In der Mathematik ist Hyperbelraum ein Typ der nicht-euklidischen Geometrie. Wohingegen sphärische Geometrie eine unveränderliche positive Krümmung hat, hat Hyperbelgeometrie eine negative Krümmung: Jeder Punkt im Hyperbelraum ist ein Sattel-Punkt. Parallele Linien werden nicht einzigartig paarweise angeordnet: In Anbetracht einer Linie und eines Punkts nicht auf dieser Linie kann jede Zahl von Linien durch den Punkt gezogen werden, die coplanar mit dem ersten sind und ihn nicht durchschneiden. Das hebt sich von der Euklidischen Geometrie ab, wo parallele Linien ein einzigartiges Paar sind, und sphärische Geometrie, wo parallele Linien als alle Linien nicht bestehen (die große Kreise sind) einander durchquert. Ein anderes kennzeichnendes Eigentum ist die verfügbare Fläche, die durch den N-Ball im HyperbelN-Raum bedeckt ist: Es nimmt exponential in Bezug auf den Radius des Balls, aber nicht polynomisch zu.

Formelle Definition

HyperbelN-Raum, angezeigter H, ist maximal symmetrisch, einfach verbunden, n-dimensional Sammelleitung von Riemannian mit der unveränderlichen Schnittkrümmung −1. Hyperbelraum ist das Hauptbeispiel eines Raums, der Hyperbelgeometrie ausstellt. Davon kann als die Entsprechung der negativen Krümmung des N-Bereichs gedacht werden.

Obwohl Hyperbelraum H diffeomorphic zu R ist, gibt seine metrische negative Krümmung ihm sehr verschiedene geometrische Eigenschaften.

Hyperbolisch 2-Räume-, H ², wird auch das Hyperbelflugzeug genannt.

Modelle des Hyperbelraums

Hyperbelraum, entwickelt unabhängig von Lobachevsky und Bolyai, ist ein geometrischer dem Euklidischen Raum analoger Raum, aber solch, dass, wie man nicht mehr annimmt, das parallele Postulat von Euklid hält. Statt dessen wird das parallele Postulat durch die folgende Alternative (in zwei Dimensionen) ersetzt:

• In Anbetracht jeder Linie L und Punkts P nicht auf L gibt es mindestens zwei verschiedene Linien, die P durchgehen, die L nicht durchschneiden.

Es ist dann ein Lehrsatz, dass es tatsächlich ungeheuer viele solche Linien durch P gibt. Bemerken Sie, dass dieses Axiom noch das Hyperbelflugzeug einzigartig bis zur Isometrie nicht einzigartig charakterisiert; es gibt eine Extrakonstante, die Krümmung K = {(x..., x) |xR, i=0,1..., n}. Der hyperboloid ist der geometrische Ort H Punkte, deren Koordinaten befriedigen

In diesem Modell ist eine "Linie" (oder geodätisch) die ausgeschnittene Kurve durch das Schneiden H mit einem Flugzeug durch den Ursprung in R.

Das hyperboloid Modell ist nah mit der Geometrie des Raums von Minkowski verbunden. Die quadratische Form

der den hyperboloid definiert, spaltet sich, um die bilineare Form B definiert durch zu geben

Der Raum R, ausgestattet mit der bilinearen Form B ist (n+1) - dimensionaler Raum von Minkowski R.

Von dieser Perspektive kann man einen Begriff der Entfernung zum hyperboloid Modell vereinigen, indem man die Entfernung zwischen zwei Punkten x und y auf H definiert, um zu sein

Diese Funktion befriedigt die Axiome eines metrischen Raums. Außerdem wird es durch die Handlung der Gruppe von Lorentz auf R bewahrt. Folglich handelt die Gruppe von Lorentz als eine Transformationsgruppe von Isometrien auf H.

Das Modell von Klein

Ein alternatives Modell der Hyperbelgeometrie ist auf einem bestimmten Gebiet im projektiven Raum. Der Minkowski quadratische Form Q definiert eine Teilmenge U  RP gegeben als der geometrische Ort von Punkten für der Q (x)> 0 in den homogenen Koordinaten x. Das Gebiet U ist das Modell von Klein des Hyperbelraums.

Die Linien dieses Modells sind die offenen Liniensegmente des umgebenden projektiven Raums, die in U liegen. Die Entfernung zwischen zwei Punkten x und y in U wird durch definiert

Bemerken Sie, dass das auf dem projektiven Raum bestimmt ist, da das Verhältnis unter dem umgekehrten Cosinus hyperbolicus vom Grad 0 homogen ist.

