In der Mathematik ist eine Gruppe von Coxeter, genannt nach H.S.M. Coxeter, eine abstrakte Gruppe, die eine formelle Beschreibung in Bezug auf den Spiegel symmetries zulässt. Tatsächlich sind die begrenzten Gruppen von Coxeter genau die begrenzten Euklidischen Nachdenken-Gruppen; die Symmetrie-Gruppen von regelmäßigen Polyedern sind ein Beispiel. Jedoch sind nicht alle Gruppen von Coxeter begrenzt, und nicht alle kann in Bezug auf symmetries und Euklidisches Nachdenken beschrieben werden. Gruppen von Coxeter wurden als Abstraktionen von Nachdenken-Gruppen vorgestellt, und begrenzte Gruppen von Coxeter wurden darin klassifiziert.

Gruppen von Coxeter finden Anwendungen in vielen Gebieten der Mathematik. Beispiele von begrenzten Gruppen von Coxeter schließen die Symmetrie-Gruppen von regelmäßigem polytopes und die Gruppen von Weyl von einfachen Lüge-Algebra ein. Beispiele von unendlichen Gruppen von Coxeter schließen die Dreieck-Gruppen entsprechend regelmäßigem tessellations des Euklidischen Flugzeugs und des Hyperbelflugzeugs, und die Gruppen von Weyl von unendlich-dimensionalen Kac-launischen Algebra ein.

Normative Verweise schließen ein und.

Definition

Formell kann eine Gruppe von Coxeter als eine Gruppe mit der Präsentation definiert werden

:

wo und dafür.

Die Bedingung bedeutet, dass keine Beziehung der Form auferlegt werden sollte.

Das Paar (W, S), wo W eine Gruppe von Coxeter mit Generatoren S = {r..., r} ist, wird System von Coxeter genannt. Bemerken Sie, dass in General S durch W nicht einzigartig bestimmt wird. Zum Beispiel sind die Gruppen von Coxeter des Typs BC und AxA isomorph, aber die Systeme von Coxeter sind nicht gleichwertig (sieh unten für eine Erklärung dieser Notation).

Mehrere Schlüsse können sofort aus der obengenannten Definition gezogen werden.

• Die Beziehung M = 1 Mittel dass (rr) = (r) = 1 für alles ich; die Generatoren sind Involutionen.
• Wenn M = 2, dann pendeln die Generatoren r und r. Das folgt durch das Beobachten davon

:: xx = yy = 1,

: zusammen mit

:: xyxy = 1

: bezieht das ein

:: xy = x (xyxy) y = (xx) yx (yy) = yx.

:Alternatively, da die Generatoren Involutionen sind, so, und ist so dem Umschalter gleich.

• Um Überfülle unter den Beziehungen zu vermeiden, ist es notwendig, diese M = M anzunehmen. Das folgt durch das Beobachten davon

:: yy = 1,

: zusammen mit

:: (xy) = 1

: bezieht das ein

:: (yx) = (yx) yy = y (xy) y = yy = 1.

:Alternatively, und sind verbundene Elemente als.

Matrix von Coxeter

Die Coxeter Matrix ist n×n, symmetrische Matrix mit Einträgen M. Tatsächlich, jede symmetrische Matrix mit der positiven ganzen Zahl und den  Einträgen und mit 1's auf der solcher Diagonale, dass alle nichtdiagonalen Einträge größer sind als 1 Aufschläge, eine Gruppe von Coxeter zu definieren.

Die Coxeter Matrix kann durch ein Diagramm von Coxeter laut der folgenden Regeln günstig verschlüsselt werden.

• Die Scheitelpunkte des Graphen werden durch Generator-Subschriften etikettiert.
• Scheitelpunkte i und j werden wenn und nur wenn M  3 verbunden.
• Ein Rand wird mit dem Wert der M etikettiert, wann auch immer es 4 oder größer ist.

Insbesondere zwei Generatoren pendeln, wenn, und nur wenn sie durch einen Rand nicht verbunden werden.

Außerdem, wenn ein Graph von Coxeter zwei oder mehr verbundene Bestandteile hat, ist die verbundene Gruppe das direkte Produkt der zu den individuellen Bestandteilen vereinigten Gruppen.

So gibt die zusammenhanglose Vereinigung von Graphen von Coxeter ein direktes Produkt von Gruppen von Coxeter nach.

Die Coxeter Matrix, M, ist mit der Matrix von Cartan, C verbunden, aber die Elemente werden modifiziert, zum Punktprodukt der pairwise Generatoren proportional seiend: Cartan C =-2cos (π/M). Die Cartan Matrix ist nützlich, weil seine Determinante bestimmt, ob die Gruppe von Coxeter begrenzt (positiv), affine (Null) oder Hyperbel(Verneinung) ist.

