Obwohl die Funktion (Sünde x)/x an der Null nicht definiert wird, weil x näher und näher an der Null wird, (Sünde x)/x wird willkürlich in der Nähe von 1. Mit anderen Worten nähert sich die Grenze (Sünde x)/x als x Null ist 1 gleich.

In der Mathematik ist die Grenze einer Funktion ein grundsätzliches Konzept in der Rechnung und Analyse bezüglich des Verhaltens dieser Funktion in der Nähe von einem besonderen Eingang.

Formelle Definitionen, zuerst ausgedacht am Anfang des 19. Jahrhunderts, werden unten gegeben. Informell teilt eine Funktion f eine Produktion f (x) zu jedem Eingang x zu. Die Funktion hat eine Grenze L an einem Eingang p, wenn f (x) an L "nah" ist, wann auch immer x an p "nah" ist. Mit anderen Worten, f (x) wird näher und näher an L, weil x näher rückt und näher an p. Mehr spezifisch, wenn f auf jeden Eingang genug in der Nähe von p angewandt wird, ist das Ergebnis ein Produktionswert, der willkürlich L nah ist. Wenn die Eingänge "nahe" zu p in Werte gebracht werden, die sehr verschieden sind, wie man sagt, besteht die Grenze nicht.

Der Begriff einer Grenze hat viele Anwendungen in der modernen Rechnung. Insbesondere die vielen Definitionen der Kontinuität verwenden die Grenze: Grob ist eine Funktion dauernd, wenn alle seine Grenzen mit den Werten der Funktion übereinstimmen. Es erscheint auch in der Definition der Ableitung: In der Rechnung einer Variable ist das der Begrenzungswert des Hangs von schneidenden Linien zum Graphen einer Funktion.

Geschichte

Obwohl implizit, in der Entwicklung der Rechnung der 17. und 18. Jahrhunderte geht die moderne Idee von der Grenze einer Funktion zu Bolzano zurück, der 1817 die Grundlagen der Technik des Epsilon-Deltas eingeführt hat, um dauernde Funktionen zu definieren. Jedoch war seine Arbeit während seiner Lebenszeit nicht bekannt. Cauchy hat Grenzen in seinem Cours d'analyse (1821) besprochen und hat im Wesentlichen die moderne Definition gegeben, aber das wird nicht häufig anerkannt, weil er nur eine wörtliche Definition gegeben hat. Weierstrass hat zuerst die Definition des Epsilon-Deltas der Grenze in der Form eingeführt, die es gewöhnlich heute geschrieben wird. Er hat auch die Notationen lim und lim eingeführt.

Die moderne Notation, den Pfeil unter dem Grenze-Symbol zu legen, ist wegen Hardys in seinem Buch Ein Kurs der Reinen Mathematik 1908.

Motivation

Stellen Sie sich eine Person vor, die eine Landschaft spielend gewinnt, die durch den Graphen von y = f (x) vertreten ist. Seine horizontale Position wird durch den Wert von x viel wie die Position gemessen, die durch eine Karte des Landes oder durch ein globales Positionierungssystem gegeben ist. Seine Höhe wird durch die Koordinate y gegeben. Er geht zur horizontalen Position spazieren, die durch x = p gegeben ist. Da er näher und näher daran wird, bemerkt er, dass sich seine Höhe L nähert. Sagen Sie, dass es eine Wand dort gibt, so kann er nicht auf diesem Punkt genau stehen, aber kann noch willkürlich in der Nähe davon kommen. Wenn gefragt, nach der Höhe von x = p würde er dann auf L antworten.

Was, dann, bedeutet es zu sagen, dass sich seine Höhe L nähert? Es bedeutet, dass seine Höhe näher und näher zu L abgesehen von einem möglichen kleinen Fehler in der Genauigkeit wird. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass ein besonderes Genauigkeitsziel für unseren Reisenden gesetzt wird: Er muss innerhalb von zehn Metern von L in der Höhe kommen. Er berichtet zurück, dass tatsächlich er innerhalb von zehn Metern von L kommen kann, da er bemerkt, dass, wenn er überall innerhalb von fünfzig horizontalen Metern von p ist, seine Höhe immer zehn Meter oder weniger von L ist.

