In der Mengenlehre, einer Disziplin innerhalb der Mathematik, sind die aleph Zahlen eine Folge von Zahlen, die verwendet sind, um den cardinality (oder Größe) von unendlichen Sätzen zu vertreten. Sie werden genannt, nachdem das Symbol gepflegt hat, sie, der hebräische Brief aleph anzuzeigen.

Der cardinality der natürlichen Zahlen ist (gelesenes Aleph-Nichts, aleph-ungültig oder Aleph-Null), der folgende größere cardinality ist aleph ein, dann und so weiter. Auf diese Weise weitergehend, ist es möglich, eine Grundzahl für jede Ordinalzahl α, wie beschrieben, unten zu definieren.

Das Konzept geht Georg Cantor zurück, der den Begriff von cardinality definiert hat und begriffen hat, dass unendliche Sätze verschiedenen cardinalities haben können.

Die aleph Zahlen unterscheiden sich von der Unendlichkeit () allgemein gefunden in der Algebra und Rechnung. Alephs messen die Größen von Sätzen; Unendlichkeit wird andererseits als eine äußerste Grenze der Linie der reellen Zahl allgemein definiert (angewandt auf eine Funktion oder Folge, die "zur Unendlichkeit abweicht" oder "ohne bestimmten" zunimmt), oder ein äußerster Punkt der verlängerten Linie der reellen Zahl.

Aleph-Nichts

ist der cardinality des Satzes aller natürlichen Zahlen, und ist der erste unendliche Kardinal. Ein Satz hat cardinality, wenn, und nur wenn es zählbar unendlich ist, der der Fall ist, wenn, und nur wenn es in eine direkte Bijektion, oder "isomorphe Ähnlichkeit" mit den natürlichen Zahlen gestellt werden kann. Solche Sätze schließen den Satz aller Primzahlen, den Satz aller ganzen Zahlen, den Satz aller rationalen Zahlen, den Satz von algebraischen Zahlen, den Satz von binären Reihen von allen begrenzten Längen und den Satz aller begrenzten Teilmengen jedes zählbar unendlichen Satzes ein.

Wenn das Axiom der zählbaren Wahl (eine schwächere Version des Axioms der Wahl) hält, dann kleiner ist als ein anderer unendlicher Kardinal.

Aleph ein

ist der cardinality des Satzes aller zählbaren Ordinalzahlen, genannt ω oder (manchmal) Ω. Bemerken Sie, dass dieser ω selbst eine Ordinalzahl ist, die größer ist als alle zählbaren, so ist es ein unzählbarer Satz. Deshalb ist davon verschieden. Die Definition dessen bezieht ein (in ZF, Zermelo-Fraenkel Mengenlehre ohne das Axiom der Wahl), dass keine Grundzahl zwischen ist und. Wenn das Axiom der Wahl (AC) verwendet wird, kann es weiter bewiesen werden, dass die Klasse von Grundzahlen völlig bestellt wird, und so die zweite kleinste unendliche Grundzahl ist. Das Verwenden AC können wir einen der nützlichsten Eigenschaften des Satzes ω zeigen: Jede zählbare Teilmenge von ω hat einen in ω gebundenen oberen. (Das folgt aus der Tatsache, dass eine zählbare Vereinigung von zählbaren Sätzen, eine der allgemeinsten Anwendungen von AC zählbar ist.) Diese Tatsache ist der Situation analog in: Jeder begrenzte Satz von natürlichen Zahlen hat ein Maximum, das auch eine natürliche Zahl ist; d. h. begrenzte Vereinigungen von begrenzten Sätzen sind begrenzt.

ω ist wirklich ein nützliches Konzept, wenn etwas exotisch klingend. Eine Beispiel-Anwendung "schließt" in Bezug auf zählbare Operationen; z.B, das Versuchen, den durch eine willkürliche Sammlung von Teilmengen erzeugten σ-algebra ausführlich zu beschreiben (sieh zum Beispiel Hierarchie von Borel). Das ist härter als die meisten ausführlichen Beschreibungen "der Generation" in der Algebra (Vektorräume, Gruppen, usw.), weil in jenen Fällen wir nur in Bezug auf begrenzte Operationen — Summen, Produkte und ähnlich schließen müssen. Der Prozess ist mit dem Definieren, für jede zählbare Ordnungszahl, über die transfinite Induktion, einen Satz "das Werfen in" allen möglichen zählbaren Vereinigungen und Ergänzungen, und die Einnahme der Vereinigung von allem das über alle ω verbunden.

