In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Martingal ein Modell eines schönen Spiels, wo keine Kenntnisse von vorigen Ereignissen helfen können, zukünftiges Gewinnen vorauszusagen. Insbesondere ein Martingal ist eine Folge von zufälligen Variablen (d. h., ein stochastischer Prozess), für den, in einer bestimmten Zeit in der begriffenen Folge, die Erwartung des folgenden Werts in der Folge dem beobachteten Wert der Gegenwart sogar gegebene Kenntnisse aller vorherigen beobachteten Werte in einer Uhrzeit gleich ist.

Um sich in einem Prozess abzuheben, der nicht ein Martingal ist, kann es noch der Fall sein, dass der erwartete Wert des Prozesses auf einmal dem erwarteten Wert des Prozesses im nächsten Mal gleich ist. Jedoch können Kenntnisse der vorherigen Ergebnisse (z.B, alle vorherigen Karten, die von einem Karte-Deck gezogen sind), im Stande sein, die Unklarheit von zukünftigen Ergebnissen zu reduzieren. So kann der erwartete Wert des folgenden Ergebnisses gegeben Kenntnisse der Gegenwart und aller vorherigen Ergebnisse höher sein als das aktuelle Ergebnis, wenn eine Gewinnen-Strategie verwendet wird. Martingale schließen die Möglichkeit des Gewinnens von Strategien aus, die auf der Spielgeschichte gestützt sind, und so sind sie ein Modell von schönen Spielen.

Geschichte

Ursprünglich hat sich Martingal auf eine Klasse von Wetten-Strategien bezogen, die im 18. Jahrhundert Frankreich populär war. Die einfachste von diesen Strategien wurde für ein Spiel entworfen, in dem der Spieler seinen Anteil gewinnt, wenn eine Münze Köpfe heraufkommt und ihn verliert, wenn die Münze Schwänze heraufkommt. Die Strategie ließ den Spieler seine Wette nach jedem Verlust verdoppeln, so dass der erste Gewinn alle vorherigen Verluste plus der Gewinn ein dem ursprünglichen Anteil gleicher Gewinn wieder erlangen würde. Da sich der Reichtum des Spielers und Verfügbarkeitszeit gemeinsam Unendlichkeit nähert, nähert sich seine Wahrscheinlichkeit, schließlich Köpfe zu schnipsen, 1, der die Martingal-Wetten-Strategie einem sicheren Ding ähnlich sein lässt. Jedoch, das Exponentialwachstum der Wetten schließlich Bankrotteure seine Benutzer. Angehaltene Brownsche Bewegung, die ein Martingal-Prozess ist, kann verwendet werden, um die Schussbahn solcher Spiele zu modellieren.

Das Konzept des Martingals in der Wahrscheinlichkeitstheorie wurde von Paul Pierre Lévy eingeführt, und viel von der ursprünglichen Entwicklung der Theorie wurde von Joseph Leo Doob unter anderen getan. Ein Teil der Motivation für diese Arbeit sollte die Unmöglichkeit von erfolgreichen Wetten-Strategien zeigen.

Definitionen

Eine grundlegende Definition eines Martingals der diskreten Zeit ist ein stochastischer Prozess der diskreten Zeit (d. h., eine Folge von zufälligen Variablen) X, X, X... der für jede Zeit n, befriedigt

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D. h. der bedingte erwartete Wert der folgenden Beobachtung, in Anbetracht aller vorigen Beobachtungen, ist der letzten Beobachtung gleich. Wegen der Linearität der Erwartung ist diese zweite Voraussetzung gleichwertig zu:

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der feststellt, dass das durchschnittliche "Gewinnen" von der Beobachtung bis Beobachtung 0 ist.