Die Genauigkeitsabsicht wird dann geändert: Kann er innerhalb eines vertikalen Meters kommen? Ja. Wenn er irgendwo innerhalb von sieben horizontalen Metern von p ist, dann bleibt seine Höhe immer innerhalb von einem Meter vom Ziel L. In der Zusammenfassung, um zu sagen, dass sich die Höhe des Reisenden L nähert, weil nähert sich seine horizontale Position p bedeutet, dass für jede Zielgenauigkeitsabsicht jedoch klein es sein kann, gibt es eine Nachbarschaft von p, dessen Höhe diese Genauigkeitsabsicht erfüllt.

Die anfängliche informelle Behauptung kann jetzt expliziert werden:

Die:The-Grenze einer Funktion f (x) als x nähert sich p ist eine Nummer L mit dem folgenden Eigentum: In Anbetracht jeder Zielentfernung von L gibt es eine Entfernung von p, innerhalb dessen die Werte von f (x) innerhalb der Zielentfernung bleiben.

Diese ausführliche Behauptung ist ganz der formellen Definition der Grenze einer Funktion mit Werten in einem topologischen Raum nah.

Definitionen

Das zu sagen

:

Mittel, die (x) ƒ so nah gemacht werden können wie gewünscht zu L durch das Bilden x nahe genug, aber nicht gleich zu p.

Die folgenden Definitionen (bekannt als (ε, δ)-Definitionen) sind die allgemein akzeptierten für die Grenze einer Funktion in verschiedenen Zusammenhängen.

Funktionen auf der echten Linie

Nehmen Sie f an: R  wird R auf der echten Linie und p, L  R definiert. Es wird gesagt die Grenze von f als x nähert sich p ist L und schriftlicher

:

wenn das folgende Eigentum hält:

• Für jeden echten ε> 0, dort besteht ein echter δ> 0 solches das für den ganzen echten x, 0

Wechselweise kann sich x p vom obengenannten (Recht) oder unten (linker) nähern, in welchem Fall die Grenzen als geschrieben werden können

:oder:

beziehungsweise. Wenn beide dieser Grenzen L dann gleich sind, kann das die Grenze von f (x) an p genannt werden. Umgekehrt, wenn sie L dann nicht beide gleich sind, besteht die Grenze, als solcher, nicht.

Eine formelle Definition ist wie folgt. Die Grenze von f (x) als x nähert sich p ist von oben L, wenn, für jeden ε> 0, dort ein δ> 0 solches dass |f (x)  L besteht

hat keine Grenze daran.

Funktionen auf metrischen Räumen

Nehmen Sie M an, und N sind Teilmengen von metrischen Räumen A und B, beziehungsweise, und f: M  N wird zwischen M und N, mit x  M, p ein Grenze-Punkt der M und L  N definiert. Es wird gesagt, dass sich die Grenze von f als x nähert, ist p L, und schreiben Sie

:wenn das folgende Eigentum hält:

• Für jeden ε> 0, dort besteht ein δ> 0 solches dass d (f (x), L) (x, p)

wenn, für jede Nachbarschaft V von L in B, dort eine Nachbarschaft U von p in Einem solchem dass f (UM - {p})  V besteht.

Funktionen auf topologischen Räumen

Denken Sie X, Y sind topologische Räume mit Y ein Raum von Hausdorff. Lassen Sie p ein Grenze-Punkt von Ω  X, und L Y sein. Für eine Funktion f: Ω  Y, es wird gesagt, dass sich die Grenze von f als x nähert, ist p L (d. h., f (x) L als xp), und schreiben Sie

:wenn das folgende Eigentum hält:

• Für jede offene Nachbarschaft V von L, dort besteht eine offene Nachbarschaft U von solchem p dass f (U Ω-{p})  V.

Dieser letzte Teil der Definition kann auch ausgedrückt werden "dort besteht eine offene durchstochene Nachbarschaft U von solchem p dass f (U Ω)  V".

