In der Mathematik ist E der Name von einigen nah verbunden Liegen Gruppen, geradlinige algebraische Gruppen oder ihre Lüge-Algebra, von denen alle Dimension 78 haben; dieselbe Notation E wird für das entsprechende Wurzelgitter verwendet, das Reihe 6 hat. Die Benennung E kommt aus der Cartan-Tötungsklassifikation der komplizierten einfachen Lüge-Algebra, die in etikettierten A der vier unendlichen Reihen, B, C, D fallen, und fünf Ausnahmefälle E, E, E, F, und G etikettiert haben. Die E Algebra ist so einer der fünf Ausnahmefälle.

Die grundsätzliche Gruppe der komplizierten Form, echten Kompaktform oder jeder algebraischen Version von E ist die zyklische Gruppe Z/3Z, und seine automorphism Außengruppe ist die zyklische Gruppe Z/2Z. Seine grundsätzliche Darstellung ist (Komplex) 27-dimensional, und eine Basis wird durch die 27 Linien auf einer Kubikoberfläche gegeben. Die Doppeldarstellung, die inequivalent ist, ist auch 27-dimensional.

In der Partikel-Physik spielt E eine Rolle in einigen großartigen vereinigten Theorien.

Echte und komplizierte Formen

Es gibt eine einzigartige komplizierte Lüge-Algebra des Typs E, entsprechend einer komplizierten Gruppe der komplizierten Dimension 78. Der Komplex adjoint Liegt Gruppe E der komplizierten Dimension 78 kann als eine einfache echte Lüge-Gruppe der echten Dimension 156 betrachtet werden. Das hat grundsätzliche Gruppe Z/3Z, hat maximale Kompaktuntergruppe die Kompaktform (sieh unten) E, und hat eine automorphism Außengruppe, die des Auftrags 4 nichtzyklisch ist, der durch die komplizierte Konjugation und durch den Außenautomorphism erzeugt ist, der bereits als ein Komplex automorphism besteht.

Sowie die komplizierte Lüge-Gruppe des Typs E, es gibt fünf echte Formen der Lüge-Algebra, und entsprechend fünf echte Formen der Gruppe mit dem trivialen Zentrum (von denen alle einen algebraischen doppelten Deckel haben, und von denen drei weitere nichtalgebraische Deckel haben, weiter echte Formen gebend), die ganze echte Dimension 78, wie folgt:

• Die Kompaktform (der gewöhnlich derjenige ist, hat bedeutet, ob keine andere Information gegeben wird), der grundsätzliche Gruppe Z/3Z und automorphism Außengruppe Z/2Z hat.
• Die Spalt-Form, EI (oder E), der maximale Kompaktuntergruppe Sp (4) / (±1), grundsätzliche Gruppe des Auftrags 2 und automorphism Außengruppe des Auftrags 2 hat.
• Der Quasispalt-Form-EII (oder E), der maximale Kompaktuntergruppe SU (2) × SU (6) / (Zentrum), grundsätzliche Gruppe hat, die des Auftrags 6 und der automorphism Außengruppe des Auftrags 2 zyklisch ist.
• EIII (oder E), der maximale Kompaktuntergruppe SO (2) ×-Drehung (10) / (Zentrum), grundsätzliche Gruppe Z und triviale automorphism Außengruppe hat.
• EIV (oder E), der maximale Kompaktuntergruppe F, triviale grundsätzliche Gruppe zyklische und automorphism Außengruppe des Auftrags 2 hat.

Die EIV-Form von E ist die Gruppe von collineations (linienbewahrende Transformationen) vom octonionic projektiven Flugzeug OP. Es ist auch die Gruppe von Determinante bewahrenden geradlinigen Transformationen der außergewöhnlichen Algebra von Jordan. Die außergewöhnliche Algebra von Jordan ist 27-dimensional, der erklärt, warum die echte Kompaktform von E eine 27-dimensionale komplizierte Darstellung hat. Die echte Kompaktform von E ist die Isometrie-Gruppe einer 32-dimensionalen Sammelleitung von Riemannian bekannt als 'bioctonionic projektives Flugzeug'.