Martingal-Folgen in Bezug auf eine andere Folge

Mehr allgemein, eine Folge Y, Y, Y... wird gesagt, ein Martingal in Bezug auf eine andere Folge X, X, X. zu sein.. wenn für den ganzen n

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Ähnlich ist ein dauernd-maliges Martingal in Bezug auf den stochastischen Prozess X ein stochastischer Prozess Y solch das für den ganzen t

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Das drückt das Eigentum aus, dass die bedingte Erwartung einer Beobachtung in der Zeit t, in Anbetracht aller Beobachtungen bis zur Zeit, der Beobachtung in der Zeit s (natürlich, vorausgesetzt, dass s  t) gleich ist.

Allgemeine Definition

In der vollen Allgemeinheit, ein stochastischer Prozess Y: T × Ω  S ist ein Martingal in Bezug auf ein Filtrieren Σ, und Wahrscheinlichkeit messen P wenn

• Σ ist ein Filtrieren des zu Grunde liegenden Wahrscheinlichkeitsraums (Ω, Σ, P);
• Y wird an das Filtrieren Σ angepasst, d. h., als jeder t im Index T gesetzt hat, ist die zufällige Variable Y eine Σ-Measurable-Funktion;
• für jeden t liegt Y im L Raum L (Ω, Σ, P; S), d. h.

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• für den ganzen s und t mit s < t und der ganze F  Σ,

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:where χ zeigt die Anzeigefunktion des Ereignisses F an. In Grimmetts Wahrscheinlichkeit und Stirzakers und Zufallsprozessen wird diese letzte Bedingung als angezeigt

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:which ist eine allgemeine Form der bedingten Erwartung.

Es ist wichtig zu bemerken, dass das Eigentum, ein Martingal zu sein, sowohl das Filtrieren als auch das Wahrscheinlichkeitsmaß einschließt (in Bezug auf den die Erwartungen genommen werden). Es ist möglich, dass Y ein Martingal in Bezug auf ein Maß, aber nicht einen anderen sein konnte; der Lehrsatz von Girsanov bietet eine Weise an, ein Maß zu finden, in Bezug auf das ein Itō-Prozess ein Martingal ist.

Beispiele von Martingalen

• Ein unvoreingenommener zufälliger Spaziergang (in jeder Zahl von Dimensionen) ist ein Beispiel eines Martingals.
• Ein Glück eines Spielers (Kapital) ist ein Martingal, wenn alle Wetten-Spiele, die der Spieler spielt, schön sind.
• Die Urne von Polya enthält mehrere verschiedene farbige Marmore und jede Wiederholung ein Marmor wird aus der Urne zufällig ausgewählt und durch noch mehrere ersetzt, die dieser derselben Farbe sind. Für jede gegebene Farbe ist das Verhältnis von Marmoren innerhalb der Urne mit dieser Farbe ein Martingal. Zum Beispiel, wenn zurzeit 95 % der Marmore dann rot sind, obwohl die folgende Wiederholung viel wahrscheinlicher ist als, rötere Marmore nicht zu veranlassen, hinzugefügt zu werden, wird diese Neigung durch die Tatsache genau erwogen, dass das Hinzufügen röterer Marmore das Verhältnis viel weniger bedeutsam verändern würde als das Hinzufügen, dass dieselbe Zahl von nichtroten Marmoren würde.
• Denken Sie X ist ein Glück eines Spielers danach n Werfen einer schönen Münze, wo der Spieler 1 $ gewinnt, wenn die Münze Köpfe heraufkommt und 1 $ verliert, wenn die Münze Schwänze heraufkommt. Das bedingte erwartete Glück des Spielers nach der folgenden Probe, in Anbetracht der Geschichte, ist seinem gegenwärtigen Glück gleich, so ist diese Folge ein Martingal.
• Lassen Sie Y = X − n, wo X das Glück des Spielers vom vorhergehenden Beispiel ist. Dann die Folge {Y: n = 1, 2, 3...} ist ein Martingal. Das kann verwendet werden, um zu zeigen, dass sich der Gesamtgewinn oder Verlust des Spielers grob zwischen plus oder minus die Quadratwurzel der Zahl von Schritten ändern.
• (das Martingal von de Moivre) Jetzt nehmen eine "unfaire" oder "voreingenommene" Münze, mit der Wahrscheinlichkeit p von "Köpfen" und Wahrscheinlichkeit q = 1 &minus an; p "Schwänze". Lassen Sie