Bemerken Sie, dass das Gebiet von f p nicht zu enthalten braucht. Wenn es tut, dann ist der Wert von f an p für die Definition der Grenze irrelevant. Insbesondere wenn das Gebiet von f X - {p} ist (oder alle X), dann besteht die Grenze von f als x  p und ist L gleich, wenn, für alle Teilmengen Ω X mit der Grenze p anspitzen, besteht die Grenze der Beschränkung von f zu Ω und ist L gleich. Manchmal wird dieses Kriterium verwendet, um das Nichtsein der zweiseitigen Grenze einer Funktion auf R durch die Vertretung zu gründen, dass die einseitigen Grenzen entweder scheitern, zu bestehen oder nicht zu tun, stimmen zu. Solch eine Ansicht ist im Feld der allgemeinen Topologie grundsätzlich, wo Grenzen und Kontinuität an einem Punkt in Bezug auf spezielle Familien von Teilmengen, genannt Filter oder verallgemeinerte als Netze bekannte Folgen definiert werden.

Wechselweise, die Voraussetzung, dass Y, ein Raum von Hausdorff sein, zur Annahme entspannt werden kann, dass Y, ein allgemeiner topologischer Raum sein, aber dann kann die Grenze einer Funktion nicht einzigartig sein. Insbesondere man kann über die Grenze einer Funktion an einem Punkt, aber eher eine Grenze oder den Satz von Grenzen an einem Punkt nicht mehr sprechen.

Eine Funktion ist in einem Grenze-Punkt-p und in seinem Gebiet dauernd, wenn und nur f (p) ist (oder, im allgemeinen Fall, a), neigt die Grenze von f (x) als x zu p.

Grenzen, die Unendlichkeit einschließen

Wenn die verlängerte echte Linie, d. h., R  {-, } betrachtet wird, dann ist es möglich, Grenzen einer Funktion an der Unendlichkeit zu definieren.

Wenn f (x) eine echte Funktion ist, dann ist die Grenze von f als x Annäherungsunendlichkeit L, hat angezeigt

:

wenn für alle, dort S> 0 solches dass besteht

:

Ähnlich nähert sich die Grenze von f als x negative Unendlichkeit ist L, hat angezeigt

:

wenn für alle dort S besteht

Zum Beispiel

:

Grenzen können auch unendliche Werte haben, zum Beispiel nähert sich die Grenze von f als x ist Unendlichkeit, hat angezeigt

:

wenn:

• Für alle dort besteht solch dass

wann auch immer

Diese Ideen können auf eine natürliche Weise verbunden werden, Definitionen für verschiedene Kombinationen wie zu erzeugen

:Zum Beispiel:

Grenzen, die Unendlichkeit einschließen, werden mit dem Konzept von Asymptoten verbunden.

Diese Begriffe einer Grenze versuchen, eine metrische Rauminterpretation Grenzen an der Unendlichkeit zur Verfügung zu stellen. Bemerken Sie jedoch, dass diese Begriffe einer Grenze mit der topologischen Raumdefinition der Grenze wenn im Einklang stehend

sind

• eine Nachbarschaft von  wird definiert, um einen Zwischenraum [, c zu enthalten), für einen c  R
• eine Nachbarschaft von  wird definiert, um einen Zwischenraum zu enthalten (c, ] wo c  R
• eine Nachbarschaft von aR wird auf die normale Weise metrischer Raum R definiert

In diesem Fall, ist ein topologischer Raum und jede Funktion der Form f: X  Y mit X Y ist  der topologischen Definition einer Grenze unterworfen. Bemerken Sie, dass mit dieser topologischen Definition es leicht ist, unendliche Grenzen an begrenzten Punkten zu definieren, die oben im metrischen Sinn nicht definiert worden sind.

