Ungleichförmiges vernünftiges Basisfugenbrett (NURBS) ist ein mathematisches Modell, das allgemein in der Computergrafik verwendet ist, um Kurven und Oberflächen zu erzeugen und zu vertreten, der große Flexibilität und Präzision anbietet, um beide analytisch (Oberflächen zu behandeln, die durch allgemeine mathematische Formeln definiert sind) und modellierte Gestalten.

Geschichte

Die Entwicklung von NURBS hat in den 1950er Jahren durch Ingenieure begonnen, die im Bedürfnis nach einer mathematisch genauen Darstellung von Freeform-Oberflächen wie diejenigen waren, die für Schiff-Rümpfe, Raumfahrtaußenoberflächen und Autokörper verwendet sind, die, wann auch immer technisch erforderlich, genau wieder hervorgebracht werden konnten. Vorherige Darstellungen dieser Art der Oberfläche haben nur als ein einzelnes physisches von einem Entwerfer geschaffenes Modell bestanden.

Die Pioniere dieser Entwicklung waren Pierre Bézier, der als ein Ingenieur an Renault und Paul de Casteljau gearbeitet hat, der an Citroën, beiden in Frankreich gearbeitet hat. Bézier hat fast Parallele zu de Casteljau, keinem Wissen über die Arbeit vom anderen gearbeitet. Aber weil Bézier die Ergebnisse seiner Arbeit veröffentlicht hat, erkennt der durchschnittliche Computergrafik-Benutzer heute Fugenbretter an — die mit Kontrollpunkten vertreten werden, die von der Kurve selbst — als Fugenbretter von Bézier liegen, während der Name von de Casteljau nur bekannt und für die Algorithmen verwendet ist, hat er sich entwickelt, um parametrische Oberflächen zu bewerten. In den 1960er Jahren ist es klar geworden, dass ungleichförmige, vernünftige B-Fugenbretter eine Generalisation von Fugenbrettern von Bézier sind, die als gleichförmige, nichtvernünftige B-Fugenbretter betrachtet werden können.

Zuerst wurden NURBS nur in den Eigentums-CAD-Paketen von Autogesellschaften verwendet. Später sind sie ein Teil von Standardcomputergrafik-Paketen geworden.

Die schritthaltende, interaktive Übergabe von NURBS-Kurven und Oberflächen wurde zuerst an Silikongrafikarbeitsplätzen 1989 bereitgestellt. 1993 wurde der erste interaktive NURBS Modellierer für PCs, genannt NöRBS, durch das CAS Berlin, eine kleine Anlauf-Gesellschaft entwickelt, die mit der Technischen Universität Berlins zusammenarbeitet. Heute bieten die meisten für den Tischgebrauch verfügbaren Berufscomputergrafik-Anwendungen NURBS Technologie an, die meistenteils durch die Integrierung eines NURBS Motors von einer Spezialgesellschaft begriffen wird.

Verwenden

NURBS werden im computergestützten Design (CAD) allgemein verwendet, (NOCKEN) und Technik (CAE) verfertigend, und sind ein Teil der zahlreichen Industrie breite verwendete Standards, wie IGES, SCHRITT, ACIS und PHIGS. NURBS Werkzeuge werden auch in verschiedenen 3D-Modellieren- und Zeichentrickfilm-Softwarepaketen gefunden.

Sie erlauben Darstellung von geometrischen Gestalten in einer Kompaktform. Sie können durch die Computerprogramme effizient behandelt werden und noch leichte menschliche Wechselwirkung berücksichtigen. NURBS Oberflächen sind Funktionen von zwei Rahmen, die zu einer Oberfläche im dreidimensionalen Raum kartografisch darstellen. Die Gestalt der Oberfläche wird durch Kontrollpunkte bestimmt.