E als eine algebraische Gruppe

Mittels einer Basis von Chevalley für die Lüge-Algebra kann man E als eine geradlinige algebraische Gruppe über die ganzen Zahlen und folglich über jeden Ersatzring und insbesondere über jedes Feld definieren: Das definiert den so genannten Spalt (manchmal auch bekannt als "aufgedreht") adjoint Form von E. Über ein algebraisch geschlossenes Feld sind das und sein dreifacher Deckel die einzigen Formen; jedoch, über andere Felder, gibt es häufig viele andere Formen oder "Drehungen" von E, die im allgemeinen Fachwerk von Galois cohomology (über ein vollkommenes Feld k) durch den Satz H klassifiziert werden (k, Aut (E)), der, weil das Diagramm von Dynkin von E (sieh unten) automorphism Gruppe Z/2Z, Karten zu H (k, Z/2Z) = Hom (Mädchen (k), Z/2Z) mit dem Kern H (k, E) hat.

Über das Feld von reellen Zahlen fällt der echte Bestandteil der Identität dieser algebraisch gedrehten Formen von E mit den drei echten Lüge-Gruppen zusammen, die oben, aber mit einer Subtilität bezüglich der grundsätzlichen Gruppe erwähnt sind: Alle Adjoint-Formen von E haben grundsätzliche Gruppe Z/3Z im Sinne der algebraischen Geometrie, mit der Handlung von Galois als auf den dritten Wurzeln der Einheit; das bedeutet, dass sie genau einen dreifachen Deckel zulassen (der auf den echten Punkten trivial sein kann); die weiteren echten Nichtkompaktlüge-Gruppenformen von E sind deshalb nicht algebraisch und lassen keine treuen endlich-dimensionalen Darstellungen zu. Die echte Kompaktform von E sowie die Nichtkompaktformen, wie man sagt, sind EI=E und EIV=E inner oder des Typs E, der bedeutet, dass ihre Klasse in H (k, E) liegt, oder dass komplizierte Konjugation den trivialen automorphism auf dem Diagramm von Dynkin veranlasst, wohingegen, wie man sagt, die anderen zwei echten Formen Außen-sind oder des Typs E.

Über begrenzte Felder deutet der Lehrsatz von Lang-Steinberg an, dass H (k, E) =0, bedeutend, dass E genau eine gedrehte Form, bekannt als E hat: Sieh unten.

Algebra

Diagramm von Dynkin

Durch das Dynkin Diagramm für E wird gegeben, oder manchmal wie das eingestellt.

Wurzeln von E

Obwohl sie einen sechsdimensionalen Raum abmessen, ist es viel mehr symmetrisch, um sie als Vektoren in einem sechsdimensionalen Subraum eines neundimensionalen Raums zu betrachten.

: (1,−1,0;0,0,0;0,0,0), (−1,1,0;0,0,0;0,0,0),

:(−1,0,1;0,0,0;0,0,0), (1,0,−1;0,0,0;0,0,0),

: (0,1,−1;0,0,0;0,0,0), (0,−1,1;0,0,0;0,0,0),

: (0,0,0;1,−1,0;0,0,0), (0,0,0;−1,1,0;0,0,0),

: (0,0,0;−1,0,1;0,0,0), (0,0,0;1,0,−1;0,0,0),

: (0,0,0;0,1,−1;0,0,0), (0,0,0;0,−1,1;0,0,0),

: (0,0,0;0,0,0;1,−1,0), (0,0,0;0,0,0;−1,1,0),

: (0,0,0;0,0,0;−1,0,1), (0,0,0;0,0,0;1,0,−1),

: (0,0,0;0,0,0;0,1,−1), (0,0,0;0,0,0;0,−1,1),

Alle 27 Kombinationen dessen, wo einer von ist

Alle 27 Kombinationen dessen, wo einer von ist

Einfache Wurzeln

: (0,0,0;0,0,0;0,1,−1)

: (0,0,0;0,0,0;1,−1,0)

: (0,0,0;0,1,−1;0,0,0)

: (0,0,0;1,−1,0;0,0,0)

: (0,1,−1;0,0,0;0,0,0)

:

Eine alternative Beschreibung

Eine alternative (6-dimensionale) Beschreibung des Wurzelsystems, das im Betrachten E × SU (3) als eine Untergruppe von E nützlich ist, ist der folgende:

Alle Versetzungen von

: die Null beim letzten Zugang, bewahrend

und alle folgenden Wurzeln mit einer ungeraden Zahl von Pluszeichen

:

So umfassen die 78 Generatoren von den folgenden Subalgebra:

: Ein 45-dimensionaler SO (10) Subalgebra, einschließlich der obengenannten Generatoren plus die fünf Generatoren von Cartan entsprechend den ersten fünf Einträgen.