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:with "+" im Falle "Köpfe" und "−" im Falle "Schwänze". Lassen Sie

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:Then {Y: n = 1, 2, 3...} ist ein Martingal in Bezug auf {X: n = 1, 2, 3...}. Diesen zu zeigen

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\begin {richten }\aus

E [Y_ {n+1} \mid X_1, \dots, X_n] & = p (q/p) ^ {X_n+1} + q (q/p) ^ {X_n-1} \\

& = p (q/p) (q/p) ^ {X_n} + q (p/q) (q/p) ^ {X_n} \\

& = q (q/p) ^ {X_n} + p (q/p) ^ {X_n} = (q/p) ^ {X_n} =Y_n.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

• (Wahrscheinlichkeitsverhältnis-Prüfung in der Statistik), wie man denkt, wird Eine Bevölkerung entweder gemäß einer Wahrscheinlichkeitsdichte f oder gemäß einer anderen Wahrscheinlichkeitsdichte g verteilt. Eine zufällige Probe, wird die Daten genommen, die X..., X sind. Lassen Sie Y das "Wahrscheinlichkeitsverhältnis" sein

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: (der, in Anwendungen, als ein Test statistisch verwendet würde). Wenn die Bevölkerung wirklich gemäß der Dichte f aber nicht gemäß g, dann {Y verteilt wird: n = 1, 2, 3...} ist ein Martingal in Bezug auf {X: n = 1, 2, 3...}.

• Nehmen Sie jede Amöbe entweder Spalte in zwei Amöben, mit der Wahrscheinlichkeit p an, oder stirbt schließlich, mit der Wahrscheinlichkeit 1 &minus; p. Lassen Sie X die Zahl von Amöben sein, die in der n-ten Generation überleben (im besonderen X = 0, wenn die Bevölkerung bis dahin erloschen ist). Lassen Sie r die Wahrscheinlichkeit des schließlichen Erlöschens sein. (Entdeckung r als Funktion von p ist eine aufschlussreiche Übung. Hinweis: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Nachkommen einer Amöbe schließlich aussterben, ist der Wahrscheinlichkeit gleich, dass jede seiner unmittelbaren Nachkommenschaft ausstirbt, vorausgesetzt, dass sich die ursprüngliche Amöbe aufgespalten hat.) Dann

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:is ein Martingal in Bezug auf {X: n = 1, 2, 3...}.

• Die Zahl von Personen irgendwelcher besonderen Arten in einem Ökosystem der festen Größe ist eine Funktion (der getrennten) Zeit, und kann als eine Folge von zufälligen Variablen angesehen werden. Diese Folge ist ein Martingal laut der vereinigten neutralen Theorie der Artenvielfalt.
• Wenn {N: t  ist 0\ein Prozess von Poisson mit der Intensität λ, dann der Ersetzte Prozess von Poisson {N &minus; λt: t  ist 0\ein dauernd-maliges Martingal mit right-continuous/left-limit Beispielpfaden.
• Eine Beispiel-Martingal-Reihe kann mit der Computersoftware leicht erzeugt werden:

:*Microsoft ragen Hervor oder ähnliche Spreadsheet-Software. Gehen Sie 0.0 im A1 herein (Spitze verlassen) Zelle, und in der Zelle darunter (A2) geht herein. Jetzt Kopie dass Zelle durch das Herunterziehen, um ungefähr 300 Kopien zu schaffen. Das wird eine Martingal-Reihe mit einem bösartigen von 0 und Standardabweichung 1 schaffen. Mit den noch hervorgehobenen Zellen gehen zum Karte-Entwicklungswerkzeug und schaffen eine Karte dieser Werte. Jetzt jedes Mal geschieht eine Wiederberechnung (darin ragen Hervor der F9 Schlüssel tut das) die Karte wird eine andere Martingal-Reihe zeigen.

:*R. Um das Beispiel oben, Problem zu erfrischen, um eine andere Martingal-Reihe zu zeigen, legen den Befehl neu auf.

Submartingale, Supermartingale und Beziehung zu harmonischen Funktionen

Es gibt zwei populäre Generalisationen eines Martingals, die auch Fälle einschließen, wenn die aktuelle Beobachtung X der zukünftigen bedingten Erwartung E [XX..., X] nicht notwendigerweise gleich ist, aber stattdessen haben ein oberer oder niedrigeres zur bedingten Erwartung gebunden. Diese Definitionen widerspiegeln eine Beziehung zwischen Martingal-Theorie und potenzieller Theorie, die die Studie von harmonischen Funktionen ist. Gerade als ein dauernd-maliges Martingal E [X {X befriedigt: &tau;&le;s}] &minus; X = 0 &forall;s &le; t befriedigt eine harmonische Funktion f die teilweise stochastische Differenzialgleichung &Delta;f = 0 wo &Delta; ist der Maschinenbediener von Laplacian. In Anbetracht eines Prozess-W der Brownschen Bewegung und einer harmonischen Funktion f wird der resultierende Prozess f (W) auch ein Martingal sein.

• Ein Submartingal der diskreten Zeit ist eine Folge von integrable zufälligen Variablen, die befriedigen

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: Ebenfalls wird ein dauernd-maliges Submartingal befriedigen

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:In-Potenzial-Theorie, eine subharmonische Funktion f wird &Delta;f &ge befriedigen; 0. Jede subharmonische Funktion, die oben durch eine harmonische Funktion für alle Punkte an der Grenze eines Balls begrenzt wird, wird oben durch die harmonische Funktion für alle Punkte innerhalb des Balls begrenzt. Ähnlich, wenn ein Submartingal und ein Martingal gleichwertige Erwartungen seit einer gegebenen Zeit haben, wird die Geschichte des Submartingals dazu neigen, oben durch die Geschichte des Martingals begrenzt zu werden. Grob sprechend, entspricht das Präfix "sub -", weil die aktuelle Beobachtung X weniger ist als (oder gleich) die bedingte Erwartung E [XX..., X]. Folglich stellt die aktuelle Beobachtung Unterstützung von unter der zukünftigen bedingten Erwartung zur Verfügung, und der Prozess neigt dazu, in der zukünftigen Zeit zuzunehmen.

• Analog befriedigt ein Supermartingal der diskreten Zeit

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: Ebenfalls wird ein dauernd-maliges Supermartingal befriedigen

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:In-Potenzial-Theorie, eine superharmonische Funktion f wird &Delta;f &le befriedigen; 0. Jede superharmonische Funktion, die unten durch eine harmonische Funktion für alle Punkte an der Grenze eines Balls begrenzt wird, wird unten durch die harmonische Funktion für alle Punkte innerhalb des Balls begrenzt. Ähnlich, wenn ein Supermartingal und ein Martingal gleichwertige Erwartungen seit einer gegebenen Zeit haben, wird die Geschichte des Supermartingals dazu neigen, unten durch die Geschichte des Martingals begrenzt zu werden. Grob sprechend, entspricht das Präfix "super -", weil die aktuelle Beobachtung X größer als (oder gleich ist) die bedingte Erwartung E [XX..., X]. Folglich stellt die aktuelle Beobachtung Unterstützung von über der zukünftigen bedingten Erwartung zur Verfügung, und der Prozess neigt dazu, in der zukünftigen Zeit abzunehmen.