Im Allgemeinen ist das Redigieren von NURBS Kurven und Oberflächen hoch intuitiv und voraussagbar. Kontrollpunkte werden immer entweder direkt mit der Kurve/Oberfläche oder Tat verbunden, als ob sie von einem Gummiband verbunden wurden. Abhängig vom Typ der Benutzerschnittstelle kann das Redigieren über Kontrollpunkte eines Elements begriffen werden, die am offensichtlichsten und für Kurven von Bézier, oder über höhere Niveau-Werkzeuge wie das Fugenbrett-Modellieren oder hierarchische Redigieren üblich sind.

Eine Oberfläche im Bau, z.B der Rumpf einer Motorjacht, wird gewöhnlich aus mehreren als Flecke bekannten NURBS-Oberflächen zusammengesetzt. Diese Flecke sollten zusammen in geeignet werden

solch eine Weise, wie die Grenzen unsichtbar sind. Das wird durch das Konzept der geometrischen Kontinuität mathematisch ausgedrückt.

Werkzeuge des höheren Niveaus bestehen der Vorteil der Fähigkeit von NURBS, geometrische Kontinuität von verschiedenen Niveaus zu schaffen und zu gründen:

Stellungskontinuität (G0): Hält, wann auch immer die Endpositionen von zwei Kurven oder Oberflächen zusammenfallend sind. Die Kurven oder Oberflächen können sich noch in einem Winkel treffen, eine scharfe Ecke oder Rand verursachend und gebrochene Höhepunkte verursachend.

Tangentiale Kontinuität (G1): Verlangt, dass die Endvektoren der Kurven oder Oberflächen parallel sind, scharfe Ränder ausschließend. Weil Höhepunkte, die auf einem tangential dauernden Rand fallen, immer dauernd sind und so natürlich aussehen, kann dieses Niveau der Kontinuität häufig genügend sein.

Krümmungskontinuität (G2): Weiter verlangt, dass die Endvektoren derselben Länge und Rate der Länge-Änderung sind. Höhepunkte, die auf einem mit der Krümmung dauernden Rand fallen, zeigen keine Änderung, die zwei Oberflächen veranlassend, als ein zu erscheinen. Das kann als "vollkommen glatt" visuell anerkannt werden. Dieses Niveau der Kontinuität ist in der Entwicklung von Modellen sehr nützlich, die verlangen, dass viele bi-cubic das Bestehen einer dauernder Oberfläche flicken.

Geometrische Kontinuität bezieht sich hauptsächlich auf die Gestalt der resultierenden Oberfläche; da NURBS Oberflächen Funktionen sind, ist es auch möglich, die Ableitungen der Oberfläche in Bezug auf die Rahmen zu besprechen. Das ist als parametrische Kontinuität bekannt. Die parametrische Kontinuität eines gegebenen Grads bezieht geometrische Kontinuität dieses Grads ein.

Zuerst - und zweites Niveau parametrische Kontinuität (C0 und C1) sind zu praktischen Zwecken, die zum Stellungs- und tangentialen (G0 und G1) Kontinuität identisch sind. Parametrische Kontinuität des dritten Niveaus (C2) unterscheidet sich jedoch von der Krümmungskontinuität, in der sein parameterization auch dauernd ist. In der Praxis ist C2 Kontinuität leichter zu erreichen, wenn gleichförmige B-Fugenbretter verwendet werden.

Die Definition der Kontinuität 'Cn' verlangt, dass die n Ableitung der Kurve/Oberfläche an einem Gelenk gleich ist. Bemerken Sie, dass die (teilweisen) Ableitungen von Kurven und Oberflächen Vektoren sind, die eine Richtung und einen Umfang haben. Beide sollten gleich sein.