: Zwei 16-dimensionale Subalgebra, die sich als Weyl spinor und sein verbundener Komplex verwandeln. Diese haben eine Nichtnull letzter Zugang.

: 1 Generator, der ihr chirality Generator ist, und der sechste Generator von Cartan ist.

Eine Wahl von einfachen Wurzeln für E, Index als, wird durch die Reihen der folgenden Matrix gegeben:

:

-1&1&0&0&0&0 \\

0&-1&1&0&0&0 \\

0&0&-1&1&0&0 \\

0&0&0&-1&1&0 \\

0&0&0&0&1&1 \\

\frac {1} {2} &-\frac {1} {2} &-\frac {1} {2} &-\frac {1} {2} &-\frac {1} {2} &-\frac {\\sqrt {3}} {2 }\\\

\end {smallmatrix }\\Recht] </Mathematik>

wir haben ihnen bestellt, so dass ihre entsprechenden Knoten im Diagramm von Dynkin vom linken bis Recht (im Diagramm bestellt werden, das oben gezeichnet ist) mit dem letzten Seitenknoten.

Gruppe von Weyl

Die Weyl Gruppe von E ist vom Auftrag 51840: Es ist die automorphism Gruppe der einzigartigen einfachen Gruppe des Auftrags 25920 (der als einige beschrieben werden kann: PSU (2), PSΩ (2), PSp (3) oder PSΩ (3)).

Matrix von Cartan

:

2&-1&0&0&0&0 \\

-1&2&-1&0&0&0 \\

0&-1&2&-1&0&-1 \\

0&0&-1&2&-1&0 \\

0&0&0&-1&2&0 \\

0&0&-1&0&0&2

\end {smallmatrix }\\Recht] </Mathematik>

Wichtige Subalgebra und Darstellungen

Die Lüge-Algebra E hat eine F Subalgebra, die die feste Subalgebra eines Außenautomorphism und ein SU (3) × SU (3) × SU (3) Subalgebra ist. Andere maximale Subalgebra, die eine Wichtigkeit in der Physik (sieh unten) haben und vom Diagramm von Dynkin gelesen werden können, sind die Algebra SO (10) × U (1) und SU (6) × SU (2).

Zusätzlich zur 78-dimensionalen adjoint Darstellung gibt es zwei 27-dimensionale Doppel-"Vektor"-Darstellungen.

Die Charaktere von begrenzten dimensionalen Darstellungen der echten und komplizierten Lüge-Algebra und Liegen Gruppen wird alles durch die Charakter-Formel von Weyl gegeben. Die Dimensionen der kleinsten nicht zu vereinfachenden Darstellungen sind:

: 27 (zweimal), 351 (viermal), 1728 (zweimal), 7371 (zweimal), 7722 (zweimal), 17550 (zweimal), 19305 (viermal), 34398 (zweimal), 46332 (zweimal), 51975 (zweimal), 54054 (zweimal), 61425 (zweimal), 100386 (zweimal), 112320 (zweimal), 314496 (zweimal), 359424 (viermal), 386100 (zweimal), 393822 (zweimal), 412776 (zweimal),

&hellip;

Die unterstrichenen Begriffe in der Folge sind oben die Dimensionen jener nicht zu vereinfachenden durch die Adjoint-Form von E besessenen Darstellungen (gleichwertig, diejenigen, deren Gewichte dem Wurzelgitter von E gehören), wohingegen die volle Folge die Dimensionen der nicht zu vereinfachenden Darstellungen der einfach verbundenen Form von E gibt.

