In der Gruppentheorie ist die quaternion Gruppe eine non-abelian Gruppe der Ordnung acht, isomorph zu einer bestimmten Acht-Elemente-Teilmenge des quaternions unter der Multiplikation. Es wird häufig durch Q oder Q angezeigt, und wird durch die Gruppenpräsentation gegeben

:

wo 1 das Identitätselement ist und −1 mit den anderen Elementen der Gruppe pendelt.

Graph von Cayley

Die Q Gruppe hat dieselbe Ordnung wie die Zweiflächige Gruppe, D, aber eine verschiedene Struktur, wie gezeigt, durch ihre Graphen von Cayley:

Tisch von Cayley

Durch den Cayley Tisch (Multiplikationstabelle) für Q wird gegeben:

Die Multiplikation von Paaren von Elementen von der Teilmenge {±i, ±j, ±k} arbeitet wie das Kreuzprodukt von Einheitsvektoren im dreidimensionalen Euklidischen Raum.

:

ij & = k, & ji & =-k, \\

jk & = ich, & kj & =-i, \\

ki & = j, & ik & =-j.

\end {alignat} </Mathematik>

Eigenschaften

Die quaternion Gruppe hat das ungewöhnliche Eigentum, Hamiltonian zu sein: Jede Untergruppe von Q ist eine normale Untergruppe, aber die Gruppe ist non-abelian. Jede Hamiltonian Gruppe enthält eine Kopie von Q.

In der abstrakten Algebra kann man einen echten vierdimensionalen Vektorraum mit der Basis {1, ich, j, k} bauen und es in eine assoziative Algebra verwandeln, indem man die obengenannte Multiplikationstabelle und distributivity verwendet. Das Ergebnis ist ein verdrehen Feld genannt den quaternions. Bemerken Sie, dass das nicht ganz dasselbe als die Gruppenalgebra auf Q ist (der achtdimensional sein würde). Umgekehrt kann man mit dem quaternions anfangen und die quaternion Gruppe als die multiplicative Untergruppe definieren, die aus den acht Elementen {1, &minus;1, ich, &minus;i, j, &minus;j, k, &minus;k} besteht. Der komplizierte vierdimensionale Vektorraum auf derselben Basis wird die Algebra von biquaternions genannt.

Bemerken Sie, dass ich, j, und k alle haben Ordnung vier in Q und irgendwelchen zwei von ihnen, die komplette Gruppe erzeugen. Eine andere Präsentation von Q, der das demonstriert, ist:

:

Man, kann zum Beispiel, mich = x, j = y und k = xy nehmen.

Das Zentrum und die Umschalter-Untergruppe von Q sind die Untergruppe {±1}. Die Faktor-Gruppe Q/{±1} ist dem Klein vier-Gruppen-V isomorph. Die innere automorphism Gruppe von Q ist zu Q modulo sein Zentrum isomorph, und ist deshalb auch dem vier-Gruppen-Klein isomorph. Die volle automorphism Gruppe von Q ist zu S, der symmetrischen Gruppe auf vier Briefen isomorph. Die automorphism Außengruppe von Q ist dann S/V, der zu S isomorph ist.

Matrixdarstellungen

Die quaternion Gruppe kann als eine Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe GL (C) vertreten werden. Eine Darstellung

:

wird durch gegeben

:

1 & 0 \\

0 & 1

\end {pmatrix} </Mathematik>

:

ich & 0 \\

0 &-i

\end {pmatrix} </Mathematik>:

0 & 1 \\

- 1 & 0

\end {pmatrix} </Mathematik>:

0 & ich \\

ich & 0

\end {pmatrix} </Mathematik>

Seit dem ganzen obengenannten haben matrices Einheitsdeterminante, das ist eine Darstellung von Q in der speziellen geradlinigen Gruppe SL (C). Die Standardidentität für die quaternion Multiplikation kann mit den üblichen Gesetzen der Matrixmultiplikation in GL (C) nachgeprüft werden.