Höhepunkte und Nachdenken können das vollkommene Glanzschleifen offenbaren, das sonst praktisch unmöglich ist, ohne NURBS-Oberflächen zu erreichen, die mindestens G2 Kontinuität haben. Dieser derselbe Grundsatz wird wie eine der Oberflächeneinschätzungsmethoden verwendet, wodurch ein Strahl-verfolgtes oder mit dem Nachdenken kartografisch dargestelltes Image einer Oberfläche mit weißen Streifen, die darüber nachdenken, sogar die kleinsten Abweichungen auf einer Oberfläche oder Satz von Oberflächen zeigen wird. Diese Methode wird aus Auto prototyping abgeleitet, worin Oberflächenqualität durch die Überprüfung der Qualität des Nachdenkens einer Neonlicht-Decke auf der Autooberfläche untersucht wird. Diese Methode ist auch bekannt als "Zebra-Analyse".

Technische Spezifizierungen

Eine NURBS-Kurve wird durch seine Ordnung, eine Reihe belasteter Kontrollpunkte und einen Knoten-Vektoren definiert. NURBS Kurven und Oberflächen sind Generalisationen sowohl von Kurven von B-splines als auch von Bézier und Oberflächen, der primäre Unterschied, der die Gewichtung der Kontrollpunkte ist, die NURBS-Kurven vernünftig macht (nichtvernünftige B-Fugenbretter sind ein spezieller Fall von vernünftigen B-Fugenbrettern).

Wohingegen sich Bézier-Kurven zu nur einer parametrischer Richtung, gewöhnlich genanntem s oder u entwickeln, entwickeln sich NURBS Oberflächen zu zwei parametrischen Richtungen, genannt s und t oder u und v.

Durch das Auswerten von Bézier oder einer NURBS-Kurve an verschiedenen Werten des Parameters kann die Kurve in Kartesianischen zwei - oder dreidimensionaler Raum vertreten werden. Ebenfalls, durch das Auswerten einer NURBS-Oberfläche an verschiedenen Werten der zwei Rahmen, kann die Oberfläche im Kartesianischen Raum vertreten werden.

NURBS Kurven und Oberflächen sind aus mehreren Gründen nützlich:

• Sie sind invariant unter affine sowie Perspektivetransformationen: Operationen wie Folgen und Übersetzungen können auf NURBS-Kurven und Oberflächen durch die Verwendung von ihnen auf ihre Kontrollpunkte angewandt werden.
• Sie bieten eine allgemeine mathematische Form für beide analytischen Standardgestalten (z.B, conics) und Gestalten der freien Form an.
• Sie stellen die Flexibilität zur Verfügung, um eine große Vielfalt von Gestalten zu entwerfen.
• Sie reduzieren den Speicherverbrauch, wenn sie Gestalten (im Vergleich zu einfacheren Methoden) versorgen.
• Sie können vernünftig schnell durch numerisch stabile und genaue Algorithmen bewertet werden.

In den folgenden Abteilungen wird NURBS in einer Dimension (Kurven) besprochen. Es sollte bemerkt werden, dass alles davon zu zwei oder noch mehr Dimensionen verallgemeinert werden kann.

Kontrollpunkte

Die Kontrollpunkte bestimmen die Gestalt der Kurve. Gewöhnlich wird jeder Punkt der Kurve durch die Einnahme einer belasteten Summe mehrerer Kontrollpunkte geschätzt. Das Gewicht jedes Punkts ändert sich gemäß dem Regierungsparameter. Für eine Kurve des Grads d ist das Gewicht jedes Kontrollpunkts nur Nichtnull in d+1 Zwischenräumen des Parameter-Raums. Innerhalb jener Zwischenräume ändert sich das Gewicht gemäß einer polynomischen Funktion (Basisfunktionen) des Grads d. An den Grenzen der Zwischenräume gehen die Basisfunktionen glatt zur Null, die Glätte, die durch den Grad des Polynoms wird bestimmt.