Die Kontinuum-Hypothese

Der cardinality des Satzes von reellen Zahlen (cardinality des Kontinuums) ist. Es ist nicht klar, wo diese Zahl die aleph Zahl-Hierarchie einfügt. Es folgt aus ZFC (Zermelo-Fraenkel Mengenlehre mit dem Axiom der Wahl), dass die berühmte Kontinuum-Hypothese, CH, zur Identität gleichwertig

ist:

CH ist von ZFC unabhängig: Es kann weder bewiesen werden noch disproven innerhalb des Zusammenhangs dieses Axiom-Systems (vorausgesetzt, dass ZFC entspricht). Dass es mit ZFC im Einklang stehend ist, wurde von Kurt Gödel 1940 demonstriert, als er gezeigt hat, dass seine Ablehnung nicht ein Lehrsatz von ZFC ist. Dass es von ZFC unabhängig ist, wurde von Paul Cohen 1963 demonstriert, als er umgekehrt gezeigt hat, dass der CH selbst nicht ein Lehrsatz von ZFC durch (dann Roman) Methode ist zu zwingen.

Aleph-ω

Herkömmlich wird die kleinste unendliche Ordnungszahl ω angezeigt, und die Grundzahl ist das gebundene am wenigsten obere

:

unter alephs.

Aleph-ω ist die erste unzählbare Grundzahl, die innerhalb der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre demonstriert werden kann, um dem cardinality des Satzes aller reellen Zahlen nicht gleich zu sein; für jede positive ganze Zahl n können wir durchweg annehmen, dass, und außerdem es möglich ist anzunehmen, ist so groß, wie wir mögen. Wir werden nur gezwungen zu vermeiden, es auf bestimmte spezielle Kardinäle mit cofinality zu setzen, meinend, dass es eine unbegrenzte Funktion von dazu gibt.

Aleph-α für allgemeinen α

Um für die willkürliche Ordinalzahl zu definieren, müssen wir den Nachfolger-Kardinal Operation definieren, die jeder Grundzahl ρ den folgenden größeren gut bestellten grundsätzlichen ρ zuteilt. (Wenn das Axiom der Wahl hält, ist das der folgende größere Kardinal.)

Wir können dann die aleph Zahlen wie folgt definieren

::

und für λ, eine unendliche Grenze Ordnungs-,

:

Die α-th unendliche anfängliche Ordnungszahl wird geschrieben. Sein cardinality wird geschrieben. Sieh anfängliche Ordnungszahl.

In ZFC ist die Funktion eine Bijektion zwischen den Ordnungszahlen und den unendlichen Kardinälen.

Feste Punkte des Omegas

Für jeden Ordnungs-α haben wir

:

In vielen Fällen ist ausschließlich größer als α. Zum Beispiel für jeden Nachfolger Ordnungs-α hält das. Es, gibt jedoch, einige Grenze-Ordnungszahlen, die feste Punkte der Omega-Funktion wegen des Lemmas des festen Punkts für normale Funktionen sind. Das erste derartige ist die Grenze der Folge

:

Jeder schwach unzugängliche Kardinal ist auch ein fester Punkt der Aleph-Funktion.

Rolle des Axioms der Wahl

Der cardinality jeder unendlichen Ordinalzahl ist eine aleph Zahl. Jeder aleph ist der cardinality von einer Ordnungszahl. Meist von diesen sind seine anfängliche Ordnungszahl. Jeder Satz, dessen cardinality ein aleph ist, ist equinumerous mit einer Ordnungszahl und ist so gut-orderable.

Jeder begrenzte Satz ist gut-orderable, aber hat keinen aleph als sein cardinality.

Die Annahme, dass der cardinality jedes unendlichen Satzes eine aleph Zahl ist, ist über ZF zur Existenz eines gut bestellenden von jedem Satz gleichwertig, der der Reihe nach zum Axiom der Wahl gleichwertig ist. ZFC Mengenlehre, die das Axiom der Wahl einschließt, deutet an, dass jeder unendliche Satz eine aleph Zahl als sein cardinality hat (d. h. equinumerous mit seiner anfänglichen Ordnungszahl ist), und so die anfänglichen Ordnungszahlen des aleph Zahl-Aufschlags als eine Klasse von Vertretern für alle möglichen unendlichen Grundzahlen.

Wenn cardinality in ZF ohne das Axiom der Wahl studiert wird, ist es nicht mehr möglich zu beweisen, dass jeder unendliche Satz eine aleph Zahl als sein cardinality hat; die Sätze, deren cardinality eine aleph Zahl ist, sind genau die unendlichen Sätze, die gut bestellt werden können. Die Methode des Tricks von Scott wird manchmal als eine alternative Weise verwendet, Vertreter für Grundzahlen in der Einstellung von ZF zu bauen.

Referenzen

Links