In der Mathematik wird die Beziehung zwischen den zwei Hauptoperationen der Rechnung, Unterscheidung und Integration, die durch den Hauptsatz der Rechnung im Fachwerk der Integration von Riemann festgesetzt ist, in mehreren Richtungen, mit der Integration von Lebesgue und absoluten Kontinuität verallgemeinert. Für reellwertige Funktionen auf der echten Linie erscheinen zwei in Wechselbeziehung stehende Begriffe, absolute Kontinuität von Funktionen und absolute Kontinuität von Maßnahmen. Diese zwei Begriffe werden in verschiedenen Richtungen verallgemeinert. Die übliche Ableitung einer Funktion ist mit der Radon-Nikodym Ableitung oder Dichte eines Maßes verbunden.

Absolute Kontinuität von Funktionen

Es kann geschehen, dass eine dauernde Funktion f differentiable fast überall auf [0,1] ist, ist seine Ableitung f  Lebesgue integrable, und dennoch unterscheidet sich das Integral von f  von der Zunahme von f. Zum Beispiel geschieht das für die Kantor-Funktion, was bedeutet, dass diese Funktion nicht absolut dauernd ist. Die absolute Kontinuität von Funktionen ist ein Glätte-Eigentum, das strenger ist als Kontinuität und gleichförmige Kontinuität.

Definition

Lassen Sie mich ein Zwischenraum in der echten Linie R sein. Eine Funktion f: Ich  R ist auf mir absolut dauernd, wenn für jede positive Zahl es eine solche positive Zahl gibt, dass, wann auch immer eine begrenzte Folge von pairwise Subzwischenräume (x, y) dessen auseinander nehmen, meiner befriedige

:

dann

:

Die Sammlung aller absolut dauernden Funktionen auf werde mir AC (I) angezeigt.

Gleichwertige Definitionen

Die folgenden Bedingungen auf einer reellwertigen Funktion f auf einem Kompaktzwischenraum [a, b] sind gleichwertig:

: (1) ist f absolut dauernd;

: (2) hat f eine Ableitung f  fast überall, die Ableitung ist Lebesgue integrable und

::

:for der ganze x auf [a, b];

: (3) dort besteht eine Funktion von Lebesgue integrable g auf [a, b] solch dass

::

:for der ganze x auf [a, b].

Wenn diese gleichwertigen Bedingungen dann notwendigerweise g = f  fast überall zufrieden sind.

Gleichwertigkeit zwischen (1) und (3) ist als der Hauptsatz der Integralrechnung von Lebesgue wegen Lebesgue bekannt.

Weil eine gleichwertige Definition in Bezug auf Maßnahmen die Abteilungsbeziehung zwischen den zwei Begriffen der absoluten Kontinuität sieht.

Eigenschaften

• Die Summe und der Unterschied von zwei absolut dauernden Funktionen sind auch absolut dauernd. Wenn die zwei Funktionen auf einem begrenzten geschlossenen Zwischenraum definiert werden, dann ist ihr Produkt auch absolut dauernd.
• Wenn eine absolut dauernde Funktion auf einem begrenzten geschlossenen Zwischenraum definiert wird und nirgends Null dann ist, ist sein Gegenstück absolut dauernd.
• Jede absolut dauernde Funktion ist gleichförmig dauernd und, deshalb, dauernd. Jede Lipschitz-dauernde Funktion ist absolut dauernd.
• Wenn f: [a b]  ist R absolut dauernd, dann ist es der begrenzten Schwankung auf [a, b].
• Wenn f: [a b]  ist R absolut dauernd, dann hat er den Luzin N Eigentum (d. h. für irgendwelchen solch, dass er das meint, wo für das Maß von Lebesgue auf R eintritt).
• f: Ich  R ist absolut dauernd, wenn, und nur wenn es dauernd ist, bin der begrenzten Schwankung und habe den Luzin N Eigentum.

Beispiele

Die folgenden Funktionen sind überall dauernd, aber nicht absolut dauernd:

• die Kantor-Funktion;
• die Funktion

::

: auf einem begrenzten Zwischenraum, der den Ursprung enthält;

• die Funktion (x) ƒ = x auf einem unbegrenzten Zwischenraum.

Generalisationen

Lassen Sie (X, d), ein metrischer Raum zu sein und mich ein Zwischenraum in der echten Linie R sein zu lassen. Eine Funktion f: Ich  X ist auf mir absolut dauernd, wenn für jede positive Zahl es eine solche positive Zahl gibt, dass, wann auch immer eine begrenzte Folge von pairwise Subzwischenräume [x, y] dessen auseinander nehmen, meiner befriedige

:dann:

Die Sammlung aller absolut dauernden Funktionen von werde mir in X AC angezeigt (ich; X).

Eine weitere Generalisation ist der Raum-AC (ich; X) Kurven f: Ich  X solch dass

:

für eine M im L Raum L (I).