Als ein Beispiel, die Basisfunktion des Grads ist man eine Dreieck-Funktion. Es erhebt sich von der Null bis eine, fällt dann zur Null wieder. Während es sich erhebt, die Basisfunktion der vorherigen Kontrolle spitzen Fälle an. Auf diese Weise interpoliert die Kurve zwischen den zwei Punkten, und die resultierende Kurve ist ein Vieleck, das, aber nicht differentiable an den Zwischenraum-Grenzen oder Knoten dauernd ist. Höhere Grad-Polynome haben entsprechend dauerndere Ableitungen. Bemerken Sie, dass innerhalb des Zwischenraums die polynomische Natur der Basisfunktionen und die Linearität des Aufbaus die Kurve vollkommen glatt machen, so ist es nur an den Knoten, dass Diskontinuität entstehen kann.

Die Tatsache, dass ein einzelner Kontrollpunkt nur jene Zwischenräume beeinflusst, wo es aktiv ist, ist ein hoch wünschenswertes Eigentum, das als lokale Unterstützung bekannt ist. Im Modellieren erlaubt es das Ändern eines Teils einer Oberfläche, während es andere Teile gleich hält.

Das Hinzufügen von mehr Kontrollpunkten erlaubt bessere Annäherung an eine gegebene Kurve, obwohl nur eine bestimmte Klasse von Kurven genau mit einer begrenzten Zahl von Kontrollpunkten vertreten werden kann. NURBS Kurven zeigen auch ein Skalargewicht für jeden Kontrollpunkt. Das berücksichtigt mehr Kontrolle über die Gestalt der Kurve, ohne die Anzahl von Kontrollpunkten übermäßig zu steigern. Insbesondere es fügt konische Abteilungen wie Kreise und Ellipsen zum Satz von Kurven hinzu, die genau vertreten werden können. Der in NURBS vernünftige Begriff bezieht sich auf diese Gewichte.

Die Kontrollpunkte können jeden dimensionality haben. Eindimensionale Punkte definieren gerade eine Skalarfunktion des Parameters. Diese werden normalerweise in Bildverarbeitungsprogrammen verwendet, um die Helligkeit und Farbenkurven abzustimmen. Dreidimensionale Kontrollpunkte werden reichlich im 3D-Modellieren verwendet, wo sie in der täglichen Bedeutung des Wortes 'Punkt', eine Position im 3D-Raum verwendet werden.

Mehrdimensionale Punkte könnten verwendet werden, um Sätze von zeitgesteuerten Werten, z.B die verschiedenen Stellungs- und Rotationseinstellungen eines Roboterarms zu kontrollieren. NURBS Oberflächen sind gerade eine Anwendung davon. Jede Kontrolle 'Punkt' ist wirklich ein voller Vektor von Kontrollpunkten, eine Kurve definierend. Diese Kurven teilen ihren Grad und die Zahl von Kontrollpunkten, und messen eine Dimension des Parameter-Raums ab. Durch das Interpolieren dieser Kontrollvektoren über die andere Dimension des Parameter-Raums wird ein dauernder Satz von Kurven erhalten, die Oberfläche definierend.

Der Knoten-Vektor

Der Knoten-Vektor ist eine Folge von Parameter-Werten, die bestimmt, wo und wie die Kontrollpunkte die NURBS-Kurve betreffen. Die Zahl von Knoten ist immer der Zahl von Kontrollpunkten plus der Kurve-Grad plus einer gleich. Der Knoten-Vektor teilt den parametrischen Raum in den Zwischenräumen, die vorher gewöhnlich erwähnt sind, gekennzeichnet als Knoten-Spannen. Jedes Mal, wenn der Parameter-Wert in eine neue Knoten-Spanne eingeht, wird ein neuer Kontrollpunkt aktiv, während ein alter Kontrollpunkt verworfen wird.

Hieraus folgt dass die Werte im Knoten-Vektoren in der nichtabnehmenden Ordnung sein sollten, so (0, 0, 1, 2, 3, 3) ist gültig, während (0, 0, 2, 1, 3, 3) nicht ist.

Konsekutivknoten können denselben Wert haben. Das definiert dann eine Knoten-Spanne der Nulllänge, die andeutet, dass zwei Kontrollpunkte zur gleichen Zeit aktiviert werden (und natürlich zwei Kontrollpunkte ausgeschaltet werden). Das hat Einfluss auf Kontinuität der resultierenden Kurve oder seiner höheren Ableitungen; zum Beispiel erlaubt es die Entwicklung von Ecken in einer NURBS sonst glatten Kurve.

Mehrere zusammenfallende Knoten werden manchmal einen Knoten mit einer bestimmten Vielfältigkeit genannt. Knoten mit der Vielfältigkeit zwei oder drei sind als doppelte oder dreifache Knoten bekannt.

Die Vielfältigkeit eines Knotens wird auf den Grad der Kurve beschränkt; da eine höhere Vielfältigkeit die Kurve in zusammenhanglose Teile spalten würde und es Kontrollpunkte unbenutzt verlassen würde. Für NURBS des ersten Grades wird jeder Knoten mit einem Kontrollpunkt paarweise angeordnet.

Der Knoten-Vektor fängt gewöhnlich mit einem Knoten an, der der Ordnung gleiche Vielfältigkeit hat. Das hat Sinn, da das die Kontrollpunkte aktiviert, die Einfluss auf die erste Knoten-Spanne haben. Ähnlich endet der Knoten-Vektor gewöhnlich mit einem Knoten dieser Vielfältigkeit.

Kurven mit solchem Knoten-Vektor-Anfang und Ende in einem Kontrollpunkt.

Die individuellen Knoten-Werte sind durch sich nicht bedeutungsvoll; nur die Verhältnisse des Unterschieds zwischen dem Knoten schätzen Sache. Folglich erzeugen die Knoten-Vektoren (0, 0, 1, 2, 3, 3) und (0, 0, 2, 4, 6, 6) dieselbe Kurve. Die Positionen der Knoten-Werte beeinflussen des Parameter-Raums kartografisch darzustellen, um Raum zu biegen. Die Übergabe einer NURBS-Kurve wird gewöhnlich durch das Treten mit einem festen Schritt durch die Parameter-Reihe getan. Durch das Ändern der Knoten-Spanne-Längen können mehr Beispielpunkte in Gebieten verwendet werden, wo die Krümmung hoch ist. Ein anderer Gebrauch ist in Situationen, wo der Parameter-Wert etwas physische Bedeutung zum Beispiel hat, wenn der Parameter Zeit ist und die Kurve die Bewegung eines Roboterarms beschreibt. Die Knoten-Spanne-Längen übersetzen dann in die Geschwindigkeit und Beschleunigung, die notwendig sind, um in Ordnung zu bringen, um Schaden am Roboterarm oder seiner Umgebung zu verhindern. Diese Flexibilität, indem sie kartografisch darstellt, ist, worauf sich der in NURBS nicht gleichförmige Ausdruck bezieht.

Notwendig nur für innere Berechnungen sind Knoten gewöhnlich den Benutzern des Modellierens der Software nicht nützlich. Deshalb machen viele Modellieren-Anwendungen die Knoten editable oder sogar sichtbar nicht. Es ist gewöhnlich möglich, angemessene Knoten-Vektoren durch das Schauen auf die Schwankung in den Kontrollpunkten zu gründen. Neuere Versionen der NURBS Software (z.B, Autodesk Maya und Nashorn 3D) berücksichtigen das interaktive Redigieren von Knoten-Positionen, aber das ist bedeutsam weniger intuitiv als das Redigieren von Kontrollpunkten.

Ordnung

Die Ordnung einer NURBS-Kurve definiert die Zahl von nahe gelegenen Kontrollpunkten, die jeden gegebenen Punkt auf der Kurve beeinflussen. Die Kurve wird mathematisch durch ein Polynom des Grads ein weniger vertreten als die Ordnung der Kurve. Folglich werden Kurven der zweiten Ordnung (die durch geradlinige Polynome vertreten werden) geradlinige Kurven genannt, Kurven der dritten Ordnung werden quadratische Kurven genannt, und Kurven der vierten Ordnung werden Kubikkurven genannt. Die Zahl von Kontrollpunkten muss größer oder gleich der Ordnung der Kurve sein.

In der Praxis sind Kubikkurven diejenigen meistens verwendet. Fünft - und Kurven der sechsten Ordnung sind manchmal besonders nützlich, um dauernde höhere Ordnungsableitungen zu erhalten, aber Kurven von höheren Ordnungen werden praktisch nie verwendet, weil sie zu inneren numerischen Problemen führen und dazu neigen, unverhältnismäßig große Berechnungszeiten zu verlangen.

Aufbau der Basisfunktionen

Die in NURBS-Kurven verwendeten Basisfunktionen werden gewöhnlich als angezeigt, in dem dem-th entspricht

kontrollieren Sie Punkt, und entspricht dem Grad der Basisfunktion. Die Parameter-Abhängigkeit wird oft ausgelassen, so können wir schreiben.

Die Definition von diesen Basis fungiert, ist darin rekursiv.

Der Grad 0 Funktionen ist piecewise unveränderliche Funktionen. Sie sind ein auf der entsprechenden Knoten-Spanne und Null überall sonst.

Effektiv, ist eine geradlinige Interpolation und. Die letzten zwei Funktionen sind Nichtnull für

Knoten-Spannen, für Knoten-Spannen überlappend. Die Funktion wird als geschätzt

:

Anstiege geradlinig von der Null bis eine auf dem Zwischenraum, wo Nichtnull ist, während Fälle von einem bis Null auf dem Zwischenraum, wo Nichtnull ist. Wie erwähnt, vorher, ist eine Dreiecksfunktion, mehr als zwei Knoten Nichtnullspannen, die sich von der Null bis eine auf dem ersten erheben, und zur Null auf der zweiten Knoten-Spanne fallen. Höhere Ordnungsbasisfunktionen sind Nichtnull über das Entsprechen mehr Knoten-Spannen und haben entsprechend höheren Grad. Wenn der Parameter ist, und der-th Knoten ist, können wir die Funktionen und als schreiben

:und:

Die Funktionen und sind positiv, wenn das Entsprechen tiefer befiehlt, dass Basisfunktionen Nichtnull sind. Durch die Induktion auf n, hieraus folgt dass die Basisfunktionen für alle Werte nichtnegativ sind und. Das macht die Berechnung der Basisfunktionen numerisch stabil.

Wieder durch die Induktion kann es bewiesen werden, dass die Summe der Basisfunktionen für einen besonderen Wert des Parameters Einheit ist. Das ist als die Teilung des Einheitseigentums der Basisfunktionen bekannt.

Die Zahlen zeigen das geradlinige und die quadratischen Basisfunktionen für die Knoten {..., 0, 1, 2, 3, 4, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1... }\

Ein-Knoten-Spanne ist beträchtlich kürzer als andere. Auf dieser Knoten-Spanne ist die Spitze in der quadratischen Basisfunktion verschiedener, fast einen erreichend. Umgekehrt fungiert die angrenzende Basis Fall zur Null schneller. In der geometrischen Interpretation bedeutet das, dass sich die Kurve dem entsprechenden Kontrollpunkt nah nähert. Im Falle eines doppelten Knotens wird die Länge der Knoten-Spanne Null, und die Spitze erreicht denjenigen genau. Die Basisfunktion ist nicht mehr differentiable an diesem Punkt. Die Kurve wird eine scharfe Ecke haben, wenn die Nachbarkontrollpunkte nicht collinear sind.