Dieses Modell ist mit dem hyperboloid Modell wie folgt verbunden. Jeder Punkt x  U entspricht einer Linie L durch den Ursprung in R durch die Definition des projektiven Raums. Diese Linie schneidet den hyperboloid H in einem einzigartigen Punkt durch. Umgekehrt, durch jeden Punkt auf H, dort passiert eine einzigartige Linie durch den Ursprung (der ein Punkt im projektiven Raum ist). Diese Ähnlichkeit definiert eine Bijektion zwischen U und H. Es ist eine Isometrie seit dem Auswerten d (x, y) entlang Q (x) = Q (y) = 1 bringt die Definition der für das hyperboloid Modell gegebenen Entfernung wieder hervor.

Die Poincaré Modelle

: Hauptartikel: Scheibe-Modell von Poincaré, Halbflugzeug-Modell von Poincaré

Ein anderes nah verwandtes Paar von Modellen der Hyperbelgeometrie ist der Ball von Poincaré und die Halbraummodelle von Poincaré. Das Ball-Modell kommt aus einem stereografischen Vorsprung des hyperboloid in R auf das Hyperflugzeug {x = 0}. Lassen Sie im Detail S der Punkt in R mit Koordinaten (-1,0,0..., 0) sein: der Südpol für den stereografischen Vorsprung. Für jeden Punkt P auf dem hyperboloid H, lassen Sie P der einzigartige Punkt der Kreuzung der Linie SP mit dem Flugzeug {x = 0} sein. Das gründet von H in den Einheitsball bijektiv kartografisch darzustellen

im Flugzeug {x = 0}.

Die geodesics in diesem Modell sind Halbkreise, die auf dem Grenzbereich von B rechtwinklig sind. Isometrien des Balls werden durch die kugelförmige Inversion in der Hyperbereich-Senkrechte zur Grenze erzeugt.

Die Halbraummusterergebnisse von Verwendung einer Inversion in einem Punkt der Grenze von B. Das sendet Kreise an Kreise und Linien, und ist außerdem eine conformal Transformation. Folglich sind die geodesics des Halbraummodells Linien- und Kreissenkrechte zum Grenzhyperflugzeug.

Hyperbelsammelleitungen

Jede ganze, verbundene, einfach verbundene Sammelleitung der unveränderlichen negativen Krümmung −1 ist zum echten Hyperbelraum H isometrisch. Infolgedessen ist der universale Deckel jeder geschlossenen mannigfaltigen M der unveränderlichen negativen Krümmung −1, der, eine Hyperbelsammelleitung sagen soll, H. So kann jede solche M als H/Γ geschrieben werden, wo Γ eine getrennte Gruppe ohne Verdrehungen von Isometrien auf H ist. D. h. Γ ist ein Gitter in SO (n, 1).

Oberflächen von Riemann

Zweidimensionale Hyperbeloberflächen können auch gemäß der Sprache von Oberflächen von Riemann verstanden werden. Gemäß dem uniformization Lehrsatz ist jede Oberfläche von Riemann entweder elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch. Die meisten Hyperbeloberflächen haben eine nichttriviale grundsätzliche Gruppe π =Γ; die Gruppen, die dieser Weg entstehen, sind als Gruppen von Fuchsian bekannt. Der Quotient-Raum H ²/Γ des oberen Halbflugzeugs modulo die grundsätzliche Gruppe ist als das Modell von Fuchsian der Hyperbeloberfläche bekannt. Die Poincaré Hälfte des Flugzeugs ist auch hyperbolisch, aber wird einfach verbunden und nichtkompakt. Es ist der universale Deckel der anderen Hyperbeloberflächen.

Der analoge Aufbau für dreidimensionale Hyperbeloberflächen ist das Modell von Kleinian.

Siehe auch

• Hyperbelgeometrie
• Starrheitslehrsatz von Mostow
• Hyperbelsammelleitung
• Hyperbolischer 3-Sammelleitungen-
• Pseudobereich
• Die Oberfläche von Dini
• , (2012) Zeichen auf der Hyperbelgeometrie, in: Straßburger Master-Klasse auf der Geometrie, Seiten 1 - 182, IRMA Vorträge in der Mathematik und Theoretischen Physik, Vol. 18, Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 Seiten, SBN internationale Standardbuchnummer 978-3-03719-105-7, DOI 10.4171/105.
• Ratcliffe, John G., Fundamente von Hyperbelsammelleitungen, New York, Berlin. Springer-Verlag, 1994.
• Reynolds, William F. (1993) "Hyperbelgeometrie auf Hyperboloid", amerikanischer Mathematischer Monatlicher 100:442-455.
• Wolf, Joseph A. Spaces von unveränderlicher Krümmung, 1967. Sieh Seite 67.
• Voronoi Hyperbeldiagramme haben leicht, Frank Nielsen gemacht