktischen Gegenständen bis semantische ausgedrückt wird. Dieser Artikel richtet nur das Problem dessen, wie quantifier Elemente interpretiert werden.

In Anbetracht eines logischen theoretischen Musterfachwerks kann die Syntax einer Formel durch einen Syntax-Baum gegeben werden. Quantifiers haben Spielraum, und eine Variable ist x frei, wenn es nicht im Rahmen einer Quantifizierung für diese Variable ist. So in

:

das Ereignis sowohl von x als auch von y in C (y, x) ist frei.

Eine Interpretation für die Prädikat-Rechnung der ersten Ordnung, nimmt wie gegeben, an

ein Gebiet von Personen X. Eine Formel A deren freie Variablen

sind x..., x wird als ein interpretiert

geboolean-schätzte Funktion F (v...,

v) n Argumente, wo jedes Argument anordnet

über das Gebiet X. GeBoolean-schätzte Mittel, dass die Funktion einen der Werte T (interpretiert als Wahrheit) oder F (interpretiert als Lüge) annimmt. Die Interpretation der Formel

:

ist die Funktion G von n-1 solchen Argumenten dass G (v..., v) = T wenn und nur wenn F (v..., v, w) = T für jeden w in X. Wenn F (v..., v, w) = F für mindestens einen Wert von w, dann G (v..., v) = F. Ähnlich die Interpretation der Formel

:

ist die Funktion H von n-1 solchen Argumenten dass H (v..., v) = T wenn und nur wenn F (v..., v, w) = T für mindestens einen w und H (v..., v) = F sonst.

Die Semantik für die Einzigartigkeitsquantifizierung verlangt Prädikat-Rechnung der ersten Ordnung mit der Gleichheit. Das bedeutet dort wird ein ausgezeichnetes zwei gelegtes Prädikat "=" gegeben; die Semantik wird auch entsprechend modifiziert, so dass "=" immer als die zweistellige Gleichheitsbeziehung auf X interpretiert wird. Die Interpretation von

:

dann ist die Funktion von n-1 Argumenten, die das logische und von den Interpretationen von ist

::

Paucal, multal und anderer Grad quantifiers

Keiner der vorher besprochenen quantifiers gilt für eine Quantifizierung wie

:There sind viele ganze Zahlen n..., x, dessen Interpretation ist

die Funktion F Variablen v..., v

dann die Interpretation von

:

ist die Funktion von v..., v, der T wenn und nur wenn ist

:

und F sonst. Ähnlich die Interpretation von

:

ist die Funktion von v..., v, der F wenn und nur wenn ist

:

und T sonst. Sieh den Lehrsatz von Fubini für mehr Diskussion des measurability der Interpretationsfunktionen.

Anderer quantifiers

Einige andere quantifiers sind mit der Zeit vorgeschlagen worden. Insbesondere die Lösung quantifier, bemerkter § (Abteilungszeichen) und hat "diejenigen" gelesen. Zum Beispiel:

:

wird "jene n in solchem N gelesen, dass n  4 in {0,1,2} sind." Dieselbe Konstruktion ist expressible in der Notation des Satz-Baumeisters:

:

Geschichte

Nennen Sie Logikvergnügen-Quantifizierung gewissermaßen, die an natürlicher Sprache näher, und auch zur formellen Analyse weniger passend ist. Aristotelische Logik hat Alle, Einige und No im 1. Jahrhundert v. Chr. in einer Rechnung behandelt, die auch die alethic Modalitäten berührt.

Gottlob Frege, in seinen 1879 Begriffsschrift, war erst, um einen quantifier zu verwenden, um eine variable Anordnung über ein Gebiet des Gesprächs und Erscheinens in Prädikaten zu binden. Er würde eine Variable (oder Beziehung) allgemein messen, indem er die Variable über ein Grübchen in einer sonst Gerade schreibt, die in seinen diagrammatischen Formeln erscheint. Frege hat keine ausführliche Notation für die existenzielle Quantifizierung ausgedacht, stattdessen seine Entsprechung von ~ x ~, oder philosophische Gegenüberstellung verwendend. Die Behandlung von Frege der Quantifizierung ist größtenteils unbemerkt bis zu den 1903 Grundsätzen von Bertrand Russell der Mathematik gegangen.