Allgemeine Form einer NURBS-Kurve

Mit den Definitionen der Basisfunktionen aus dem vorherigen Paragrafen nimmt eine NURBS-Kurve die folgende Form an:

:

{N_ {ich, n} w_i }\

{\\sum_ {j=1} ^k N_ {j, n} w_j} }\

\bold {P} _i = \frac

{\\sum_ {i=1} ^k {N_ {ich, n} w_i \bold {P} _i} }\

{\\sum_ {i=1} ^k {N_ {ich, n} w_i} }\

</Mathematik>

Darin, ist die Zahl von Kontrollpunkten und sind die entsprechenden Gewichte. Der Nenner ist ein Normalisieren-Faktor, der zu demjenigen bewertet, wenn alle Gewichte dasjenige sind. Das kann von der Teilung des Einheitseigentums der Basisfunktionen gesehen werden. Es ist üblich, um das als zu schreiben

:

in dem die Funktionen

:

sind als die vernünftigen Basisfunktionen bekannt.

Allgemeine Form einer NURBS-Oberfläche

Eine NURBS-Oberfläche wird als das Tensor-Produkt von zwei NURBS-Kurven, so mit zwei unabhängigen Rahmen und (mit Indizes und beziehungsweise) erhalten:

:

mit

:

weil vernünftige Basis fungiert.

Manipulierung NURBS Gegenstände

Mehrere Transformationen können auf einen NURBS-Gegenstand angewandt werden. Zum Beispiel, wenn eine Kurve mit einem bestimmten Grad und N-Kontrollpunkten definiert wird, kann dieselbe Kurve mit demselben Grad und N+1-Kontrollpunkten ausgedrückt werden. Im Prozess ändern mehrere Kontrollpunkte Position, und ein Knoten wird in den Knoten-Vektoren eingefügt.

Diese Manipulationen werden umfassend während des interaktiven Designs verwendet. Wenn sie einen Kontrollpunkt hinzufügt, sollte die Gestalt der Kurve dasselbe bleiben, den Startpunkt für weitere Anpassungen bildend. Mehrere diese Operationen werden unten besprochen.

Knoten-Einfügung

Wie der Begriff darauf hinweist, fügt Knoten-Einfügung einen Knoten in den Knoten-Vektoren ein. Wenn der Grad der Kurve ist, dann kontrollieren Sie Punkte werden durch neue ersetzt. Die Gestalt der Kurve bleibt dasselbe.

Ein Knoten kann mehrmals bis zur maximalen Vielfältigkeit des Knotens eingefügt werden. Das wird manchmal Knoten-Verbesserung genannt und kann durch einen Algorithmus erreicht werden, der effizienter ist als wiederholte Knoten-Einfügung.

Knoten-Eliminierung

Knoten-Eliminierung ist die Rückseite der Knoten-Einfügung. Sein Zweck ist, Knoten und die verbundenen Kontrollpunkte zu entfernen, um eine kompaktere Darstellung zu bekommen. Offensichtlich ist das nicht immer möglich, während es die genaue Gestalt der Kurve behält. In der Praxis wird eine Toleranz in der Genauigkeit verwendet, um zu bestimmen, ob ein Knoten entfernt werden kann. Der Prozess wird verwendet, um nach einer interaktiven Sitzung aufzuräumen, in der Kontrollpunkte manuell, oder nach dem Importieren hinzugefügt worden sein können

eine Kurve von einer verschiedenen Darstellung, wo ein aufrichtiger Umwandlungsprozess zu überflüssigen Kontrollpunkten führt.

Grad-Erhebung

Eine NURBS Kurve eines besonderen Grads kann immer durch eine NURBS Kurve des höheren Grads vertreten werden. Das wird oft verwendet, wenn man getrennte NURBS-Kurven, verbindet

z.B, wenn sich das Schaffen einer NURBS-Oberfläche, die zwischen einer Reihe von NURBS interpoliert, biegt, oder wenn es angrenzende Kurven vereinigt. Dabei sollten die verschiedenen Kurven zu demselben Grad, gewöhnlich der maximale Grad des Satzes von Kurven gebracht werden. Der Prozess ist als Grad-Erhebung bekannt.