Ein Beispiel

Der Graph, in den Scheitelpunkte 1 durch n hintereinander mit jedem Scheitelpunkt gelegt werden, der durch einen unetikettierten Rand mit seinen unmittelbaren Nachbarn verbunden ist, verursacht die symmetrische Gruppe S; die Generatoren entsprechen den Umstellungen (1 2), (2 3)... (n n+1). Zwei Nichtkonsekutivumstellungen pendeln immer, während (k k+1) (k+1 k+2) den 3-Zyklen-(k k+2 k+1) gibt. Natürlich zeigt das nur, dass S eine Quotient-Gruppe der durch den Graphen beschriebenen Gruppe von Coxeter ist, aber es ist nicht zu schwierig zu überprüfen, dass Gleichheit hält.

Verbindung mit Nachdenken-Gruppen

Gruppen von Coxeter werden mit Nachdenken-Gruppen tief verbunden. Einfach gestellt sind Gruppen von Coxeter abstrakte Gruppen (gegeben über eine Präsentation), während Nachdenken-Gruppen konkrete Gruppen (gegeben als Untergruppen von geradlinigen Gruppen oder verschiedenen Generalisationen) sind. Gruppen von Coxeter sind aus der Studie von Nachdenken-Gruppen gewachsen — sie sind eine Abstraktion: Eine Nachdenken-Gruppe ist eine Untergruppe einer geradlinigen Gruppe, die durch das Nachdenken erzeugt ist (die Auftrag 2 haben), während eine Gruppe von Coxeter eine abstrakte Gruppe ist, die durch Involutionen (Elemente des Auftrags 2 erzeugt ist, vom Nachdenken abstrahierend), und dessen Beziehungen eine bestimmte Form (entsprechend Hyperflugzeugen haben, die sich in einem Winkel treffen, damit des Entziehens des Auftrags k von einer Folge durch zu sein).

Die abstrakte Gruppe einer Nachdenken-Gruppe ist eine Gruppe von Coxeter, während umgekehrt eine Nachdenken-Gruppe als eine geradlinige Darstellung einer Gruppe von Coxeter gesehen werden kann. Für begrenzte Nachdenken-Gruppen gibt das eine genaue Ähnlichkeit nach: Jede begrenzte Gruppe von Coxeter lässt eine treue Darstellung als eine begrenzte Nachdenken-Gruppe von einem Euklidischen Raum zu. Für unendliche Gruppen von Coxeter, jedoch, kann eine Gruppe von Coxeter keine Darstellung als eine Nachdenken-Gruppe zulassen.

Historisch, bewiesen, dass jede Nachdenken-Gruppe eine Gruppe von Coxeter ist (d. h., hat eine Präsentation, wo alle Beziehungen von der Form oder sind), und tatsächlich dieses Papier den Begriff einer Gruppe von Coxeter, während bewiesen, eingeführt hat, dass jede begrenzte Gruppe von Coxeter eine Darstellung als eine Nachdenken-Gruppe hatte, und begrenzte Gruppen von Coxeter klassifiziert hat.

Begrenzte Coxeter Gruppen

Klassifikation

Die begrenzten Gruppen von Coxeter wurden in in Bezug auf Coxeter-Dynkin Diagramme klassifiziert; sie werden alle von Nachdenken-Gruppen von endlich-dimensionalen Euklidischen Räumen vertreten.

Die begrenzten Gruppen von Coxeter bestehen aus drei Ein-Parameter-Familien der zunehmenden Reihe eine Ein-Parameter-Familie der Dimension zwei, und sechs außergewöhnliche Gruppen: und

Gruppen von Weyl

Viele, aber nicht alle von diesen, sind Gruppen von Weyl, und jede Gruppe von Weyl kann als eine Gruppe von Coxeter begriffen werden. Die Weyl Gruppen sind die Familien und und die Ausnahmen und angezeigt in der Gruppennotation von Weyl, wie Die non-Weyl Gruppen die Ausnahmen und und die Familie außer sind, wo das mit einer der Gruppen von Weyl (nämlich und) zusammenfällt.