Alternative Notation

Viele Autoren berücksichtigen die echte projektive als eine Weise zu verwendende Linie, unendliche Werte einzuschließen, sowie haben echte Linie erweitert. Mit dieser Notation wird die verlängerte echte Linie als R  {-, + } gegeben, und die projektive echte Linie ist R  {}, wo eine Nachbarschaft von  eine Reihe die Form {x ist: |x> c\. In dieser Notation, zum Beispiel,

:

Das Auswerten von Grenzen an der Unendlichkeit für vernünftige Funktionen

Es gibt drei Grundregeln, um Grenzen an der Unendlichkeit für eine vernünftige Funktion f (x) = p (x)/q (x) zu bewerten: (Wo p und q Polynome sind):

• Wenn der Grad von p größer ist als der Grad von q, dann ist die Grenze positive oder negative Unendlichkeit abhängig von den Zeichen der Hauptkoeffizienten;
• Wenn der Grad von p und q gleich ist, ist die Grenze der Hauptkoeffizient von durch den Hauptkoeffizienten von q geteiltem p;
• Wenn der Grad von p weniger ist als der Grad von q, ist die Grenze 0.

Wenn die Grenze an der Unendlichkeit besteht, vertritt es eine horizontale Asymptote bei y = L. Polynome haben horizontale Asymptoten nicht; sie können mit vernünftigen Funktionen vorkommen.

Grenze einer Funktion von mehr als einer Variable

Durch die Anmerkung, dass |x-p eine Entfernung vertritt, kann die Definition einer Grenze zu Funktionen von mehr als einer Variable erweitert werden. Im Fall von einer Funktion f: R  R,

:

wenn

:for jeder ε> 0 dort besteht ein δ> 0 solches, dass für alle (x y) mit 0) in X-{p}, der zu p zusammenläuft, die Folge f (x) zu L zusammenläuft.

Wenn L die Grenze (im Sinn oben) von f ist, weil sich x p nähert, dann ist es eine folgende Grenze ebenso, jedoch braucht das gegenteilige nicht im Allgemeinen zu halten. Wenn außerdem Y metrizable ist, dann ist L die folgende Grenze von f, weil sich x p nähert, wenn, und nur wenn es die Grenze (im Sinn oben) f ist, weil sich x p nähert.

Andere Charakterisierungen

Grenze einer Funktion in Bezug auf Folgen

Für Funktionen auf der echten Linie ist eine Weise, die Grenze einer Funktion zu definieren, in Bezug auf die Grenze von Folgen. In dieser Einstellung:

:

wenn, und nur wenn für alle Folgen (mit nicht gleich für den ganzen n), zur Folge zusammenlaufend, dazu zusammenläuft. Es wurde von Sierpiński 1916 gezeigt, dass der Beweis der Gleichwertigkeit dieser Definition und der Definition oben, verlangt und zu einer schwachen Form des Axioms der Wahl gleichwertig ist. Bemerken Sie, dass das Definieren, wozu es für eine Folge bedeutet, zusammenzulaufen, das Epsilon, Delta-Methode verlangt.

Grenze einer Funktion in der Sonderrechnung

In der Sonderrechnung wird die Grenze einer Funktion definiert durch:

:

wenn und nur wenn für alle, unendlich klein ist, wann auch immer unendlich klein ist. Hier sind die hyperreellen Zahlen, und ist die natürliche Erweiterung von f zu den umgangssprachlichen reellen Zahlen. Keisler hat bewiesen, dass solch eine hyperechte Definition der Grenze die quantifier Kompliziertheit um zwei quantifiers reduziert. Andererseits schreibt Hrbacek, dass für die Definitionen, um für alle hyperreellen Zahlen gültig zu sein, sie in der ε-δ Methode implizit niedergelegt werden müssen und behaupten, dass, aus dem pädagogischen Gesichtspunkt, die Hoffnung, dass Sonderrechnung ε-δ Methoden ausgekommen werden konnte, vollständig nicht begriffen werden kann.

Bŀaszczyk u. a. berichten Sie über die Nützlichkeit der Mikrokontinuität im Entwickeln einer durchsichtigen Definition der gleichförmigen Kontinuität ausführlich, und charakterisieren Sie die Kritik von Hrbacek als ein "zweifelhafter Jammer".

Grenze einer Funktion in Bezug auf die Nähe

In 1908 internationaler Kongress der Mathematik hat F. Riesz einen abwechselnden Weg Definieren-Grenzen und Kontinuität im Konzept genannt "Nähe" eingeführt. Ein Punkt wird definiert, um in der Nähe von einem Satz wenn für jeden zu sein, es gibt einen Punkt so dass

:

wenn und nur wenn für alle, nahe ist, wann auch immer nahe ist.

