In der Mathematik, conformal Geometrie ist die Studie des Satzes von winkeltreuen (conformal) Transformationen auf einem Raum. In zwei echten Dimensionen, conformal Geometrie ist genau die Geometrie von Oberflächen von Riemann. In mehr als zwei Dimensionen, conformal Geometrie kann sich entweder auf die Studie von conformal Transformationen von "flachen" Räumen (wie Euklidische Räume oder auf Bereiche), oder allgemeiner zur Studie von Conformal-Sammelleitungen beziehen, die Riemannian oder Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen mit einer Klasse der bis zur Skala definierten Metrik sind. Die Studie der flachen Strukturen ist manchmal genannte Geometrie von Möbius, und ist ein Typ der Geometrie von Klein.

Sammelleitungen von Conformal

Eine Conformal-Sammelleitung ist eine Differentiable-Sammelleitung, die mit einer Gleichwertigkeitsklasse (pseudo-) Riemannian metrischer Tensor ausgestattet ist, in dem zwei Metrik g und h gleichwertig sind (sieh auch: Gleichwertigkeit von Conformal) wenn und nur wenn

:

wo λ> 0 eine glatte positive Funktion ist. Eine Gleichwertigkeitsklasse solcher Metrik ist als eine conformal metrische oder conformal Klasse bekannt. So kann ein conformal metrischer als ein metrischer betrachtet werden, der nur "bis zur Skala" definiert wird. Häufig wird Conformal-Metrik durch das Auswählen eines metrischen in der conformal Klasse und die Verwendung nur "conformally invariant" Aufbauten zum gewählten metrischen behandelt.

Ein conformal metrischer ist conformally Wohnung, wenn es ein metrisches Darstellen davon gibt, der im üblichen Sinn flach ist, dass der Tensor von Riemann verschwindet. Es kann nur möglich sein, einen metrischen in der conformal Klasse zu finden, die in einer offenen Nachbarschaft jedes Punkts flach ist. Wenn es notwendig ist, diese Fälle zu unterscheiden, wird der Letztere lokal conformally Wohnung genannt, obwohl häufig in der Literatur keine Unterscheidung aufrechterhalten wird. Der N-Bereich ist lokal conformally flache Sammelleitung, die nicht allgemein conformally Wohnung in diesem Sinn ist, wohingegen ein Euklidischer Raum, ein Ring oder jede Conformal-Sammelleitung, die durch eine offene Teilmenge des Euklidischen Raums bedeckt wird (allgemein) conformally Wohnung in diesem Sinn sind. Lokal conformally flache Sammelleitung ist lokal conformal zu einer Geometrie von Möbius, die bedeutet, dass dort ein Winkel besteht, der lokalen diffeomorphism vor der Sammelleitung in eine Geometrie von Möbius bewahrt. In zwei Dimensionen ist jeder conformal metrische lokal conformally Wohnung. In der Dimension n> 3 ist ein conformal metrischer lokal conformally Wohnung, wenn, und nur wenn sein Tensor von Weyl verschwindet; in der Dimension n = 3, wenn, und nur wenn der Baumwolltensor verschwindet.

Geometrie von Conformal hat mehrere Eigenschaften, die sie von (pseudo-) Geometrie von Riemannian unterscheiden. Das erste ist, dass, obwohl in (pseudo-) Geometrie von Riemannian man einen bestimmten metrischen an jedem Punkt in der conformal Geometrie hat, ein einziger eine Klasse der Metrik hat. So kann die Länge eines Tangente-Vektoren nicht definiert werden, aber der Winkel zwischen zwei Vektoren kann noch. Eine andere Eigenschaft ist, dass es keine Verbindung von Levi-Civita weil gibt, wenn g und λg zwei Vertreter der conformal Struktur sind, dann würden die Symbole von Christoffel von g und λg nicht zustimmen. Diejenigen, die mit λg vereinigt sind, würden Ableitungen der Funktion λ einschließen, wohingegen diejenigen, die mit g vereinigt sind, nicht würden.

Trotz dieser Unterschiede, conformal Geometrie ist noch lenksam. Die Verbindung von Levi-Civita und der Krümmungstensor, obwohl, nur einmal ein besonderer Vertreter der conformal Struktur definiert, sind ausgesucht worden, befriedigen Sie wirklich bestimmte Transformationsgesetze, die den λ und seine Ableitungen einschließen, wenn ein verschiedener Vertreter gewählt wird. Insbesondere (in der Dimension höher als 3) erweist sich der Tensor von Weyl, von λ nicht abzuhängen, und so ist es ein conformal invariant. Außerdem, wenn auch es keine Verbindung von Levi-Civita auf einer Conformal-Sammelleitung gibt, kann man stattdessen mit einer conformal Verbindung arbeiten, die entweder als ein Typ der Verbindung von Cartan behandelt werden kann, die auf der verbundenen Geometrie von Möbius, oder als eine Verbindung von Weyl modelliert ist. Das erlaubt, conformal Krümmung, sowie anderen invariants der conformal Struktur zu definieren.