Es gibt auch eine wichtige Handlung von Q auf den acht Nichtnullelementen des 2-dimensionalen Vektorraums über das begrenzte Feld F. Eine Darstellung

:wird durch gegeben: 1 & 0 \\ 0 & 1\end {pmatrix} </Mathematik>:

1 & 1 \\

1 &-1

\end {pmatrix} </Mathematik>:

- 1 & 1 \\

1 & 1

\end {pmatrix} </Mathematik>:

0 &-1 \\

1 & 0

\end {pmatrix} </Mathematik>

wo {&minus;1,0,1} die drei Elemente von F sind. Seit dem ganzen obengenannten haben matrices Einheitsdeterminante über F, das ist eine Darstellung von Q in der speziellen geradlinigen Gruppe SL (2, 3). Tatsächlich ist die Gruppe SL (2, 3) hat Auftrag 24 und Q, eine normale Untergruppe von SL (2, 3) des Index 3.

Gruppe von Galois

Da sich Richard Dean 1981 gezeigt hat, kann die quaternion Gruppe als das Gruppenmädchen von Galois (T/Q) präsentiert werden, wo Q das Feld von rationalen Zahlen ist und T das zerreißende Feld, über Q, vom Polynom ist

:.

Die Entwicklung verwendet den Hauptsatz der Theorie von Galois im Spezifizieren von vier Zwischenfeldern zwischen Q und T und ihren Gruppen von Galois, sowie zwei Lehrsätzen auf der zyklischen Erweiterung des Grads vier über ein Feld.

Verallgemeinerte quaternion Gruppe

Eine Gruppe wird eine verallgemeinerte quaternion Gruppe oder dicyclic Gruppe genannt, wenn es eine Präsentation hat

:

für eine ganze Zahl n  2. Diese Gruppe wird Q angezeigt und hat Auftrag 4n. Coxeter etikettiert diese dicyclic Gruppen

:

\omega_n & 0 \\

0 & \overline {\\Omega} _n

\end {ordnen }\

\right)

\mbox {und }\

\left (\begin {Reihe} {Cc }\

0 &-1 \\

1 & 0

\end {ordnen }\

\right)</Mathematik>

wo ω = e. Es kann auch als die Untergruppe der Einheit quaternions erzeugt durch x = e und y = j begriffen werden.

Die verallgemeinerten quaternion Gruppen haben das Eigentum, dass jede abelian Untergruppe zyklisch ist. Es kann gezeigt werden, dass eine begrenzte P-Gruppe mit diesem Eigentum (ist jede abelian Untergruppe zyklisch), entweder zyklisch ist oder eine verallgemeinerte quaternion Gruppe, wie definiert, oben. Eine andere Charakterisierung besteht darin, dass eine begrenzte P-Gruppe, in der es eine einzigartige Untergruppe des Auftrags p gibt, entweder zyklischer oder verallgemeinerter quaternion (der Ordnung eine Macht 2) ist. Insbesondere für ein begrenztes Feld F mit der sonderbaren Eigenschaft ist die 2-Sylow Untergruppe von SL (F) non-abelian und hat nur eine Untergruppe des Auftrags 2, so muss diese 2-Sylow Untergruppe eine verallgemeinerte quaternion Gruppe sein. p lassend, die Größe von F sein, wo p erst ist, ist die Größe der 2-Sylow Untergruppe von SL (F) 2, wo n = ord (p - 1) + ord (r).

Der Lehrsatz von Brauer-Suzuki zeigt, dass Gruppen, deren 2-Untergruppen-Sylow quaternion verallgemeinert wird, nicht einfach sein können.

Siehe auch

• binäre vierflächige Gruppe
• Algebra von Clifford
• Dicyclic-Gruppe
• Hurwitz integrierter quaternion
• Liste von kleinen Gruppen
• 16-Zellen-

Referenzen

• Dekan, Richard A. (1981) "Ein vernünftiges Polynom, dessen Gruppe der quaternions", amerikanischer Mathematischer Monatlicher 88:42-5 ist.
• P.R. Girard (1984) "Die quaternion Gruppe und moderne Physik", europäische Zeitschrift der Physik 5:25-32.

Links