Hier ist der Satz. Diese Definition kann auch zu metrischen und topologischen Räumen erweitert werden.

Beziehung zur Kontinuität

Der Begriff der Grenze einer Funktion ist sehr nah mit dem Konzept der Kontinuität verbunden. Wie man sagt, ist ein Funktions-ƒ an c dauernd, wenn es an c und seinem Wert an c sowohl definiert wird, kommt der Grenze von f gleich, weil sich x c nähert:

:

Wenn die Bedingung 0

\lim\limits_ {x \to p} & (f (x) + g (x)) & = & \lim\limits_ {x \to p} f (x) + \lim\limits_ {x \to p} g (x) \\

\lim\limits_ {x \to p} & (f (x) - g (x)) & = & \lim\limits_ {x \to p} f (x) - \lim\limits_ {x \to p} g (x) \\

\lim\limits_ {x \to p} & (f (x) \cdot g (x)) & = & \lim\limits_ {x \to p} f (x) \cdot \lim\limits_ {x \to p} g (x) \\

\lim\limits_ {x \to p} & (f (x)/g (x)) & = & {\\lim\limits_ {x \to p} f (x) / \lim\limits_ {x \to p} g (x) }\

\end {Matrix} </Mathematik>

In jedem Fall oben, wenn die Grenzen rechts, oder im letzten Fall nicht bestehen, wenn die Grenzen sowohl im Zähler als auch im Nenner Null dennoch sind, kann die Grenze links, genannt eine unbestimmte Form, noch bestehen — das hängt von den Funktionen f und g ab. Diese Regeln sind auch für einseitige Grenzen, für den Fall p = ± , und auch für unendliche Grenzen mit den Regeln gültig

• q +  =  für q  
• q ×  =  wenn q> 0
• q ×  =  wenn q, und,

ist

nicht wahr. Jedoch hält diese "Kettenregel" wirklich, ob, außerdem, irgendein f (d) = e (d. h. f ist an d dauernd), oder g den Wert d nahe c nicht nimmt (d. h. dort ein solcher dass wenn besteht

Grenzen vom speziellen Interesse

Die erste Grenze kann mit dem Druck-Lehrsatz bewiesen werden. Für 0

Das Teilen von allem durch die Sünde (x) Erträge

:::::

Die Regierung von L'Hôpital

Diese Regel verwendet Ableitungen und hat einen bedingten Gebrauch. (Es kann nur auf Grenzen dass "gleicher" 0/0 oder ± /±  direkt verwendet werden.

Andere unbestimmte Formen verlangen eine algebraische Manipulation, die gewöhnlich mit dem Festlegen der y gleichen Grenze verbunden ist, den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten nehmend, und dann die Regierung von l'Hôpital anwendend.)

Zum Beispiel:

\lim_ {x \to 0} \frac {2 \cos (2x)} {3 \cos (3x)} =

\frac {2 \sdot 1} {3 \sdot 1} =

\frac {2} {3}. </Mathematik>

Summierungen und Integrale

Eine kurze Weise, die Grenze zu schreiben

ist.

Eine kurze Weise, die Grenze zu schreibenist.Eine kurze Weise, die Grenze zu schreibenist.

Siehe auch

• Liste von Grenzen
• Einseitige Grenze
• Grenze einer Folge
• Netz (Topologie)
• Große O Notation
• Beschränken Sie höher und beschränken Sie untergeordneten
• die Regierung von l'Hôpital
• Drücken Sie Lehrsatz
• Sonderrechnung
• Geschichte von MacTutor von Weierstrass.
• Geschichte von MacTutor von Bolzano
• Sehrechnung durch Lawrence S. Husch, Universität Tennessees (2001)
• Apostol, Tom M., Mathematische Analyse, 2. Hrsg. Addison-Wesley, 1974. Internationale Standardbuchnummer 0-201-00288-4.

.

• . Auch aviable hier:

http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf ..

• Sutherland, W. A., Einführung in Metrische und Topologische Räume. Presse der Universität Oxford, Oxford, 1975. Internationale Standardbuchnummer 0-19-853161-3.

Links