Das kann durch das Vergleichen der Beschränkungen (ungeleiteter) Diagramme von Dynkin mit den Beschränkungen von Diagrammen von Coxeter von begrenzten Gruppen bewiesen werden: Formell kann der Graph von Coxeter beim Diagramm von Dynkin durch die Verschrottung der Richtung der Ränder erhalten werden, und das Ersetzen jedes doppelten Randes mit einem Rand hat 4 etikettiert, und jeder dreifache Rand durch einen Rand hat 6 etikettiert. Bemerken Sie auch, dass jede begrenzt erzeugte Gruppe von Coxeter eine Automatische Gruppe ist. Diagramme von Dynkin haben die zusätzliche Beschränkung, dass die einzigen erlaubten Rand-Etiketten 2, 3, 4, und 6 sind, der das obengenannte nachgibt. Geometrisch entspricht das dem crystallographic Beschränkungslehrsatz, und die Tatsache, die polytopes ausgeschlossen hat, füllt Raum nicht oder deckt das Flugzeug - für das Dodekaeder mit Ziegeln (Doppel-, Ikosaeder) füllt Raum nicht; für den 120-Zellen-(Doppel-, 600-Zellen-) füllt Raum nicht; weil ein p-gon das Flugzeug abgesehen von oder 6 (der dreieckige, quadratische und sechseckige tilings, beziehungsweise) nicht mit Ziegeln deckt.

Bemerken Sie weiter, dass die (geleiteten) Diagramme B und C von Dynkin dieselbe Gruppe von Weyl verursachen (folglich Gruppe von Coxeter), weil sie sich als geleitete Graphen unterscheiden, aber als ungeleitete Graphen - Richtungssachen für Wurzelsysteme, aber nicht für die Gruppe von Weyl zustimmen; das entspricht dem Hyperwürfel und Quer-Polytope verschiedener regelmäßiger polytopes zu sein, aber dieselbe Symmetrie-Gruppe zu haben.

Eigenschaften

Einige Eigenschaften der begrenzten Gruppen von Coxeter werden im folgenden Tisch gegeben:

Symmetrie-Gruppen von regelmäßigem polytopes

Alle Symmetrie-Gruppen von regelmäßigem polytopes sind begrenzte Gruppen von Coxeter. Bemerken Sie, dass Doppelpolytopes dieselbe Symmetrie-Gruppe haben.

Es gibt drei Reihen von regelmäßigem polytopes in allen Dimensionen. Die Symmetrie-Gruppe eines regelmäßigen N-Simplexes ist die symmetrische Gruppe S, auch bekannt als die Gruppe von Coxeter des Typs A. Die Symmetrie-Gruppe des N-Würfels und seines Doppel-, der n-cross-polytope ist v. Chr., und ist als die hyperoctahedral Gruppe bekannt.

Die außergewöhnlichen regelmäßigen polytopes in Dimensionen zwei, drei, und vier, entsprechen anderen Gruppen von Coxeter. In zwei Dimensionen bilden die zweiflächigen Gruppen, die die Symmetrie-Gruppen von regelmäßigen Vielecken sind, die Reihe I (p). In drei Dimensionen ist die Symmetrie-Gruppe des regelmäßigen Dodekaeders und seines Doppel-, des regelmäßigen Ikosaeders, H, der als die volle icosahedral Gruppe bekannt ist. In vier Dimensionen gibt es drei spezielle regelmäßige polytopes, den 24-Zellen-, den 120-Zellen-, und den 600-Zellen-. Das erste hat Symmetrie-Gruppe F, während die anderen zwei Doppel-sind und Symmetrie-Gruppe H haben.

Die Coxeter Gruppen des Typs D, E, E, und E sind die Symmetrie-Gruppen von bestimmtem halbregelmäßigem polytopes.

Gruppen von Affine Coxeter

Die affine Gruppen von Coxeter bilden eine zweite wichtige Reihe von Gruppen von Coxeter. Diese sind selbst nicht begrenzt, aber jeder enthält eine normale abelian solche Untergruppe, dass die entsprechende Quotient-Gruppe begrenzt ist. In jedem Fall ist die Quotient-Gruppe selbst eine Gruppe von Coxeter, und der Graph von Coxeter wird beim Graphen von Coxeter der Gruppe von Coxeter durch das Hinzufügen eines zusätzlichen Scheitelpunkts und eines oder zwei zusätzlicher Ränder erhalten. Zum Beispiel, für n  2, wird der Graph, der aus n+1 Scheitelpunkten in einem Kreis besteht, bei auf diese Weise erhalten, und die entsprechende Gruppe von Coxeter ist die affine Gruppe von Weyl von A. Für n = 2 kann das als die Symmetrie-Gruppe geschildert werden, des Flugzeugs durch gleichseitige Dreiecke Standard-mit Ziegeln zu decken.

Eine Liste der affine Gruppen von Coxeter folgt:

Die Subschrift ist diejenige weniger als die Zahl von Knoten in jedem Fall, seitdem jede dieser Gruppen erhalten wurde, indem sie einen Knoten zu einem Graphen einer begrenzten Gruppe hinzugefügt hat.