Die Symmetrie des Diagramms von Dynkin von E erklärt, warum viele Dimensionen zweimal, die entsprechenden Darstellungen vorkommen, die durch den nichttrivialen Außenautomorphism verbunden sind; jedoch gibt es manchmal noch mehr Darstellungen als das, wie vier der Dimension 351, von denen zwei grundsätzlich sind, und von denen zwei nicht sind.

Die grundsätzlichen Darstellungen haben Dimensionen 27, 351, 2925, 351, 27 und 78 (entsprechend den sieben Knoten im Diagramm von Dynkin in der Ordnung, die für die Matrix von Cartan oben gewählt ist, d. h. die Knoten werden in der Fünf-Knoten-Kette zuerst mit dem letzten Knoten gelesen, der mit dem mittleren wird verbindet).

E6 polytope

Der E polytope ist der konvexe Rumpf der Wurzeln von E. Es besteht deshalb in 6 Dimensionen; seine Symmetrie-Gruppe enthält die Gruppe von Coxeter für E als eine Untergruppe des Index 2.

Chevalley und Gruppen von Steinberg des Typs E und E

Die Gruppen des Typs E über willkürliche Felder (in besonderen begrenzten Feldern) wurden dadurch vorgestellt.

Die Punkte über ein begrenztes Feld mit q Elementen (Spalt) algebraische Gruppe E (sieh oben), ob des adjoint (centerless) oder der einfach verbundenen Form (sein algebraischer universaler Deckel), geben eine begrenzte Gruppe von Chevalley. Das wird mit der Gruppe schriftlicher E (q) nah verbunden, jedoch gibt es Zweideutigkeit in dieser Notation, die für mehrere Dinge eintreten kann:

• die begrenzte Gruppe, die aus den Punkten über F der einfach verbundenen Form von E (für die Klarheit besteht, das kann E (q) oder seltener geschrieben werden und ist als die "universale" Gruppe von Chevalley des Typs E über F), bekannt
• (selten) die begrenzte Gruppe, die aus den Punkten über F der Adjoint-Form von E (für die Klarheit besteht, das kann E (q) geschrieben werden, und ist als die "adjoint" Gruppe von Chevalley des Typs E über F) oder bekannt
• die begrenzte Gruppe, die das Image der natürlichen Karte vom ersteren bis die Letzteren ist: Das ist, was durch E (q) im folgenden angezeigt wird, wie in Texten am üblichsten ist, die sich mit begrenzten Gruppen befassen.

Von der begrenzten Gruppenperspektive kann die Beziehung zwischen diesen drei Gruppen, die dem zwischen SL (n, q), PGL (n, q) und PSL (n, q) ziemlich analog ist, wie folgt zusammengefasst werden: E ist (q) für jeden q einfach, E ist (q) sein Deckel von Schur, und E (q) liegt in seiner automorphism Gruppe; außerdem, wenn q1 durch 3 nicht teilbar ist, fallen alle drei, und sonst zusammen (wenn q zu 1 mod 3 kongruent ist), ist der Vermehrer von Schur von E (q) 3, und E ist (q) des Index 3 in E (q), der erklärt, warum E (q) und E (q) häufig als 3 geschrieben werden · E (q) und E (q) · 3. Von der algebraischen Gruppenperspektive ist es für E (q) weniger üblich, sich auf die begrenzte einfache Gruppe zu beziehen, weil der Letztere nicht auf eine natürliche Weise der Satz von Punkten einer algebraischen Gruppe über F verschieden von E (q) und E (q) ist.

Außer diesem "Spalt" (oder "aufgedreht") Form von E gibt es auch eine andere Form von E über das begrenzte Feld F, bekannt als E, der durch die Drehung durch den nichttrivialen automorphism des Diagramms von Dynkin von E erhalten wird. Konkret, E (q), der als eine Gruppe von Steinberg bekannt ist, kann als die Untergruppe von E (q) befestigt durch die Zusammensetzung des nichttrivialen Diagramms automorphism und des nichttrivialen Feldes automorphism F gesehen werden. Drehung ändert die Tatsache nicht, dass die algebraische grundsätzliche Gruppe von E Z/3Z ist, aber es ändert wirklich jene q, für die die Bedeckung von E durch E auf den F-Punkten nichttrivial ist. Genau: E ist (q) eine Bedeckung von E (q), und E (q) liegt in seiner automorphism Gruppe; wenn q+1 durch 3 nicht teilbar ist, fallen alle drei, und sonst zusammen (wenn q zu 2 mod 3 kongruent ist), ist der Grad von E (q) über E (q) 3, und E ist (q) des Index 3 in E (q), der erklärt, warum E (q) und E (q) häufig als 3 geschrieben werden · E (q) und E (q) · 3.

