In der Kategorie-Theorie ist eine Null morphism eine spezielle Art von morphism ausstellende Eigenschaften wie diejenigen zu und von einem Nullgegenstand.

Nehmen Sie an, dass C eine Kategorie und f ist: X  Y sind ein morphism in C. Der morphism f wird einen unveränderlichen morphism genannt (oder manchmal Null morphism verlassen), wenn für jeden Gegenstand W in C und jedem g, h: W  X, fg = fh. Doppel-wird f einen coconstant morphism (oder manchmal richtige Null morphism) wenn für jeden Gegenstand Z in C und jedem g, h  Mor (Y, Z), gf = hf genannt. Eine Null morphism ist diejenige, die sowohl ein unveränderlicher morphism als auch ein coconstant morphism ist.

Wenn C einen Nullgegenstand 0, in Anbetracht zwei Gegenstände X und Y in C hat, gibt es kanonischen morphisms f: 0  X und g: Y  0. Dann ist fg eine Null morphism in Mor (Y, X).

Eine Kategorie mit der Null morphisms ist diejenige wo, für irgendwelche zwei Gegenstände A und B in C, es gibt einen festen morphism 0: Ein  B solch dass für alle Gegenstände X, Y, Z in C und dem ganzen morphisms f: Y  Z, g: X  Y, das folgende Diagramm pendelt:

Die morphisms 0 werden gezwungen, Null morphisms zu sein und ein vereinbares System von solchem zu bilden. Wenn C eine Kategorie mit der Null morphisms ist, dann ist die Sammlung 0 einzigartig. Eine Kategorie mit einem Nullgegenstand ist eine Kategorie mit der Null morphisms (gegeben durch die Komposition 0: X  0  Y beschrieben oben).

Wenn eine Kategorie Null morphisms hat, dann kann man die Begriffe des Kerns und cokernel für jeden morphism in dieser Kategorie definieren.

Beispiele

• In der Kategorie von Gruppen (oder Module) ist eine Null morphism ein Homomorphismus f: G  H, der alle G zum Identitätselement von H kartografisch darstellt. Der ungültige Gegenstand in der Kategorie von Gruppen ist die triviale Gruppe 1 = {1}, der bis zum Isomorphismus einzigartig ist. Jede Null morphism kann factored bis 1, d. h., f sein: G  1  H.
• Nehmen Sie mehr allgemein an, dass C jede Kategorie mit einem Nullgegenstand 0 ist. Dann für alle Gegenstände X und Y dort ist eine einzigartige Folge von morphisms

:: 0: X → 0 → Y

Die:The-Familie des ganzen so gebauten morphisms dotiert C mit der Struktur einer Kategorie mit der Null morphisms.

• Wenn C eine vorzusätzliche Kategorie ist, dann hat jeder morphism Mor gesetzt (X, Y) ist eine abelian Gruppe und hat deshalb ein Nullelement. Diese Nullelemente bilden eine vereinbare Familie der Null morphisms für C das Bilden davon in eine Kategorie mit der Null morphisms.
• Der Kategorie-Satz (Sätze mit Funktionen als morphisms) hat keinen Nullgegenstand, aber er hat wirklich einen anfänglichen Gegenstand, der leere Satz . Die einzige Null morphisms im Satz ist die Funktionen   X für einen Satz X.
• Abschnitt 1.7 von