In der Arbeit, die in Peirce (1885) kulminiert hat, haben Charles Sanders Peirce und sein Student Oskar Howard Mitchell unabhängig universalen und existenziellen quantifiers erfunden, und haben Variablen gebunden. Peirce und Mitchell haben Π und Σ geschrieben, wo wir jetzt x und x schreiben. Die Notation von Peirce kann in den Schriften von Ernst Schröder, Leopold Loewenheim, Thoralf Skolem und polnischen Logikern in die 1950er Jahre gefunden werden. Am meisten namentlich ist es die Notation von Grenzstein-1930-Papier von Kurt Gödel auf der Vollständigkeit der Logik der ersten Ordnung und 1931-Papier auf der Unvollständigkeit der Arithmetik von Peano.

Die Annäherung von Peirce an die Quantifizierung hat auch William Ernest Johnson und Giuseppe Peano beeinflusst, der noch eine andere Notation, nämlich (x) für die universale Quantifizierung von x und (1897) x für die existenzielle Quantifizierung von x erfunden hat. Folglich seit Jahrzehnten war die kanonische Notation in der Philosophie und mathematischen Logik (x) P, um "alle Personen im Gebiet des Gesprächs auszudrücken, haben das Eigentum P," und" (x) P" für "dort besteht mindestens eine Person im Gebiet des Gesprächs, das das Eigentum P." Peano hat, der viel besser bekannt war als Peirce, tatsächlich hat das Denken des Letzteren überall in Europa ausgegossen. Die Notation von Peano wurde von Principia Mathematica von Whitehead und Russell, Quine und Kirche von Alonzo angenommen. 1935 hat Gentzen das  Symbol analog mit dem  Symbol von Peano eingeführt.  ist kanonisch bis zu den 1960er Jahren nicht geworden.

1895 hat Peirce begonnen, seine existenziellen Graphen zu entwickeln, deren Variablen, wie stillschweigend gemessen, gesehen werden können. Ob das seichteste Beispiel einer Variable sogar ist oder seltsam bestimmt, ob die Quantifizierung dieser Variable universal oder existenziell ist. (Seichtheit ist das Gegenteil der Tiefe, die durch das Nisten von Ablehnungen bestimmt wird.) die grafische Logik von Peirce hat etwas Aufmerksamkeit in den letzten Jahren durch diejenigen angezogen, die das heterogene Denken und die diagrammatische Schlussfolgerung erforschen.

Naturwissenschaft

Ein Maß der unbestrittenen allgemeinen Wichtigkeit von der Quantifizierung in den Naturwissenschaften kann aus den folgenden Anmerkungen nachgelesen werden: "Das sind bloße Tatsachen, aber sie sind quantitative Tatsachen und die Basis der Wissenschaft." Es scheint, als allgemein für wahr gehalten zu werden, dass "das Fundament der Quantifizierung Maß ist." Es gibt wenige Zweifel, dass "Quantifizierung eine Grundlage für die Objektivität der Wissenschaft geschaffen hat." In alten Zeiten, "haben Musiker und Künstler... Quantifizierung zurückgewiesen, aber Großhändler haben definitionsgemäß ihre Angelegenheiten gemessen, um zu überleben, hat sie sichtbar auf dem Pergament und Papier gemacht." Jeder angemessene "Vergleich zwischen Aristoteles und Galileo zeigt klar, dass es keine einzigartige ohne ausführliche Quantifizierung entdeckte Gesetzlichkeit geben kann." Sogar heute "verwenden Universitäten unvollständige Instrumente genannt 'Prüfungen', um etwas indirekt zu messen, was sie Kenntnisse nennen." Diese Bedeutung der Quantifizierung kommt unter dem Kopfstück der Pragmatik.

In einigen Beispielen in den Naturwissenschaften kann ein anscheinend nicht greifbares Konzept durch das Schaffen einer Skala — zum Beispiel, einer Schmerzskala in der medizinischen Forschung oder einer Unbequemlichkeitsskala an der Kreuzung der Meteorologie und menschlichen Physiologie wie der Hitzeindex gemessen werden, der die vereinigte wahrgenommene Wirkung der Hitze und Feuchtigkeit oder des Windkälte-Faktors misst, der die vereinigten wahrgenommenen Effekten der Kälte und des Winds misst.

Sozialwissenschaften

In den Sozialwissenschaften ist Quantifizierung ein integraler Bestandteil der Volkswirtschaft und Psychologie. Beide Disziplinen sammeln Daten — Volkswirtschaft durch die empirische Beobachtung und Psychologie durch das Experimentieren, und beider verwenden statistische Techniken wie Regressionsanalyse, um Schlüsse daraus zu ziehen.