Geometrie von Möbius

Geometrie von Möbius ist die Studie des "euklidischen Raums mit einem Punkt, der an der Unendlichkeit" oder einem "Minkowski hinzugefügt ist (oder pseudoeuklidisch ist) Raum mit einem ungültigen an der Unendlichkeit hinzugefügten Kegel". D. h. die Einstellung ist ein compactification eines vertrauten Raums; die Geometrie ist mit den Implikationen beschäftigt, Winkel zu bewahren.

An einem abstrakten Niveau können die Euklidischen und pseudoeuklidischen Räume auf die ziemlich gleiche Weise behandelt werden, außer im Fall von der Dimension zwei. Der compactified zwei dimensionales Flugzeug von Minkowski stellt umfassende conformal Symmetrie aus. Formell ist seine Gruppe von conformal Transformationen dimensional unendlich. Im Vergleich ist die Gruppe von conformal Transformationen des compactified Euklidischen Flugzeugs nur 6 dimensional.

Zwei Dimensionen

Raum von Minkowski

Die conformal Gruppe für den Minkowski quadratische Form q (x, y) = 2xy im Flugzeug ist der abelian, Lügt Gruppe:

:

\begin {pmatrix }\

e^a&0 \\

0&e^b

\end {pmatrix }\\right|

a, b \in \mathbb {R }\

\right\}\

</Mathematik>

mit der Lüge-Algebra cso (1, 1), aus allen echten diagonalen 2 &times bestehend; 2 matrices.

Denken Sie jetzt das Flugzeug von Minkowski: R ausgestattet mit dem metrischen

:

Eine 1-Parameter-Gruppe von conformal Transformationen verursacht ein Vektorfeld X mit dem Eigentum, dass die Lüge-Ableitung von g vorwärts X zu g proportional ist. Symbolisch,

:L g = &lambda; g für einige

&lambda;.

Insbesondere mit der obengenannten Beschreibung der Lüge-Algebra cso (1, 1), bezieht das das ein

1. L dx = (x) dx

1. L dy = b (y) dy

für einige reellwertige Funktionen a und b, der, beziehungsweise, auf x und y abhängt. Umgekehrt, in Anbetracht jedes solchen Paares von reellwertigen Funktionen, dort besteht ein Vektorfeld X Zufriedenheit 1. und 2. Folglich ist die Lüge-Algebra von unendlich kleinem symmetries der conformal Struktur dimensional unendlich.

Der conformal compactification des Flugzeugs von Minkowski ist ein Kartesianisches Produkt von zwei Kreisen S &times; S. Auf dem universalen Deckel gibt es kein Hindernis für die Integrierung des unendlich kleinen symmetries, und so ist die Gruppe von conformal Transformationen die unendliche dimensionale Lüge-Gruppe

:

wo Diff (S) die diffeomorphism Gruppe des Kreises ist.

Die conformal Gruppe CSO (1, 1) und seine Lüge-Algebra ist von aktuellem Interesse in der conformal Feldtheorie. Siehe auch Algebra von Virasoro.

Euklidischer Raum

Die Gruppe von conformal symmetries der quadratischen Form

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ist die Gruppe GL (C) = C von komplexen Nichtnullzahlen. Seine Lüge-Algebra ist gl (C) = C.

Betrachten Sie das (Euklidische) komplizierte Flugzeug als ausgestattet mit dem metrischen

:

Die unendlich kleinen conformal symmetries befriedigen

wo ƒ die Gleichung von Cauchy-Riemann befriedigt, und auch holomorphic über sein Gebiet ist. (Sieh Witt Algebra.)

Die conformal Isometrien eines Gebiets bestehen deshalb aus Holomorphic-Selbstkarten. Insbesondere auf dem conformal compactification - dem Bereich von Riemann - werden die conformal Transformationen durch die Transformationen von Möbius gegeben

:

wo Anzeige &minus; bc ist Nichtnull.

Höhere Dimensionen

In zwei Dimensionen kann die Gruppe von conformal automorphisms eines Raums (als im Fall von der Unterschrift von Lorentzian) oder Variable (als mit dem Fall der Euklidischen Unterschrift) ziemlich groß sein. Der vergleichende Mangel an der Starrheit des zweidimensionalen Falls mit dieser von höheren Dimensionen hat zur analytischen Tatsache Schulden, dass die asymptotischen Entwicklungen des unendlich kleinen automorphisms der Struktur relativ zwanglos sind. In der Lorentzian Unterschrift ist die Freiheit in einem Paar von echten geschätzten Funktionen. Im Euklidischen ist die Freiheit in einer einzelnen Holomorphic-Funktion.

Im Fall von höheren Dimensionen sind die asymptotischen Entwicklungen von unendlich kleinem symmetries an den meisten quadratischen Polynomen. Insbesondere sie bilden eine begrenzte dimensionale Lüge-Algebra. Der pointwise unendlich kleine conformal symmetries einer Sammelleitung kann genau integriert werden, wenn die Sammelleitung ein bestimmtes Modell conformally flacher Raum (bis zur Einnahme von universalen Deckel und getrennten Gruppenquotienten) ist.

Die allgemeine Theorie der conformal Geometrie, ist obwohl mit einigen Unterschieden in den Fällen der Euklidischen und pseudoeuklidischen Unterschrift ähnlich. In jedem Fall gibt es mehrere Weisen, den Musterraum der conformally flachen Geometrie einzuführen. Wenn sonst nicht klar, vom Zusammenhang behandelt dieser Artikel den Fall der Euklidischen conformal Geometrie mit dem Verstehen, dass es auch, mutatis mutandis zur pseudoeuklidischen Situation gilt.

Das umkehrende Modell

Das umkehrende Modell der conformal Geometrie besteht aus der Gruppe von lokalen Transformationen auf dem Euklidischen Raum E erzeugt durch die Inversion in Bereichen. Durch den Lehrsatz von Liouville ist jede winkeltreue lokale (conformal) Transformation dieser Form. Von dieser Perspektive sind die Transformationseigenschaften der Wohnung conformal Raum diejenigen der umkehrenden Geometrie.

Das projektive Modell

Das projektive Modell identifiziert den conformal Bereich mit einem bestimmten quadric in einem projektiven Raum. Lassen Sie q Lorentzian quadratische Form auf durch definiertem R anzeigen

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In projektivem RaumP(R), lassen Sie S der geometrische Ort von q = 0 sein. Dann ist S das projektive (oder Möbius) Modell der conformal Geometrie. Eine conformal Transformation auf S ist eine projektive geradlinige Transformation von P(R), der den quadric bewahrt.

In einem zusammenhängenden Aufbau wird vom quadric S als der himmlische Bereich an der Unendlichkeit des ungültigen Kegels im Raum von Minkowski R gedacht, der mit der quadratischen Form q als oben ausgestattet wird. Der ungültige Kegel wird durch definiert

:

Das ist der affine Kegel über den projektiven quadric S. Lassen Sie N der zukünftige Teil des ungültigen Kegels (mit dem Ursprung gelöscht) sein. Dann der tautologische Vorsprung R &minus; {0} schränkt  P(R) auf einen Vorsprung N  S ein. Das gibt N die Struktur eines Linienbündels über Transformationen von S. Conformal auf S wird durch die orthochronous Transformationen von Lorentz von R veranlasst, da das homogene geradlinige Transformationen sind, die den zukünftigen ungültigen Kegel bewahren.

Der Euklidische Bereich

Intuitiv ist die conformally flache Geometrie eines Bereichs weniger starr als die Geometrie von Riemannian eines Bereichs. Conformal symmetries eines Bereichs werden durch die Inversion in allen seinen Hyperbereichen erzeugt. Andererseits werden Isometrien von Riemannian eines Bereichs durch Inversionen in geodätischen Hyperbereichen erzeugt (sieh den Lehrsatz von Cartan-Dieudonné.) Der Euklidische Bereich kann zum conformal Bereich auf eine kanonische Weise, aber nicht umgekehrt kartografisch dargestellt werden.

Der Euklidische Einheitsbereich ist der geometrische Ort in R

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Das kann zum Raum von Minkowski R durch das Lassen kartografisch dargestellt werden

:

Es wird sogleich gesehen, dass das Image des Bereichs unter dieser Transformation im Raum von Minkowski ungültig ist, und so liegt es auf dem Kegel N. Folglich beschließt es, dass ein Querschnitt durch die Linie N  S stopft.

Dennoch gab es eine willkürliche Wahl. Tatsächlich, wenn κ (x) positive Funktion von x = (z, x..., x), dann die Anweisung ist

:

auch gibt in N kartografisch darzustellen. Die Funktion κ ist eine willkürliche Wahl der Conformal-Skala.

Vertretende Metrik

Ein auf dem Bereich metrischer Vertreter Riemannian ist ein metrischer, der zum metrischen Standardbereich proportional ist. Das gibt eine Verwirklichung des Bereichs als eine Conformal-Sammelleitung. Der metrische Standardbereich ist die Beschränkung des Euklidischen metrischen auf R

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zum Bereich

:

Ein conformal Vertreter von g ist eine metrische von der Form λ ² g, wo λ eine positive Funktion auf dem Bereich ist. Die conformal Klasse von g, angezeigt [g], ist die Sammlung aller dieser Vertreter:

:

Ein Einbetten des Euklidischen Bereichs in N, als in der vorherigen Abteilung, bestimmt eine Conformal-Skala auf S. Umgekehrt wird jede Conformal-Skala auf S durch solch ein Einbetten gegeben. So wird das Linienbündel N  S mit dem Bündel von Conformal-Skalen auf S identifiziert: Eine Abteilung dieses Bündels zu geben, ist mit dem Spezifizieren eines metrischen in der conformal Klasse [g] gleichbedeutend.