Eigenschaften dieser Generalisationen

Jede absolut dauernde Funktion ist gleichförmig dauernd und, deshalb, dauernd. Jede Lipschitz-dauernde Funktion ist absolut dauernd.

• Wenn f: [a, b]  X ist absolut dauernd, dann ist es der begrenzten Schwankung auf [a, b].
• Für f  AC (ich; X) besteht die metrische Ableitung von f für λ-almost alle Zeiten mit mir, und die metrische Ableitung ist die kleinste M  L (ich; R) solch dass

::

Absolute Kontinuität von Maßnahmen

Definition

Ein Maß μ auf Teilmengen von Borel der echten Linie ist in Bezug auf Maß-λ von Lebesgue (mit anderen Worten, beherrscht durch λ) wenn μ (A) = 0 für jeden Satz für der λ (A) = 0 absolut dauernd. Das wird als "μ für den ganzen n=1,2,3 geschrieben...

Gleichwertige Definitionen

Die folgenden Bedingungen auf einem begrenzten Maß μ auf Teilmengen von Borel der echten Linie sind gleichwertig:

: (1) ist μ absolut dauernd;

: (2) für jede positive Zahl ε gibt es eine positive Zahl δ solch dass μ (A)

:for alle Teilmengen von Borel der echten Linie.

Weil eine gleichwertige Definition in Bezug auf Funktionen die Abteilungsbeziehung zwischen den zwei Begriffen der absoluten Kontinuität sieht.

Jede andere Funktion, die (3) befriedigt, ist g fast überall gleich. Solch eine Funktion wird Radon-Nikodym Ableitung oder Dichte, des absolut dauernden Maßes μ genannt.

Gleichwertigkeit zwischen (1), (2) und (3) hält auch in R für den ganzen n=1,2,3...

So sind die absolut dauernden Maßnahmen auf R genau diejenigen, die Dichten haben; als ein spezieller Fall sind die absolut dauernden Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen genau diejenigen, die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktionen haben.

Generalisationen

Wenn μ und ν zwei Maßnahmen auf demselben messbaren Raum dann μ sind, wird gesagt, in Bezug auf ν absolut dauernd zu sein, oder durch ν wenn μ (A) = 0 für jeden Satz für der ν (A) = 0 beherrscht. Das wird als "μ ν" geschrieben. In Symbolen:

:

Die absolute Kontinuität von Maßnahmen ist reflexiv und transitiv, aber ist nicht antisymmetrisch, so ist es eine Vorordnung aber nicht eine teilweise Ordnung. Statt dessen, wenn, wie man sagt, μ ν und ν μ, die Maßnahmen μ und ν gleichwertig sind. So veranlasst absolute Kontinuität eine teilweise Einrichtung solcher Gleichwertigkeitsklassen.

Wenn μ ein unterzeichnetes oder kompliziertes Maß ist, wird es gesagt, dass μ in Bezug auf ν absolut dauernd ist, wenn seine Schwankung | μ | μ  ν befriedigt; gleichwertig, wenn jeder Satz, für den ν (A) = 0 μ-null ist.

Der Radon-Nikodym Lehrsatz stellt fest, dass, wenn μ in Bezug auf ν und beide Maßnahmen absolut dauernd ist, σ-finite sind, dann hat μ eine Dichte, oder "Radon-Nikodym Ableitung" in Bezug auf ν, was bedeutet, dass dort eine ν-Measurable-Funktion f das Annehmen von Werten [0, + ], angezeigt durch f = , solch besteht, die für jeden ν-measurable untergehen, haben wir

:

Einzigartige Maßnahmen

Über den Zergliederungslehrsatz von Lebesgue kann jedes Maß in die Summe eines absolut dauernden Maßes und eines einzigartigen Maßes zersetzt werden. Sieh einzigartiges Maß für Beispiele von Maßnahmen, die nicht absolut dauernd sind.

Beziehung zwischen den zwei Begriffen der absoluten Kontinuität

Ein begrenztes Maß μ auf Teilmengen von Borel der echten Linie ist in Bezug auf das Maß von Lebesgue wenn und nur wenn die Punkt-Funktion absolut dauernd

:

ist lokal eine absolut dauernde echte Funktion.

Mit anderen Worten ist eine Funktion lokal absolut dauernd, wenn, und nur wenn seine Verteilungsableitung ein Maß ist, das in Bezug auf das Maß von Lebesgue absolut dauernd ist.

Wenn die absolute Kontinuität dann meint, dass die Radon-Nikodym Ableitung von μ fast überall der Ableitung von F gleich ist.

Mehr allgemein, wie man annimmt, ist das Maß μ lokal begrenzt (aber nicht begrenzt), und F (x) wird als μ ((0, x]) für x> 0, 0 für x=0 und-μ ((x, 0]) für x definiert

Die Beziehung zwischen den zwei Begriffen der absoluten Kontinuität hält noch.

Referenzen