In einigen Beispielen können anscheinend immaterielle Güter gemessen werden, indem sie Themen gebeten wird, etwas auf einer Skala — zum Beispiel, einer Glück-Skala oder einer Lebensqualitätsskala — oder durch den Aufbau einer Skala durch den Forscher, als mit dem Index der Wirtschaftsfreiheit abzuschätzen. In anderen Fällen kann eine unbeobachtbare Variable durch das Ersetzen davon mit einer Proxyvariable gemessen werden, mit der es — zum Beispiel hoch aufeinander bezogen wird, pro Kopf wird Bruttoinlandsprodukt häufig als eine Vertretung für den Lebensstandard oder die Lebensqualität verwendet.

Oft im Gebrauch des rückwärts Gehens, der Anwesenheit oder Abwesenheit eines Charakterzugs wird durch die Beschäftigung einer Platzhaltervariable gemessen, die den Wert 1 in Gegenwart vom Charakterzug oder dem Wert 0 ohne den Charakterzug übernimmt.

Quantitative Linguistik ist ein Gebiet der Linguistik, die sich auf die Quantifizierung verlässt. Zum Beispiel sind Indizes von grammaticalization von Morphemen, wie fonologische Kürze, Abhängigkeit von Umgebungen, und Fusion mit dem Verb, entwickelt und gefunden worden, über Sprachen mit der Bühne der Evolution der Funktion des Morphems bedeutsam aufeinander bezogen zu werden.

Hart gegen die weiche Wissenschaft

Die Bequemlichkeit der Quantifizierung ist eine der Eigenschaften, die verwendet sind, um harte und weiche Wissenschaften von einander zu unterscheiden. Wie man häufig betrachtet, sind harte Wissenschaften wissenschaftlicher, streng, oder genau. In einigen Sozialwissenschaften wie Soziologie sind spezifische genaue Daten schwierig vorzuherrschen, entweder weil Laborbedingungen nicht da sind, oder weil die beteiligten Probleme begrifflich, aber nicht direkt quantitativ bestimmbar sind.

Siehe auch

• Indefinitpronomen
• Beseitigung von Quantifier
• Barwise, Jon; und Etchemendy, John, 2000. Sprachbeweis und Logik. CSLI (Universität der Chikagoer Presse) und New York: Sieben Brücke-Presse. Eine sanfte Einführung in die Logik der ersten Ordnung durch zwei erstklassige Logiker.
• Crosby, Alfred W. (1996) Das Maß der Wirklichkeit: Quantifizierung und Westgesellschaft, 1250-1600. Universität von Cambridge Presse.
• Frege, Gottlob, 1879. Begriffsschrift. Übersetzt in Jean van Heijenoort, 1967. Von Frege bis Gödel: Ein Quellbuch auf der Mathematischen Logik, 1879-1931. Universität von Harvard Presse. Das erste Äußere der Quantifizierung.
• Hilbert, David; und Ackermann, Wilhelm, 1950 (1928). Grundsätze der Mathematischen Logik. Chelsea. Übersetzung von Grundzüge der theoretischen Logik. Springer-Verlag. Die 1928-Erstausgabe ist das erste Mal, als Quantifizierung auf die jetzt Standardweise nämlich als verbindliche Variablen bewusst verwendet wurde, die sich über ein festes Gebiet des Gesprächs erstrecken. Das ist der Definieren-Aspekt der Logik der ersten Ordnung.
• Peirce, C. S., 1885, "Auf der Algebra der Logik: Ein Beitrag zur Philosophie der Notation, amerikanischen Zeitschrift der Mathematik, Vol. 7, Seiten 180-202. Nachgedruckt in Kloesel, N. u. a. Hrsg., 1993. Schriften von C. S. Peirce, Vol. 5. Indiana Universität Presse. Das erste Äußere der Quantifizierung in irgendetwas wie seine gegenwärtige Form.
• Reichenbach, Hans, 1975 (1947). Elemente der Symbolischen Logik, Veröffentlichungen von Dover. Die quantifiers werden in Kapiteln §18 "Schwergängigkeit von Variablen" durch §30 "Abstammungen von Synthetischen Propositionen" besprochen.
• Westerståhl, Dag, 2001, "Quantifiers", in Goble, Lou, Hrsg., Dem Handbuch von Blackwell zur Philosophischen Logik. Blackwell.
• Wiese, Heike, 2003. Zahlen, Sprache und der Menschenverstand. Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-521-83182-2.

Links

• Enzyklopädie von Stanford der Philosophie:
• "Klassische Logik - durch Stewart Shapiro. Deckel-Syntax, Mustertheorie und metatheory für die erste Ordnungslogik im natürlichen Abzug-Stil.
• "Verallgemeinerter quantifiers" - durch Dag Westerståhl.
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers".