Als die positive ganze Zahl wird n größer und größer, der Wert n Sünde (1/n) wird willkürlich in der Nähe von 1. Wir sagen, dass "die Grenze der Folge n Sünde (1/n) 1 gleich ist."

In der Mathematik ist eine Grenze einer Folge ein Wert, in der Nähe von dem die Begriffe der Folge "schließlich kommen". Wenn solch eine Grenze besteht, läuft die Folge zusammen.

Grenzen können in jedem metrischen oder topologischen Raum definiert werden, aber werden gewöhnlich zuerst in den reellen Zahlen gestoßen.

Die Konvergenz von Folgen ist ein grundsätzlicher Begriff in der mathematischen Analyse, die seit alten Zeiten studiert worden ist.

Reelle Zahlen

Definition

Eine reelle Zahl x ist die Grenze der Folge (x), wenn die folgende Bedingung hält:

:for jeder ε> 0, dort besteht eine natürliche Zahl N solch, dass, für jeden, wir haben

Mit anderen Worten, für jedes Maß der Nähe ε die Begriffe der Folge sind schließlich das in der Nähe von der Grenze. Wie man gesagt wird, läuft die Folge (x) dazu zusammen oder neigt zur Grenze x, geschrieben oder.

Wenn eine Folge zu etwas Grenze zusammenläuft, dann ist es konvergent; sonst ist es auseinander gehend.

Beispiele

Wenn für einen unveränderlichen c, dann.

Wenn, dann.

Wenn, wenn sogar ist, und wenn, dann seltsam ist. (Die Tatsache, die, wann auch immer seltsam ist, irrelevant ist.)

In Anbetracht jeder reellen Zahl kann man eine Folge leicht bauen, die zu dieser Zahl durch die Einnahme dezimaler Annäherungen zusammenläuft. Zum Beispiel läuft die Folge dazu zusammen.

Eigenschaften

Grenzen von Folgen benehmen sich gut in Bezug auf die üblichen arithmetischen Operationen. Wenn und, dann, und, wenn weder b noch irgendwelcher Null sind.

Für jede dauernde Funktion f, wenn dann. Tatsächlich ist eine Funktion f dauernd, wenn, und nur wenn sie die Grenzen von Folgen bewahrt.

Unendliche Grenzen

Die Fachsprache und Notation der Konvergenz werden auch verwendet, um Folgen zu beschreiben, deren Begriffe sehr groß werden. Wie man sagt, neigt eine Folge zur Unendlichkeit, schriftlich oder wenn für jeden K, es gibt einen solchen N dass, für jeden; d. h. die Folge-Begriffe sind schließlich größer, dass irgendwelcher K befestigt hat. Ähnlich, wenn, für jeden K, es einen solchen N dass, für jeden gibt,

Hyperechte Definition

Die Definition der Grenze mit den hyperreellen Zahlen formalisiert die Intuition, dass für einen "sehr großen" Wert des Index der entsprechende Begriff an der Grenze "sehr nah" ist. Genauer neigt eine Folge x zu L, wenn für jeden unendlichen hypernatürlichen H der Begriff x ungeheuer L nah ist, d. h. der Unterschied x - L ist unendlich klein. Gleichwertig ist L der Standardteil von x

:.

So kann die Grenze durch die Formel definiert werden

wo die Grenze besteht, wenn, und nur wenn die Rechte der Wahl eines unendlichen H unabhängig ist.

Metrische Räume

Definition

Ein Punkt x des metrischen Raums (X, d) ist die Grenze der Folge (x) wenn, für alle ε> 0 gibt es einen solchen N dass, für jeden,

Eigenschaften

Für jede dauernde Funktion f, wenn dann. Tatsächlich ist eine Funktion f dauernd, wenn, und nur wenn sie die Grenzen von Folgen bewahrt.