Krümmung

Das wichtigste Eigentum in der Differenzialgeometrie ist die Krümmung. Es beschreibt die lokalen Eigenschaften (Ränder, Ecken, usw.) und Beziehungen zwischen der ersten und zweiten Ableitung, und so, die genaue Kurve-Gestalt. Die Ableitungen bestimmt, ist es leicht zu rechnen

</Zentrum>

Die Ordnung ist drei, da ein Kreis eine quadratische Kurve ist und die Ordnung des Fugenbrettes ein mehr ist als der Grad seiner piecewise polynomischen Segmente. Der Knoten-Vektor ist. Der Kreis wird aus vier Viertel-Kreisen, gebunden zusammen mit doppelten Knoten zusammengesetzt. Obwohl doppelte Knoten in einer dritten Ordnung NURBS Kurve würde normalerweise auf Verlust der Kontinuität in der ersten Ableitung, die Kontrollpunkte hinauslaufen, auf solche Art und Weise eingestellt werden, dass die erste Ableitung dauernd ist. Tatsächlich ist die Kurve ungeheuer differentiable überall, wie es sein muss, wenn es genau einen Kreis vertritt.

Die Kurve vertritt einen Kreis genau, aber sie wird in der Kreisbogen-Länge des Kreises nicht genau parametrisiert. Das bedeutet zum Beispiel, dass der Punkt daran an (abgesehen vom Anfang, Mitte nicht liegt und Punkt jedes Viertel-Kreises beendet, da die Darstellung symmetrisch ist). Das ist offensichtlich; die x Koordinate des Kreises würde einen genauen vernünftigen polynomischen Ausdruck dafür sonst zur Verfügung stellen, der unmöglich ist. Der Kreis macht wirklich eine volle Revolution, als sein Parameter von 0 bis geht, aber das ist, nur weil der Knoten-Vektor als Vielfachen dessen willkürlich gewählt wurde.

Siehe auch

• Fugenbrett
• Bézier erscheinen
• der Algorithmus von de Boor
• Unterteilungsoberfläche
• Dreieck-Ineinandergreifen
• Punkt-Wolke
• Vernünftige Bewegung
• Analyse von Isogeometric
• Les Piegl & Wayne Tiller: Das NURBS-Buch, Springer-Verlag 1995-1997 (2. Hrsg.). Die Hauptverweisung für Bézier, B-Fugenbrett und NURBS; Kapitel über die mathematische Darstellung und den Aufbau von Kurven und Oberflächen, Interpolation, gestalten Modifizierung, Konzepte programmierend.
• Dr Thomas Sederberg, BYU NURBS,

http://cagd.cs.byu.edu/~557/text/ch6.pdf

• Dr Lyle Ramshaw. Blühen: Verbinden-Punkte nähern sich Fugenbrettern, Forschungsbericht 19, Systemforschungszentrum von Compaq, Palo Altstimme, Kalifornien, Juni 1987
• David F. Rogers: Eine Einführung in NURBS mit der Historischen Perspektive, Herausgeber von Morgan Kaufmann 2001. Gutes elementares Buch für NURBS und verwandte Probleme.

Referenzen

Außenverbindungen

• Über ungleichförmige vernünftige B-Fugenbretter - NURBS
• Eine interaktive Einführung in Fugenbretter

http://www.cs.bris.ac.uk/Teaching/Resources/COMS30115/all.pdf http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/AV0405/DONAVANIK/bezier.html

• http://mathcs.holycross.edu/~croyden/csci343/notes.html (Vortrag 33: Bézier Kurven, Fugenbretter)

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES/cs3621/NOTES/notes.html

• Ein Paket der kostenlosen Software, um NURBS-Kurven, Oberflächen und Volumina in Octave und Matlab zu behandeln