In der Mathematik ist ein unwesentlicher Satz ein Satz, der klein genug ist, dass es zu einem Zweck ignoriert werden kann.

Als allgemeine Beispiele können begrenzte Sätze ignoriert werden, wenn man die Grenze einer Folge studiert, und Nullmengen können ignoriert werden, wenn man das Integral einer messbaren Funktion studiert.

Unwesentliche Sätze definieren mehrere nützliche Konzepte, die in verschiedenen Situationen wie Wahrheit fast überall angewandt werden können.

In der Größenordnung von diesen, um zu arbeiten, ist es allgemein nur notwendig, dass die unwesentlichen Sätze ein Ideal bilden; d. h. dass der leere Satz, die Vereinigung von zwei unwesentlichen Sätzen unwesentlich sein, und jede Teilmenge eines unwesentlichen Satzes unwesentlich sein, unwesentlich sein.

Zu einigen Zwecken brauchen wir auch dieses Ideal, um ein Sigma-Ideal zu sein, so dass zählbare Vereinigungen von unwesentlichen Sätzen auch unwesentlich sind.

Wenn ich und J beide Ideale von Teilmengen desselben Satzes X sind, dann kann man von I-negligible und J-negligible Teilmengen sprechen.

Das Gegenteil eines unwesentlichen Satzes ist ein allgemeines Eigentum, das verschiedene Formen hat.

Definition

Eine Teilmenge dessen ist unwesentlich, wenn, dort eine begrenzte oder zählbare Sammlung besteht (vielleicht überlappend) Zwischenraum-Zufriedenheit:

und

Beispiele

Lassen Sie X der Satz N von natürlichen Zahlen sein, und eine Teilmenge von N unwesentlich sein zu lassen, wenn es begrenzt ist.

Dann bilden die unwesentlichen Sätze ein Ideal.

Diese Idee kann auf jeden unendlichen Satz angewandt werden; aber wenn angewandt, auf einen begrenzten Satz wird jede Teilmenge unwesentlich sein, der nicht ein sehr nützlicher Begriff ist.

Oder lassen Sie X ein unzählbarer Satz sein, und eine Teilmenge X unwesentlich sein zu lassen, wenn es zählbar ist.

Dann bilden die unwesentlichen Sätze ein Sigma-Ideal.

Lassen Sie X ein messbarer Raum sein, der mit einem Maß M ausgestattet ist, und eine Teilmenge X unwesentlich sein zu lassen, wenn es ungültige M ist.

Dann bilden die unwesentlichen Sätze ein Sigma-Ideal.

Jedes Sigma-Ideal auf X kann auf diese Weise durch das Stellen eines passenden Maßes auf X wieder erlangt werden, obwohl das Maß ziemlich pathologisch sein kann.

Lassen Sie X ein topologischer Raum sein, und eine Teilmenge unwesentlich sein zu lassen, wenn es von der ersten Kategorie ist, d. h. wenn es eine zählbare Vereinigung von nirgends dichten Sätzen ist (wo ein Satz nirgends dicht ist, wenn es in einem offenem Satz nicht dicht ist).

Dann bilden die unwesentlichen Sätze ein Sigma-Ideal.

X ist ein Raum von Baire, wenn das Interieur jedes solchen unwesentlichen Satzes leer ist.

Lassen Sie X ein geleiteter Satz sein, und eine Teilmenge X unwesentlich sein zu lassen, wenn es einen gebundenen oberen hat.

Dann bilden die unwesentlichen Sätze ein Ideal.

Das erste Beispiel ist ein spezieller Fall dieses Verwendens der üblichen Einrichtung von N.

In einer rauen Struktur sind die kontrollierten Sätze unwesentlich.

Abgeleitete Konzepte

Lassen Sie X ein Satz sein, und mich ein Ideal von unwesentlichen Teilmengen X sein zu lassen.

Wenn p ein Vorschlag über die Elemente X ist, dann ist p fast überall wahr, wenn der Satz von Punkten, wo p wahr ist, die Ergänzung eines unwesentlichen Satzes ist.

D. h. p kann nicht immer wahr sein, aber es ist so selten falsch, dass das zu den Zwecken in der Nähe ignoriert werden kann.

Wenn f und g Funktionen von X bis denselben Raum Y sind, dann sind f und g gleichwertig, wenn sie fast überall gleich sind.

Den einleitenden Paragrafen genau, dann, gelassen X zu machen, N zu sein, und die unwesentlichen Sätze die begrenzten Sätze sein zu lassen.

Dann sind f und g Folgen.

Wenn Y ein topologischer Raum ist, dann haben f und g dieselbe Grenze, oder beide haben niemanden.

(Wenn Sie das zu geleitete Sätze verallgemeinern, bekommen Sie dasselbe Ergebnis, aber für Netze.)

Oder, lassen Sie X ein Maß-Raum sein, und unwesentliche Sätze die Nullmengen sein zu lassen.

Wenn Y die echte Linie R ist, dann haben entweder f und g dasselbe Integral, oder kein Integral wird definiert.

Siehe auch

• Unwesentliche Funktion