Grenzen von Folgen sind einzigartig, wenn sie bestehen, weil verschiedene Punkte durch eine positive Entfernung, so für weniger getrennt werden, dass Hälfte dieser Entfernung, Folge-Begriffe innerhalb einer Entfernung von beiden Punkten nicht sein können.

Topologische Räume

Definition

Ein Punkt x des topologischen Raums (X, &tau) ist die Grenze der Folge (x) wenn, für jede Nachbarschaft U x, es gibt einen solchen N dass, für jeden. Das fällt mit der für metrische Räume gegebenen Definition zusammen, wenn (X, d) ein metrischer Raum ist und die durch d erzeugte Topologie ist.

Die Grenze einer Folge von Punkten in einem topologischen Raum T ist ein spezieller Fall der Grenze einer Funktion: Das Gebiet ist im Raum mit der veranlassten Topologie des erweiterten Systems der reellen Zahl des affinely, die Reihe ist T, und das Funktionsargument n neigt zu + , der in diesem Raum ein Grenze-Punkt dessen ist.

Eigenschaften

Wenn X ein Raum von Hausdorff dann ist, sind Grenzen von Folgen einzigartig, wo sie bestehen. Bemerken Sie, dass das im Allgemeinen nicht der Fall zu sein braucht; insbesondere wenn zwei Punkte x und y topologisch nicht zu unterscheidend sind, muss jede Folge, die zu x zusammenläuft, zu y und umgekehrt zusammenlaufen.

Geschichte

Der griechische Philosoph Zeno von Elea ist berühmt, wegen Paradoxe zu formulieren, die Begrenzungsprozesse einschließen.

Leucippus, Democritus, Antiphon, Eudoxus und Archimedes haben die Methode der Erschöpfung entwickelt, die eine unendliche Folge von Annäherungen verwendet, um ein Gebiet oder ein Volumen zu bestimmen. Archimedes hat geschafft zu summieren, was jetzt eine geometrische Reihe genannt wird.

Newton hat sich mit Reihe in seinen Arbeiten an der Analyse mit der unendlichen Reihe (geschrieben 1669, in Umlauf gesetzt im Manuskript, veröffentlicht 1711), Methode von fluxions und unendlicher Reihe befasst (geschrieben 1671, veröffentlicht in der englischen Übersetzung 1736, lateinisches Original hat viel später veröffentlicht), und Tractatus de Quadratura Curvarum (geschrieben 1693, veröffentlicht 1704 als ein Anhang zu seinem Optiks). In der letzten Arbeit denkt Newton die binomische Vergrößerung von (x+o) der er dann linearizes, indem er Grenzen (das Lassen o0) nimmt.

Im 18. Jahrhundert haben Mathematiker wie Euler geschafft, eine auseinander gehende Reihe zu summieren, indem sie im richtigen Moment angehalten haben; sie haben sich nicht sehr gesorgt, ob eine Grenze bestanden hat, so lange sie berechnet werden konnte. Am Ende des Jahrhunderts hat Lagrange in seinem Théorie des fonctions analytiques (1797) gemeint, dass der Mangel an der Härte weitere Entwicklung in der Rechnung ausgeschlossen hat. Gauss in seiner Etüde der hypergeometrischen Reihe (1813) zum ersten Mal streng untersucht, unter dem eine Reihe bedingt, ist zu einer Grenze zusammengelaufen.

Die moderne Definition einer Grenze (für jeden ε dort besteht ein Index N, so dass...) wurde von Bernhard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prag 1816, wenig bemerkt zurzeit) und von Weierstrass in den 1870er Jahren gegeben.

Siehe auch

• Grenze einer Funktion
• Die Grenze eines Netzes - ein Netz ist eine topologische Generalisation einer Folge
• Weisen der Konvergenz
• Frank Morley und James Harkness Eine Abhandlung auf der Theorie von Funktionen (New York: Macmillan, 1893)

Links

• Beispiele von Folgen
• Eine Geschichte der Rechnung, einschließlich Grenzen