In der Mathematik, allgemeinen Topologie oder Topologie der Punkt-gesetzten ist der Zweig der Topologie, die Eigenschaften von topologischen Räumen und auf ihnen definierten Strukturen studiert. Es ist von anderen Zweigen der Topologie darin verschieden die topologischen Räume können sehr allgemein sein, und müssen überhaupt Sammelleitungen nicht ähnlich sein. Allgemeine Topologie stellt das allgemeinste Fachwerk zur Verfügung, wo grundsätzliche Konzepte der Topologie, die Sätze, Kontinuität, Interieur/Äußeres/Grenze Punkte/schließen öffnen, und beschränken Punkte konnte definiert werden.

Definition

Eine Topologie ist ein Paar (X, Σ), aus einem Satz X und einer Sammlung Σ von Teilmengen X, genannt offene Sätze bestehend, die folgenden drei Axiome befriedigend:

1. Die Vereinigung von offenen Sätzen ist ein offener Satz.
2. Die begrenzte Kreuzung von offenen Sätzen ist ein offener Satz.
3. X und der leere Satz sind  offene Sätze.

Geschichte

Allgemeine Topologie ist aus mehreren Gebieten, am wichtigsten der folgende gewachsen:

• die ausführliche Studie von Teilmengen der echten Linie (einmal bekannt als die Topologie von Punkt-Sätzen, dieser Gebrauch ist jetzt veraltet)
• die Einführung des mannigfaltigen Konzepts
• die Studie von metrischen Räumen, besonders normed geradlinige Räume, in den frühen Tagen der Funktionsanalyse.

Allgemeine Topologie hat seine gegenwärtige Form 1940 angenommen. Es gewinnt, man, könnte fast alles in der Intuition der Kontinuität in einer technisch entsprechenden Form sagen, die in jedem Gebiet der Mathematik angewandt werden kann.

Spielraum

Mehr spezifisch ist es in der allgemeinen Topologie, dass grundlegende Begriffe definiert werden und sich Lehrsätze über sie erwiesen haben. Das schließt den folgenden ein:

• öffnen Sie sich und geschlossene Sätze;
• Interieur und Verschluss;
• Nachbarschaft und Nähe;
• Kompaktheit und Zusammenhang;
• dauernde Funktionen;
• Konvergenz von Folgen, Netzen und Filtern;
• Trennungsaxiome
• Countability-Axiom.

Andere fortgeschrittenere Begriffe erscheinen auch, aber sind gewöhnlich direkt mit diesen grundsätzlichen Konzepten ohne Berücksichtigung anderer Zweige der Mathematik verbunden. Mit dem Satz theoretische Topologie untersucht solche Fragen, wenn sie wesentliche Beziehungen zur Mengenlehre haben, wie häufig der Fall ist.

Andere Hauptzweige der Topologie sind algebraische Topologie, geometrische Topologie und Differenzialtopologie. Da der Name einbezieht, stellt allgemeine Topologie das allgemeine Fundament für diese Gebiete zur Verfügung.

Eine wichtige Variante der allgemeinen Topologie ist sinnlose Topologie, die, anstatt Sätze von Punkten als sein Fundament zu verwenden, topologische Konzepte durch die Studie von Gittern, und, insbesondere die mit der Kategorie theoretische Studie von Rahmen und Schauplätzen aufbaut.

Siehe auch

• Liste von Beispielen in der allgemeinen Topologie
• Wörterverzeichnis der allgemeinen Topologie für ausführliche Definitionen
• Liste von allgemeinen Topologie-Themen für zusammenhängende Artikel
• Kategorie von topologischen Räumen

Einige Standardbücher auf der allgemeinen Topologie schließen ein:

• Bourbaki; ; internationale Standardbuchnummer 0 387 19374 X
• John L. Kelley;; internationale Standardbuchnummer 0-387-90125-6
• James Munkres;; internationale Standardbuchnummer 0-13-181629-2
• Paul L. Shick;; internationale Standardbuchnummer 0-470-09605-5
• Ryszard Engelking;; internationale Standardbuchnummer 3-88538-006-4
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov und N.Yu. Netsvetaev;; internationale Standardbuchnummer 978-0-8218-4506-6

Der ArXiv-Thema-Code ist Mathematik. GN.