Zwei Notational-Themen sollten bezüglich der Gruppen E (q) aufgebracht werden. Man ist das das wird manchmal E (q), eine Notation geschrieben, die im Vorteil des Umstellens leichter zu den Gruppen von Suzuki und Ree, aber dem Nachteil des Abweichens aus der Notation für die F-Punkte einer algebraischen Gruppe ist. Ein anderer ist das, wohingegen E (q) und E (q) die F-Punkte einer algebraischen Gruppe sind, hängt die fragliche Gruppe auch von q ab (z.B, die Punkte über F derselben Gruppe sind der aufgedrehte E (q) und E (q)).

Die Gruppen E (q) und E (q) sind für jeden q einfach, und setzen zwei der unendlichen Familien in der Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen ein. Ihre Ordnung wird durch die folgende Formel gegeben:

::

. Die Ordnung von E (q) oder E (q) (sind beide gleich), kann durch das Entfernen des sich teilenden Faktors gcd (3, q1) von der ersten Formel und der Ordnung von E (q) oder E (q) erhalten werden (beide sind gleich) kann durch das Entfernen des sich teilenden Faktors gcd (3, q+1) vom zweiten erhalten werden.

Der Schur Vermehrer von E (q) ist immer gcd (3, q1) (d. h., E ist (q) sein Deckel von Schur). Der Schur Vermehrer von E (q) ist gcd (3, q+1) (d. h., E ist (q) sein Deckel von Schur) außerhalb des Ausnahmefalls q=2, wo es 2 ist · 3 (d. h. gibt es einen zusätzlichen 2-fachen Deckel). Die automorphism Außengruppe von E (q) ist das Produkt der Diagonale automorphism Gruppe Z/gcd (3, q1) Z (gegeben durch die Handlung von E (q)), die Gruppe Z/2Z des Diagramms automorphisms und die Gruppe des Feldes automorphisms (d. h., zyklisch des Auftrags f, wenn q=p, wo p erst ist). Die automorphism Außengruppe von E (q) ist das Produkt der Diagonale automorphism Gruppe Z/gcd (3, q+1) Z (gegeben durch die Handlung von E (q)) und die Gruppe des Feldes automorphisms (d. h., zyklisch des Auftrags f, wenn q=p, wo p erst ist).

Wichtigkeit in der Physik

Der N=8 Superernst in fünf Dimensionen, der die dimensionale Verminderung von 11 dimensionalem Superernst ist, lässt einen E bosonic globale Symmetrie und Sp zu (8) bosonic lokale Symmetrie. Die fermions sind in Darstellungen von Sp (8) die Maß-Felder sind in einer Darstellung von E, und die Skalare sind in einer Darstellung von beiden (Gravitons sind Unterhemden in Bezug auf beide). Physische Staaten sind in Darstellungen des coset E/Sp (8).

In großartigen Vereinigungstheorien erscheint E als eine mögliche Maß-Gruppe, die, nach seinem Brechen, den SU (3) × SU (2) × U (1) Maß-Gruppe des Standardmodells verursacht (sieh auch Wichtigkeit in der Physik von E8). Eine Weise, das zu erreichen, ist durch das Brechen zu SO (10) × U (1). Der adjoint 78 Darstellungsbrechungen, wie erklärt, oben, in einen adjoint 45, spinor 16 und sowie ein Unterhemd SO (10) Subalgebra. Einschließlich des U (1) Anklage haben wir

:

Wo die Subschrift den U (1) Anklage anzeigt.

Siehe auch

• En (Liegen Algebra)
• ADE Klassifikation
• Magie-Quadrat von Freudenthal
• . Online-HTML-Version an

http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node17.html.

• . Online gescannte Version an

http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?7904075.