Coxeter Hyperbelgruppen

Es gibt ungeheuer viele Hyperbelgruppen von Coxeter, die Nachdenken-Gruppen im Hyperbelraum namentlich einschließlich der Hyperbeldreieck-Gruppen beschreiben.

Teilweise Ordnungen

Eine Wahl von Nachdenken-Generatoren verursacht eine Länge-Funktion l auf einer Gruppe von Coxeter, nämlich die minimale Zahl des Gebrauches von Generatoren, die erforderlich sind, ein Gruppenelement auszudrücken; das ist genau die Länge im im Graphen von Cayley metrischen Wort. Ein Ausdruck für v, der l (v) Generatoren verwendet, ist ein reduziertes Wort. Zum Beispiel hat die Versetzung (13) in S zwei reduzierte Wörter, (12) (23) (12) und (23) (12) (23). Die Funktion definiert eine Karte, die Zeichen-Karte für die symmetrische Gruppe verallgemeinernd.

Das Verwenden hat Wörter reduziert man kann drei teilweise Ordnungen auf der Gruppe von Coxeter, die (linke) schwache Ordnung, die absolute Ordnung und die Ordnung von Bruhat (genannt für François Bruhat) definieren. Ein Element v überschreitet ein Element u in der Ordnung von Bruhat, wenn einige (oder gleichwertig irgendwelcher) das reduzierte Wort für v ein reduziertes Wort für u als eine Teilkette enthält, wo einige Briefe (in jeder Position) fallen gelassen sind. In der schwachen Ordnung, v  u, wenn ein reduziertes Wort für v ein reduziertes Wort für u als ein anfängliches Segment enthält. Tatsächlich macht die Wortlänge das in einen abgestuften poset. Die Diagramme von Hasse entsprechend diesen Ordnungen sind Gegenstände der Studie, und sind mit dem durch die Generatoren bestimmten Graphen von Cayley verbunden. Die absolute Ordnung wird analog zur schwachen Ordnung definiert, aber mit dem Erzeugen des Satzes/Alphabetes, der aus allen besteht, paart sich der Generatoren von Coxeter.

Zum Beispiel hat die Versetzung (1 2 3) in S nur ein reduziertes Wort, (12) (23), so Deckel (12) und (23) in der Ordnung von Bruhat, aber bedeckt nur (12) in der schwachen Ordnung.

Homologie

Da eine Gruppe von Coxeter W durch begrenzt viele Elemente des Auftrags 2 erzeugt wird, ist sein abelianization ein elementarer abelian 2-Gruppen-, d. h. es ist zur direkten Summe von mehreren Kopien der zyklischen Gruppe Z isomorph. Das kann in Bezug auf die erste Homologie-Gruppe von W. neu formuliert werden

Der Schur Vermehrer M (W) (verbunden mit der zweiten Homologie) wurde in für begrenzte Nachdenken-Gruppen und in für affine Nachdenken-Gruppen mit einer mehr vereinigten eingereichten Rechnung geschätzt. In allen Fällen ist der Vermehrer von Schur auch ein elementarer abelian 2-Gruppen-. Für jede unendliche Familie {W} begrenzter oder affine Gruppen von Weyl stabilisiert sich die Reihe der M (W), als n zur Unendlichkeit geht.

Siehe auch

• Gruppe von Artin
• Dreieck-Gruppe
• Element von Coxeter
• Zahl von Coxeter
• Komplizierte Nachdenken-Gruppe
• Chevalley-Shephard-Todd-Lehrsatz
• Algebra von Hecke, eine Quant-Deformierung der Gruppenalgebra
• Kazhdan-Lusztig Polynom
• Längstes Element einer Gruppe von Coxeter

Weiterführende Literatur

• Larry C Grove und Clark T. Benson, Finite Reflection Groups, Absolvententexte in der Mathematik, vol. 99, Springer, (1985)
• James E. Humphreys, Reflection Groups und Coxeter Groups, studiert Cambridge in der fortgeschrittenen Mathematik, 29 (1990)
• Richard Kane, Reflection Groups und Invariant Theorie, CM-Bücher in der Mathematik, Springer (2001)
• Anders Björner und Francesco Brenti, Combinatorics von Coxeter Groups, Absolvententexten in der Mathematik, vol. 231, Springer, (2005)
• Howard Hiller, Geometrie von Gruppen von Coxeter. Forschungszeichen in der Mathematik, 54. Bergmann (Fortgeschrittenes Veröffentlichen-Programm), Boston, Mass.-London, 1982. internationale Iv+213-Seiten-Standardbuchnummer 0-273-08517-4
• Nicolas Bourbaki, Lie Groups und Lügen Algebra: Kapitel 4-6, Elemente der Mathematik, Springer (2002). Internationale Standardbuchnummer 978-3-540-42650-9

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