Beispiele von Submartingalen und Supermartingalen

• Jedes Martingal ist auch ein Submartingal und ein Supermartingal. Umgekehrt ist jeder stochastische Prozess, der sowohl ein Submartingal als auch ein Supermartingal ist, ein Martingal.
• Denken Sie wieder den Spieler, der 1 $ gewinnt, wenn eine Münze Köpfe heraufkommt und 1 $ verliert, wenn die Münze Schwänze heraufkommt. Denken Sie, jetzt wo die Münze beeinflusst werden kann, so dass sie Köpfe mit der Wahrscheinlichkeit p heraufkommt.
• Wenn p 1/2, der Spieler durchschnittlich gleich ist weder gewinnt noch Geld verliert, und das Glück des Spielers mit der Zeit ein Martingal ist.
• Wenn p weniger ist als 1/2, verliert der Spieler Geld durchschnittlich, und das Glück des Spielers ist mit der Zeit ein Supermartingal.
• Wenn p größer ist als 1/2, das Spieler-Gewinn-Geld durchschnittlich, und das Glück des Spielers mit der Zeit ein Submartingal ist.
• Eine konvexe Funktion eines Martingals ist ein Submartingal durch die Ungleichheit von Jensen. Zum Beispiel ist das Quadrat des Glückes des Spielers im schönen Münzspiel ein Submartingal (der auch aus der Tatsache das X &minus folgt; n ist ein Martingal). Ähnlich ist eine konkave Funktion eines Martingals ein Supermartingal.

Martingale und Arbeitsschlüsse

Ein Arbeitsschluss in Bezug auf eine Folge von zufälligen Variablen X, X, X, ist... eine zufällige Variable τ mit dem Eigentum, dass für jeden t, das Ereignis oder Nichtereignis des Ereignisses τ = t nur von den Werten von X, X, X..., X abhängt. Die Intuition hinter der Definition ist, dass in jeder bestimmten Zeit t Sie auf die Folge bis jetzt schauen und erzählen können, ob es Zeit ist, um anzuhalten. Ein Beispiel im echten Leben könnte die Zeit sein, in der ein Spieler den Spieltisch verlässt, der eine Funktion seines vorherigen Gewinnens sein könnte (zum Beispiel, könnte er nur abreisen, wenn er Pleite geht), aber er kann nicht beschließen, zu gehen oder gestützt auf dem Ergebnis von Spielen zu bleiben, die noch nicht gespielt worden sind.

In einigen Zusammenhängen wird das Konzept des Arbeitsschlusses durch das Verlangen nur dass das Ereignis oder Nichtereignis des Ereignisses τ = t definiert, probabilistically Unabhängiger X, X... aber nicht dass es sein, durch die Geschichte des Prozesses bis zur Zeit t völlig bestimmt werden. Das ist eine schwächere Bedingung als diejenige, die im Paragrafen oben erscheint, aber ist stark genug, um in einigen der Beweise zu dienen, in denen Arbeitsschlüsse verwendet werden.

Einer der grundlegenden Eigenschaften von Martingalen ist, dass, wenn ein (sub-/super-) Martingal ist und ein Arbeitsschluss ist, dann ist der entsprechende angehaltene Prozess, der dadurch definiert ist, auch ein (sub-/super-) Martingal.

Das Konzept eines angehaltenen Martingals führt zu einer Reihe von wichtigen Lehrsätzen, einschließlich, zum Beispiel, der fakultative anhaltende Lehrsatz, der feststellt, dass, unter bestimmten Bedingungen, der erwartete Wert eines Martingals in einem Arbeitsschluss seinem Anfangswert gleich ist. Wir können es verwenden, um zum Beispiel die Unmöglichkeit von erfolgreichen Wetten-Strategien für einen Spieler mit einer begrenzten Lebenszeit und einer Hausgrenze auf Wetten zu beweisen.

Siehe auch

• Die Ungleichheit von Azuma
• Brownsche Bewegung
• Martingal Hauptgrenzwertsatz
• Martingal-Darstellungslehrsatz
• Martingal von Doob
• Die Martingal-Konvergenz-Lehrsätze von Doob
• Lokales Martingal
• Halbmartingal
• Martingal-Unterschied-Folge
• Kette von Markov
• Martingal (Wetten-System)

Zeichen

• Komplettes der Martingal-Wahrscheinlichkeitstheorie gewidmetes Problem.