Umgebendes metrisches Modell

Eine andere Weise, die vertretende Metrik zu begreifen, ist durch ein spezielles Koordinatensystem auf R. Nehmen Sie an, dass der Euklidische N-Bereich S ein stereografisches Koordinatensystem trägt. Das besteht aus der folgenden Karte von R  S  R:

:

In Bezug auf diese stereografischen Koordinaten ist es möglich, ein Koordinatensystem auf dem ungültigen Kegel N im Raum von Minkowski zu geben. Mit dem Einbetten, das oben gegeben ist, ist die vertretende metrische Abteilung des ungültigen Kegels

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Führen Sie eine neue Variable t entsprechend Ausdehnungen N ein, so dass der ungültige Kegel coordinatized durch ist

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Lassen Sie schließlich ρ die folgende Definieren-Funktion von N sein:

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Im t, ρ, y Koordinaten auf R, nimmt der metrische Minkowski die Form an:

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wo g das metrische auf dem Bereich ist.

In diesen Begriffen besteht eine Abteilung des Bündels N aus einer Spezifizierung des Werts der Variable t = t (y) als eine Funktion des y entlang dem ungültigen Kegel ρ = 0. Das gibt den folgenden Vertreter des conformal metrischen auf S nach:

:

Das Kleinian Modell

Ziehen Sie zuerst den Fall der Wohnung conformal Geometrie in der Euklidischen Unterschrift in Betracht. Das n-dimensional Modell ist der himmlische Bereich (n + 2) - dimensionaler Raum von Lorentzian R. Hier ist das Modell eine Geometrie von Klein: Ein homogener RaumG/H, wo G = SO (n + 1, 1) das Folgen (n+2) - dimensionaler Raum von Lorentzian R und H die Isotropie-Gruppe eines festen ungültigen Strahls im leichten Kegel sind. So sind die conformally flachen Modelle die Räume der umkehrenden Geometrie. Für pseudoeuklidische von der metrischen Unterschrift (p, q), wird die flache Mustergeometrie analog als der homogene Raum O (p + 1, q + 1)/H definiert, wo H wieder als der Ausgleicher einer ungültigen Linie genommen wird. Bemerken Sie, dass sowohl die Euklidischen als auch pseudoeuklidischen Musterräume kompakt sind.

Die conformal Liegen Algebra

Um die Gruppen und am flachen Musterraum beteiligten Algebra zu beschreiben, heften Sie die folgende Form auf R:

:

Q = \begin {pmatrix }\

0&0&-1 \\

0&J&0 \\

-1&0&0

\end {pmatrix }\

</Mathematik>

wo J eine quadratische Form der Unterschrift (p, q) ist. Dann G = O (p + 1, q + 1) besteht aus (n + 2) &times; (n + 2) matrices, sich Q stabilisierend: MQM = Q. Die Lüge-Algebra lässt eine Zergliederung von Cartan zu

:

wo

:

\mathbf {g} _ {-1} = \left\{\\ist abgereist.

\begin {pmatrix }\

0&^tp&0 \\

0&0&J^ {-1} p \\

0&0&0

\end {pmatrix }\\Recht | p\in\mathbb {R} ^n\right\}, \quad

\mathbf {g} _ {-1} = \left\{\\ist abgereist.\begin {pmatrix }\

0&0&0 \\

^tq&0&0 \\

0&qJ^ {-1}

&0

\end {pmatrix }\\Recht | q\in (\mathbb {R} ^n) ^*\right\}\

</Mathematik>:

\mathbf {g} _0 = \left\{\\ist abgereist.

\begin {pmatrix }\

-a&0&0 \\

0&A&0 \\

0&0&a

\end {pmatrix }\\Recht | A\in\mathfrak {so} (p, q), a\in\mathbb {R }\\right\}\

. </Mathematik>

Wechselweise stimmt diese Zergliederung mit einer natürlichen Lüge-Algebra-Struktur überein, die in R  cso (p, q)  (R) definiert ist.

Der Ausgleicher des ungültigen Strahls, der den letzten Koordinatenvektoren anspitzt, wird durch die Subalgebra von Borel gegeben

:h = g &oplus; g.

Siehe auch

• Gleichwertigkeit von Conformal
• Ernst von Conformal
• Programm von Erlangen

Referenzen

Links

• http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/space/nonEuclid/conformal/index.htm