In der Mathematik ist ein Raum von Baire ein topologischer Raum, der, intuitiv das Sprechen, sehr groß ist und "genug" Punkte für bestimmte Grenze-Prozesse hat. Es wird zu Ehren von René-Louis Baire genannt, der das Konzept eingeführt hat.

Motivation

In einem willkürlichen topologischen Raum besteht die Klasse von geschlossenen Sätzen mit dem leeren Interieur genau aus den Grenzen von dichten offenen Sätzen. Diese Sätze sind im gewissen Sinne, "unwesentlich".

Einige Beispiele sind begrenzte Sätze, glätten Kurven im Flugzeug und richtige affine Subräume in einem Euklidischen Raum. Ein topologischer Raum ist ein Raum von Baire, wenn es "groß" ist, bedeutend, dass es nicht eine zählbare Vereinigung von unwesentlichen Teilmengen ist. Zum Beispiel ist der dreidimensionale Euklidische Raum nicht eine zählbare Vereinigung seiner affine Flugzeuge.

Definition

Die genaue Definition eines Raums von Baire hat geringe Änderungen überall in der Geschichte, größtenteils wegen vorherrschender Bedürfnisse und Gesichtspunkte erlebt. Erstens geben wir die übliche moderne Definition, und dann geben wir eine historische Definition, die an der von Baire ursprünglich gegebenen Definition näher ist.

Moderne Definition

Ein topologischer Raum wird einen Raum von Baire genannt, wenn die Vereinigung einer zählbarer Sammlung von geschlossenen Sätzen mit dem leeren Interieur leeres Interieur hat.

Diese Definition ist zu jeder der folgenden Bedingungen gleichwertig:

• Jede Kreuzung von zählbar vielen dichten offenen Sätzen ist dicht.
• Das Interieur jeder Vereinigung von zählbar vielen geschlossen nirgends dichte Sätze ist leer.
• Wann auch immer die Vereinigung von zählbar vielen geschlossenen Teilmengen X einen Innenpunkt hat, dann muss eine der geschlossenen Teilmengen einen Innenpunkt haben.

Historische Definition

In seiner ursprünglichen Definition hat Baire einen Begriff der Kategorie (ohne Beziehung zur Kategorie-Theorie) wie folgt definiert.

Eine Teilmenge eines topologischen Raums X wird genannt

• nirgends dicht in X, wenn das Interieur seines Verschlusses leerer ist
• der ersten Kategorie oder mager in X, wenn es eine Vereinigung von zählbar vielen nirgends dichte Teilmengen ist
• der zweiten Kategorie oder nichtmager in X, wenn es nicht von der ersten Kategorie in X ist

Die Definition für einen Raum von Baire kann dann wie folgt festgesetzt werden: Ein topologischer Raum X ist ein Raum von Baire, wenn jeder nichtleere offene Satz der zweiten Kategorie in X ist. Diese Definition ist zur modernen Definition gleichwertig.

Eine Teilmenge X ist comeagre, wenn seine Ergänzung mager ist. Ein topologischer Raum X ist ein Raum von Baire, wenn, und nur wenn jede comeager Teilmenge X dicht ist.

Beispiele

• Der Raum R reeller Zahlen mit der üblichen Topologie, ist ein Raum von Baire, und ist so von der zweiten Kategorie an sich. Die rationalen Zahlen sind der ersten Kategorie, und die irrationalen Zahlen sind der zweiten Kategorie in R.
• Der Kantor ist untergegangen ist ein Raum von Baire, und ist so von der zweiten Kategorie an sich, aber es ist von der ersten Kategorie im Zwischenraum [0, 1] mit der üblichen Topologie.
• Hier ist ein Beispiel von einer Reihe zweiter Kategorie in R mit dem Maß von Lebesgue 0.

:where ist eine Folge, die die rationalen Zahlen aufzählt.

• Bemerken Sie, dass der Raum von rationalen Zahlen mit der üblichen vom reals geerbten Topologie nicht ein Raum von Baire ist, da es die Vereinigung von zählbar vielen geschlossenen Sätzen ohne Interieur, den Singleton ist.

Kategorie-Lehrsatz von Baire

Der Baire Kategorie-Lehrsatz gibt genügend Bedingungen für einen topologischen Raum, um ein Raum von Baire zu sein. Es ist ein wichtiges Werkzeug in der Topologie und Funktionsanalyse.

• (BCT1) Jeder ganze metrische Raum ist ein Raum von Baire. Mehr allgemein ist jeder topologische Raum, der homeomorphic zu einer offenen Teilmenge eines ganzen pseudometrischen Raums ist, ein Raum von Baire. Insbesondere jeder topologisch ganze Raum ist ein Raum von Baire.
• (BCT2) Jeder lokal kompakte Raum von Hausdorff ist ein Raum von Baire.

BCT1 zeigt, dass jeder des folgenden ein Raum von Baire ist:

• Der Raum R reeller Zahlen
• Der Raum von irrationalen Zahlen
• Der Kantor hat gesetzt
• Tatsächlich, jeder polnische Raum

BCT2 zeigt, dass jede Sammelleitung ein Raum von Baire ist, selbst wenn es, und folglich nicht metrizable nicht parakompakt ist. Zum Beispiel ist die lange Linie der zweiten Kategorie.

Eigenschaften

• Jeder nichtleere Raum von Baire ist von der zweiten Kategorie an sich, und jede Kreuzung von zählbar vielen dichten offenen Teilmengen X ist nichtleer, aber der gegenteilige von keinem von diesen ist wahr, wie durch die topologische zusammenhanglose Summe des rationals und des Einheitszwischenraums [0, 1] gezeigt wird.
• Jeder offene Subraum eines Raums von Baire ist ein Raum von Baire.
• In Anbetracht einer Familie von dauernden Funktionen f:XY mit pointwise beschränken f:XY. Wenn X ein Raum von Baire dann die Punkte ist, wo f nicht dauernd ist, ist ein magerer Satz in X und der Satz von Punkten, wo f dauernd ist, ist in X dicht. Ein spezieller Fall davon ist die Uniform boundedness Grundsatz.

Siehe auch

• Banach-Mazur Spiel
• Beschreibende Mengenlehre
• Raum von Baire (Mengenlehre)
• Munkres, James, Topologie, 2. Ausgabe, Prentice Hall, 2000.
• Baire, René-Louis (1899), Sur les fonctions de variables réelles, Annali di Mat. Ser. 3 3, 1 - 123.