In der Mathematik, wie man sagt, wird ein Satz unter etwas Operation geschlossen, wenn die Leistung dieser Operation auf Mitgliedern des Satzes immer ein einzigartiges Mitglied desselben Satzes erzeugt. Zum Beispiel werden die reellen Zahlen unter der Subtraktion geschlossen, aber die natürlichen Zahlen sind nicht: 3 und 8 sind beide natürliche Zahlen, aber das Ergebnis 3 − 8 ist nicht eine natürliche Zahl. Ein anderes Beispiel ist der Satz, der nur die Zahl-Null enthält, die ein geschlossener Satz unter der Multiplikation ist.

Ähnlich, wie man sagt, wird ein Satz unter einer Sammlung von Operationen geschlossen, wenn er unter jeder der Operationen individuell geschlossen wird.

sagt, befriedigt ein Satz, der unter einer Operation oder Sammlung von Operationen geschlossen wird, ein Verschluss-Eigentum. Häufig wird ein Verschluss-Eigentum als ein Axiom eingeführt, das dann gewöhnlich das Axiom des Verschlusses genannt wird. Bemerken Sie, dass moderne mit dem Satz theoretische Definitionen gewöhnlich Operationen als Karten zwischen Sätzen definieren, so Verschluss zu einer Struktur hinzufügend, weil ein Axiom überflüssig ist, obwohl es noch Sinn hat zu fragen, ob Teilmengen geschlossen werden. Zum Beispiel wird der Satz von reellen Zahlen unter der Subtraktion geschlossen, wo (wie oben erwähnt) seine Teilmenge von natürlichen Zahlen nicht ist.

Wenn ein Satz S unter einigen Operationen nicht geschlossen wird, kann man gewöhnlich den kleinsten Satz finden, der S enthält, der geschlossen wird. Dieser kleinste geschlossene Satz wird den Verschluss von S (in Bezug auf diese Operationen) genannt. Zum Beispiel ist der Verschluss unter der Subtraktion des Satzes von natürlichen Zahlen, die als eine Teilmenge der reellen Zahlen angesehen sind, der Satz von ganzen Zahlen. Ein wichtiges Beispiel ist das des topologischen Verschlusses. Der Begriff des Verschlusses wird durch die Verbindung von Galois, und weiter durch monads verallgemeinert.

Bemerken Sie, dass der Satz S eine Teilmenge eines geschlossenen Satzes in der Größenordnung vom Verschluss-Maschinenbediener sein muss, um definiert zu werden. Im vorhergehenden Beispiel ist es wichtig, dass die reals unter der Subtraktion geschlossen werden; im Gebiet der natürlichen Zahlen wird die Subtraktion nicht immer definiert.

Der zwei Gebrauch des Wortes "Verschluss" sollte nicht verwirrt sein. Der ehemalige Gebrauch bezieht sich auf das Eigentum davon, geschlossen zu werden, und der Letztere bezieht sich auf den kleinsten geschlossenen Satz, der denjenigen enthält, der nicht geschlossen wird. Kurz gesagt, der Verschluss eines Satzes befriedigt ein Verschluss-Eigentum.

Geschlossene Sätze

Ein Satz wird unter einer Operation geschlossen, wenn diese Operation ein Mitglied des Satzes, wenn bewertet, auf Mitgliedern des Satzes zurückgibt. Manchmal die Voraussetzung, dass die Operation, in einem Satz geschätzt werden, ausführlich festgesetzt wird, in welchem Fall sie als das Axiom des Verschlusses bekannt ist. Zum Beispiel kann man eine Gruppe als ein Satz mit einem binären Produktmaschinenbediener definieren, der mehreren Axiomen einschließlich eines Axioms folgt, dass das Produkt irgendwelcher zwei Elemente der Gruppe wieder ein Element ist. Jedoch macht die moderne Definition einer Operation dieses Axiom überflüssig; eine n-stufige Operation auf S ist gerade eine Teilmenge von S. Durch seine wirkliche Definition kann ein Maschinenbediener auf einem Satz nicht Werte außerhalb des Satzes haben.

Dennoch hat das Verschluss-Eigentum eines Maschinenbedieners auf einem Satz noch etwas Dienstprogramm. Der Verschluss auf einem Satz bezieht Verschluss auf allen Teilmengen nicht notwendigerweise ein. So ist eine Untergruppe einer Gruppe eine Teilmenge, auf der das binäre Produkt und die unäre Operation der Inversion das Verschluss-Axiom befriedigen.

Eine Operation einer verschiedenen Sorte ist die der Entdeckung der Grenze-Punkte einer Teilmenge eines topologischen Raums (wenn der Raum erst-zählbar ist, genügt es, um Rücksicht auf die Grenzen von Folgen einzuschränken, aber im allgemeinen muss mindestens Grenzen von Netzen denken). Ein Satz, der unter dieser Operation geschlossen wird, wird gewöhnlich gerade einen geschlossenen Satz im Zusammenhang der Topologie genannt. Ohne weitere Qualifikation bedeutet der Ausdruck gewöhnlich geschlossen in diesem Sinn. Geschlossene Zwischenräume wie [1,2] = {x: 1  x  wird 2\in diesem Sinn geschlossen.

Ein teilweise bestellter Satz wird nach unten geschlossen (und auch einen niedrigeren Satz genannt), wenn für jedes Element des Satzes alle kleineren Elemente auch darin sind; das gilt zum Beispiel wegen der echten Zwischenräume (−, p) und (−, p], und für eine Ordinalzahl p vertreten als Zwischenraum [0, p); jeder geschlossene Satz nach unten von Ordinalzahlen ist selbst eine Ordinalzahl.

Aufwärts wird geschlossener und oberer Satz ähnlich definiert.

P Verschlüsse von binären Beziehungen

Der Begriff eines Verschlusses kann für eine willkürliche binäre Beziehung R  S×S, und ein willkürliches Eigentum P folgendermaßen verallgemeinert werden: Der P Verschluss von R ist kleinste Beziehung Q  S×S, der R enthält (d. h. R  Q), und für den Eigentum P hält (d. h. P ist (Q) wahr). Zum Beispiel kann man den symmetrischen Verschluss als die am wenigsten symmetrische Beziehung definieren, die R enthält. Auf diese Generalisation wird häufig in der Theorie gestoßen, Systeme umzuschreiben, wo man häufig "wortreichere" Begriffe wie der reflexive transitive Verschluss R-the kleinste Vorordnung verwendet, die R, oder der reflexive transitive symmetrische Verschluss R-the kleinste Gleichwertigkeitsbeziehung enthält, die R, und deshalb auch bekannt als der Gleichwertigkeitsverschluss enthält. Für willkürlichen P und R braucht der P Verschluss von R nicht zu bestehen. In den obengenannten Beispielen bestehen diese, weil reflexivity, transitivity und Symmetrie unter willkürlichen Kreuzungen geschlossen werden. In solchen Fällen kann der P Verschluss als die Kreuzung aller Sätze mit dem Eigentum P direkt definiert werden, R enthaltend.

Verschluss-Maschinenbediener

In Anbetracht einer Operation auf einem Satz X kann man den Verschluss C (S) von einer Teilmenge S in X definieren, um die kleinste Teilmenge zu sein, die unter dieser Operation geschlossen ist, die S als eine Teilmenge enthält. Zum Beispiel ist der Verschluss einer Teilmenge einer Gruppe die durch diesen Satz erzeugte Untergruppe.

Der Verschluss von Sätzen in Bezug auf etwas Operation definiert einen Verschluss-Maschinenbediener auf den Teilmengen X. Die geschlossenen Sätze können vom Verschluss-Maschinenbediener bestimmt werden; ein Satz wird geschlossen, wenn es seinem eigenen Verschluss gleich ist. Typische Struktureigenschaften aller Verschluss-Operationen sind:

• Der Verschluss nimmt zu oder umfassend: Der Verschluss eines Gegenstands enthält den Gegenstand.
• Der Verschluss ist idempotent: Der Verschluss des Verschlusses kommt dem Verschluss gleich.
• Der Verschluss ist Eintönigkeit, d. h. wenn X in Y enthalten wird, dann auch C (X) wird in C (Y) enthalten.

Ein Gegenstand, der sein eigener Verschluss ist, wird geschlossen genannt. Durch idempotency wird ein Gegenstand geschlossen, wenn, und nur wenn es der Verschluss von einem Gegenstand ist.

Diese drei Eigenschaften definieren einen abstrakten Verschluss-Maschinenbediener. Gewöhnlich folgt ein abstrakter Verschluss der Klasse aller Teilmengen eines Satzes.

Beispiele

• In der Topologie und den verwandten Zweigen nimmt die relevante Operation Grenzen. Der topologische Verschluss eines Satzes ist der entsprechende Verschluss-Maschinenbediener. Die Verschluss-Axiome von Kuratowski charakterisieren diesen Maschinenbediener.
• In der geradlinigen Algebra ist die geradlinige Spanne eines Satzes X von Vektoren der Verschluss dieses Satzes; es ist die kleinste Teilmenge des Vektorraums, der X einschließt und unter der Operation der geradlinigen Kombination geschlossen wird. Diese Teilmenge ist ein Subraum.
• In der matroid Theorie ist der Verschluss X die größte Obermenge X, der dieselbe Reihe wie X hat.
• In der Mengenlehre, dem transitiven Verschluss einer binären Beziehung.
• In der Algebra, dem algebraischen Verschluss eines Feldes.
• In der Ersatzalgebra, den Verschluss-Operationen wegen Ideale, als integrierter Verschluss und dichter Verschluss.
• In der Geometrie ist der konvexe Rumpf eines Satzes S Punkte der kleinste konvexe Satz, dessen S eine Teilmenge ist.
• In der Theorie von formellen Sprachen kann der Verschluss von Kleene einer Sprache als der Satz von Schnuren beschrieben werden, die durch das Verketten der Null oder mehr Schnuren aus dieser Sprache gemacht werden können.
• In der Gruppentheorie ist der normale Verschluss von einer Reihe von Gruppenelementen die kleinste normale Untergruppe, die den Satz enthält.

Siehe auch

• Offener Satz
• Clopen setzen